浙江省宁波市余姚市实验学校2023-2024学年九年级A班联考数学试卷（模拟考试）（pdf、含答案）

2023 学年第一学期九年级 A 班联考——数学试题卷
一、选择题（共 10 小题，每题 3 分）
1.如图，四边形 ABCD内接于 O，若 C 130 ，则 BOD的度数为（ ）
A. 50 B. 100 C. 130 D. 150
2．已知 x, y, z 2 3 5 5x y满足 ，则 的值为（ ）
x y z z x y 2z
1 1 1
A．1 B． C． D．
3 3 2
3．如图 A、B、C在⊙O上，连接 OA、OB、OC，若∠BOC＝3∠AOB，劣弧 AC
的度数是 120o，OC＝ 2 3．则图中阴影部分的面积是 ( )
A 1． 32 B． 2 3 C．3 2 3 D．4π-3 3
4. x 5 3设 ，则代数式 x(x 1)(x 2)(x 3)的值为（ ）
2
A、-1 B、1 C、0 D、2
5. 点O是 ABC的外心，也是△BCD的内心，若 A 70 ，则 BDC的度数是
（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
6．如图 1，正方形 ABCD绕中心 O逆时针旋转 45°得到正方形 A B C D ，现将整个图形的外围
以 O为位似中心得到位似图形如图 2 1所示，位似比为 2 ，若整个图形的外围周长为 16，则图
中的阴影部分面积为（ ）
A．6 3 2 B． 4 2 2 C．2 2 D．8 4 2
ab
7．已知 AC⊥BC于 C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为 的是（ ）.
a b
2
8.二次函数 y＝ax +bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，
点 A(4，y1)是该抛物线上一点，若点 D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结
论：
①4a﹣2b+c＞0；
②若 y2＞y1，则 x2＞4；
③若 0≤x2≤4，则 0≤y2≤5a；
④若方程 a(x+1)(x﹣3)＝﹣1 有两个实数根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
9．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m:n:p
等于 ( )
1 1 1
A. ： ： ; B．a∶b∶c; C．cosA∶cosB∶cosC; D．sinA∶sinB∶sinC.
a b c
10．如图，点 O为正方形 ABCD的中心，以 BC的中点 H为圆心，HA为半径画弧交CB的延
长线于点 E．以 BE为边向上作正方形 BEFG，过点 A作 AK AE交CD于点 K，取 EK 的中点
M，连结MO．已知 AD 2 5 2，则OM 的长为（ ）
A 5 1 B 10 2． ． C．3 D． 2 2
2
二．填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）
11．如图，是某商店售卖的花架，其中 AD∥BE∥CF，DE 24cm，EF 40cm，
BC 50cm，则 AB长为_________cm.
12．把一根长度为 6 的铁丝截成 3 段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为
________．
13.因为 cos60° 1＝ ，cos 240° 1＝－ ，所以 cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°；由
2 2
此猜想、推理知：当α为锐角时有 cos (180°＋α)＝－cos α，则：cos 210°＝
14．如图，在 △ 中，∠ = 90°，E为 边上一点，以 为直径的
半圆O与 相切于点D，连接 ， = 3， = 3 5．P是 边上
的动点，当△ 为等腰三角形时， 的长为 ．
15．图 1是一款由若干条吊链等间距悬挂而成的挂帘，吊链顶端悬挂在水
平横梁上，自然下垂时底部呈圆弧形，其中最长吊链为95cm，最短吊链为
45cm，挂满后呈轴对称分布．图 2是其示意图，其中最长两条吊链 AC与BD
之间的距离 AB为114cm．若吊链数量为偶数，记对称轴右侧最短挂链的底端为点 F，当 C，F，
B三点在同一条直线上时，吊链的数量为 ．
16. 如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，点 E是正方形内部一点，连接 EA，
EB满足 EAB EBC ，点 P是 BC边上一动点，连结 PD， PE．则
PD PE长度的最小值为
三、（共 8 小题，计 66 分）
1 1
17．(6分）计算： 8 2sin 45 (2 ) 0
3
18.（6分）2023年 5月 30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们
进一步了解中国航天科技的快速发展，余姚某中学九(1)班团支部组织了一场手抄报比赛．要
求该班每位同学从 A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四
个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，
绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
九（1）班学生喜爱 九（1）班学生喜爱
