2.1.2异面直线所成的角
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课件15张PPT。异面直线所成的角复习：1、异面直线的概念：
我们把___________________________________叫做异面直线2、空间两条直线的位置关系有且只有__种：____________3、平行公理4：________________________________
。（平行线的传递性）4、等角定理：__________________________
___________________________不同在任一平面内的两条直线三相交、平行、异面。平行于同一条直线的两直线互相平行空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。若a∥c，b∥c 则a∥b其特点是既不相交也不平行问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。说明：从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”来考虑异面直线间的相对位置是不够的。问题2：用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？距离和角问题3：一张纸中画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出a、b所成角的大小？其理论依据是什么？问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？b’异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫直线a和b所成的角。思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。aba’OO’O1a’b’b1a1探究:（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直?（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?即a∥b，若a⊥c，则b⊥c下面我们来探究更一般的角的问题abc巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
D1分析：
（1）∵B1B // CC1
∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角
在△A1BB1中，A1B1=BB1；
∴ ∠A1BB1=45o
∴A1B与CC1所成的角为45o--------找 --------证--------算 --------答巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
口答
（2） A1B1与C1C所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角。（2）∠A1B1B=90o （3）∠A1C1B1=45o（4）∠BA1C1=600小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：简记为“作（找）——证——算——答”。（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。 小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，变式一：
（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120° 步骤 “作（找）——证——算——答” ABCDABCD1111EGFH解：连接A1B，BC1，A1C1
∵A1B // EF，BC1 // GH
∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角
在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1
∴∠A1B C1=60°
∴异面直线EF与GH所成的角等于60°例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。 变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90° ACBSEF课堂小结：1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。
2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四步骤。
3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即“化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。课后作业：课本第48页练习第2题。
补充：
1、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR= ，AC=BD=2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。ABCDABCD1111
我们把___________________________________叫做异面直线2、空间两条直线的位置关系有且只有__种：____________3、平行公理4：________________________________
。（平行线的传递性）4、等角定理：__________________________
___________________________不同在任一平面内的两条直线三相交、平行、异面。平行于同一条直线的两直线互相平行空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。若a∥c，b∥c 则a∥b其特点是既不相交也不平行问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。说明：从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”来考虑异面直线间的相对位置是不够的。问题2：用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？距离和角问题3：一张纸中画有两条能相交的直线a、b（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出a、b所成角的大小？其理论依据是什么？问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？b’异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’//a，b’//b，把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫直线a和b所成的角。思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。aba’OO’O1a’b’b1a1探究:（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直?（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行?即a∥b，若a⊥c，则b⊥c下面我们来探究更一般的角的问题abc巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
D1分析：
（1）∵B1B // CC1
∴ ∠A1BB1为A1B与CC1所成的角
在△A1BB1中，A1B1=BB1；
∴ ∠A1BB1=45o
∴A1B与CC1所成的角为45o--------找 --------证--------算 --------答巩固、提高 例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B与CC1所成的角；
口答
（2） A1B1与C1C所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角。（2）∠A1B1B=90o （3）∠A1C1B1=45o（4）∠BA1C1=600小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：简记为“作（找）——证——算——答”。（1）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。 小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，变式一：
（07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120° 步骤 “作（找）——证——算——答” ABCDABCD1111EGFH解：连接A1B，BC1，A1C1
∵A1B // EF，BC1 // GH
∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角
在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1
∴∠A1B C1=60°
∴异面直线EF与GH所成的角等于60°例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。 变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90° ACBSEF课堂小结：1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。
2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四步骤。
3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即“化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。课后作业：课本第48页练习第2题。
补充：
1、空间四边形ABCD中，PR分别是AB、CD的中点，且PR= ，AC=BD=2，求AC与BD所成的角。
2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。ABCDABCD1111