的主题折线图 的主题扇形图
图① 图②
(1)九(1)班共有________名学生；并补全图①折线统计图；
(2)请阅读图②，求出 D所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若小余和小姚分别从 A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法
求出他们选择相同主题的概率．
19．（8分）如图，在5 5的正三角形的网格中， ABC的三个顶点都在格点上．请按要求画图
和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．
（1）在图 1中，画出 ABC的BC边上的中线 AD．
（2）在图 2中，直接写出 cos AEC的值．
20. （8分）现有成 135°角且足够长的墙角和可建总长为 15m围墙的建筑用料来修建储料场．
（1）如图 1，修建成四边形 ABCD的一个储料场，使BC //AD， C 90 ．新建围墙为 BCD．怎
样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图 2所示的以 A为圆心的圆弧 BD，这样修
建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．
21.（8分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB＝5，AC＝3．连接 OC，
弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E是 AD 的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求 EF：FD 的值．
22.（8 2分）已知二次函数 y ax bx c a 0 的图象经过点 A 1,1 和 B 2,4 ．
（1）求 a，b满足的关系式；
2 2
（2）若函数图象与 x轴无交点，求 a b 的取值范围．
23. （10 分）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切
点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在 ABC中， C 90 ，AB 5，AC 3，则 BC边上的伴随圆的半径为________．
(2)如图②， ABC中 ACB 90 ，点 E在边 AB上， AE 2BE，D为 AC的中点，且
CED 90 ．
①求证：△CED的外接圆是 ABC的 AC边上的伴随圆；
DE
② 的值为_________
CE
3
24.（12 分）如图，抛物线 = 2 + ( ≠ 0) 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于
2
点 (0, 2) ， tan∠ = 1 .直线 = 1 交 于点 D，点 P 是直线 下方抛物线上一
2
动点，连接 PD.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 1，连接 ，求 △ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）如图 2，连接 ，过点 P 作 ⊥ 于点 E，是否存在点 P使以 P，D，E 三点为顶点
的三角形与 △ 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C A C A C B C D
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1 3
11. 30 12. 13.
3 2
14. 6或2 30 15. 20 16. 2 13 2
三、解答题（本大题有 7 题，共 66 分）
17．（6分）
2
解：原式= 2 2 2 1 3 .................................4分
2
= 2 2 .......................................................6分
18．（6分）
（1）50； 补全折线统计图如解图①.......................2分
(2)D 15所对应扇形圆心角的大小为 360°× ＝108°，
50
∴D所对应的扇形圆心角的大小为 108°；..........................4分
(3)画树状图如解图②，
共有 16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有 4种，
4 1
∴小林和小峰选择相同主题的概率为 ＝ ...........................................6分
16 4
1
19．（8分）（每小题 4分）（1）如图，线段 AD 就是所求作的中线；
（2）如图：在5 5的正三角形的网格中，
∵MN∥AB∥FD，
∴∠AEC=∠FDC，
∵四边形 CMGN 为菱形，且边长为 5，
∴CG⊥MN，
∴CG⊥FD，
OG MG sin 60 3 5 3 5 ，
2 2
∴CG=2OG=5 3，
∵△GFD 为等边三角形，且边长为 2，
同理：HG= 3，
∴在 Rt△CDH 中，∠CHD=90 ，DH=1，CH=CG-HG=4 3，
2
2
∴DH2 CH2 CD2，即12 4 3 CD2 ，
∴CD 7，
∴ cos AEC cos FDC
DH 1
．
CH 7
20（每小题 4分，共 8分）.
解：（1）过点A作 AH BC于点H ．
∵ BAD 135 ， BC //AD， C 90 ，
∴ ABC=45 ，CD AD．
设CD x，则 AH BH CD x ，
∴ AD HC 15 2x，
设储料场的面积为S，则 S x 15 2x 1 x 2，
2
S 3 2 75∴ x 5 ．
2 2
∴当 x 5时，储料场的面积最大，最大面积为 37.5m2 ．此时 AD 15 2 5 5．
故当 AD = DC = 5米， BC 10米时，所建储料场的面积最大，最大面积为 37.5m2 ．
（2）小聪建议合理．理由如下：
135 AD
由题意得 15，
180
AD 20∴ ．

S 1 20 150∴ 15 ．
2
150
∵ 47.7 37.5，

∴小聪的建议是合理的．
21. （每小题 4分，共 8分）
（1）证明：∵OC 为半径，E 为 AD 中点．
∴OC⊥AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）解：在 Rt△ABC 中，AB＝5，AC＝3，则 BC＝4，
∴sin∠CBA＝ ＝ ，
3
∴sin∠CAD＝ ，则 CE＝ ，
则 AE＝ ＝ ＝ED，
∵cos∠CBA＝ ，则 cos∠CAD＝ ，
则 AF＝ ＝ ，
∴EF＝AF﹣AE＝ ﹣ ＝ ，
则 FD＝AD﹣AF＝ ﹣ ＝ ，
∴EF：FD＝9：7．
22． （每小题 4分，共 8分）
解：（1）∵二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过点 A 1,1 和B 2,4 ，
a b c 1①
∴ ，
4a 2b c 4②
②-①得，3a 3b 3，即 a b 1，
∴b 1 a；
（2）∵函数图象与 x轴无交点，
b2∴ 4ac 0，即 1 a 2 4a 2 2a 0，∴ 1 a 1 9a 0，
1
解得 a 1，∵b 1 a，
9
1 2 1
∴ a2 b2 a2 1 a 2 a2 a2 2a 1 2a2 2a 1 2 a 2 ， 2
1 1
∴当 a 时， a2 b2 的最小值为 ，当 a 1时， a2 b2 的最大值为 1，
2 2
1
∴ a2 b2 1．
2
日期：2020/9/20 22:45:06；用户：忘忧草；邮箱：987462668@qcom；学号： 12 3．(10分)（第 1 小题 3 分，第 2 小题①4 分，②3 分，）
（1）解：∵ C 90 ， AB 5， BC 3，
4
∴ AC AB2 BC2 4，
∵ BC是圆的切线， BCA 90 ，
∴ AC为圆的直径．
∴ AC边上的伴随圆的半径为 2．
故答案为：2．
（2）证明：①证明：如图连接OE、OB，
∵△CED为直角三角形，
∴△CED的外接圆圆心 O 在CD中点上，
设 O的半径为 r，则DC 2r，OA 3r，
AD 2
∴ ，
AO 3
∵ EA= 2BE，
EA 2
∴ ，
AB 3
AD EA
∴ ，
AO AB
∴ PD∥OB，
∴ 1 2， 3= 4，
∵OE = OD，
∴ 3 2，
∴ 1 4，
OC OP
在 BCO和△BEO

中 1 4 ，

OB OB
∴ BCO≌ BEO，
∴ BEO BCO 90 ，
∴ AB是 O的切线．
∴△CED的外接圆是 ABC某一条边上的伴随圆；
②如图设圆 O 的半径为 r，
5
∵在Rt△OAE中，OA 3r，OE r，
∴ EA OA2 OE 2 2 2r，
∴ AB 3 2r，
∵在Rt△ABC中， AC 4r， AB 3 2r，
∴ BC AB2 AC2 2r
∵在Rt△OBC中，OC r， BC 2r，
∴OB OC 2 CB2 3r，
∴ cos 1 OC r 3 ，
OB 3r 3
∵ EDC 1，
∴ cos EDC 3 ，
3
∴DE CD cos CDE 2 3 r ，
3
2
∴CE CD2 DE2

2r 2 2 3 2 6 r r，
3 3
2 3
DE r
∴ 3
2
．
CE 2 6 2r
3
2
故答案为： ．
2
24.（每小题 4 分，共 12 分）
解： ∵ (0, 2) ，
∴ = 2 ，
∵ 在 △ tan = = 2 = 1中， ∠ ，
2
∴ = 4 ，即 (4,0) ，
16 6 + = 0
将点 (4,0), (0, 2) 代入抛物线的解析式得： { = 2 ，
6
{ =
1
解得 2 ，
= 2
1 3
则此抛物线的解析式为 = 2 2 ；
2 2
（2）解：设直线 BC 的函数解析式为 = + ，
4 + = 0 = 1
将点 (4,0), (0, 2) 代入得： { = 2 ，解得 { 2 ， = 2
1
则直线 BC 的函数解析式为 = 2 ，
2
当 = 1 1时， = × 1 2 = 3 3，即 (1, ) ，
2 2 2
则 = (1 0)2 + ( 3 + 2)2 = 5 ，
2 2
要使 △ 的面积最大，则需要点 P 到 CD 的距离最大，
设与直线 BC 平行的直线 ' 1的函数解析式为 = + ，则 (0, ), = 2 ，
2
如图，过点 C 作 ⊥ ' 于点 E，则 CE 为直线 BC 与直线 ' 间的距离，
在 △ 中， = 4, = 2 + 2 = 2 5 2 5，则 sin∠ = = ，
5
∵ // ' ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ sin∠ = sin∠ = 2 5 ，
5
在 △ 中， sin∠ = = = 2 5 ，
2 5
2 5
解得 = ( 2 ) ，
5
∴ 1 3越小，CE 越大，当直线 ' 要与抛物线 = 2 2 有交点，
2 2
1
即当直线 ' 与 = 2 3 2 有且只有一个交点时， 最小，此时的交点即为点 P，
2 2
7
= 1 2 3 2
联立 { 2 2 ，
= 1 +
2
1
整理得： 2 2 2 = 0 ，
2
则其根的判别式 = 4 4 × 1 ( 2 ) = 0 ，
2
解得 = 4 ，
2 5
则此时 = × ( 2 + 4) = 4 5 ，
5 5
△ 1 × 5 4 5面积的最大值为 × = 1 ，
2 2 5
将 = 4 1代入 2 2 2 = 0 得： 1= 2 2=2 ，
当 = 2 时， = 1 × 22 3 × 2 2 = 3 ，
2 2
∴△ 面积取得最大值时，点 P 的坐标为 (2, 3) ；
= 1 2 3（3）解：对于 2 ，
2 2
当 = 0 1 3时， 2 2 = 0 ，解得 = 1, = 4 ，
2 2
∴ ( 1,0) ，
∵ (4,0), (0, 2) ，
∴ = 4 + 1 = 5, = 12 + 22 = 5, = 22 + 42 = 2 5 ，
∴ 2 + 2 = 2 ，
∴△ 是直角三角形，且 ∠ = 90° ，
( , 1 2 3设点 P的坐标为 2) ，
2 2
∵ ⊥ 1，直线 BC 的函数解析式为 = 2 ，
2
∴ 设直线 PE 的函数解析式为 = 2 + ，
1
将 ( , 2 3 2) 1 3代入得： 2 + = 2 2 ，
2 2 2 2
解得 = 1 2 + 1 2 ，
2 2
1 1
则直线 PE 的函数解析式为 = 2 + 2 + 2 ，
2 2
= 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 + 1
联立 { 2 21 ，解得 {
5 5 ，
= 2 = 1 2 + 1 2
2 10 10
即 ( 1 2 + 1 , 1 2 + 1 2) ，
5 5 10 10
8
∴ 2 = ( 1 2 4 )2 + ( 2 2 + 8 )2 ，
5 5 5 5
2 = ( 1 2 + 1 1)2 + ( 1 2 + 1 1 )2 ，
5 5 10 10 2
由题意，分以下两种情况：
①当 △ △ 时，
= = 5 1则 = ，即 2 = 4 2 ，
2 5 2
3+ 13 17 229
解得 = 或 = ，
2 6
( 3+ 13 , 13 ) ( 17 229 17 10 229则此时 或 , ) ；
2 2 6 18
②当 △ △ 时，
= = 2 5则 = 2 ，即 2 = 4 2 ，
5
= 5解得 ，
2
5 21
则此时 ( , ) ；
2 8
3+ 13 13
综上，存在这样的点 P，此时点 P 的坐标为 ( , ) ( 17 229 , 17 10 229或 ) 或
2 2 6 18
( 5 , 21 ) .
2 8
9