5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
5.4 三角函数的图像和性质
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
一
二
三
学习目标
了解利用单位圆中的三角函数线作正余弦函数图象的方法
掌握“五点作图法”作正余弦函数的简图
借助图象变换，了解正、余弦函数之间的内在联系
学习目标
复习回顾
1. 任意角三角函数的概念是什么？
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
P(x，y)
O
x
y
（1）正弦函数sinα＝
（2）余弦函数cosα＝
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置。
诱导公式一
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.
选择哪个区间？
新知探究
问题1 在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点(,)？
追问 根据正弦函数的定义思考，横坐标x0在单位圆上表示哪个几何量？sin x0的几何意义又是什么？
如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.即得到函数图象上的点.
在单位圆中的几何意义：
既是圆心角，也是圆心角所对的弧的长度，在上取值，就是在单位圆中取弧。
即为角的终边与单位圆交点的纵坐标
新知探究
问题2 如何画出函数y＝sin x，x∈ [0，2π]的图象？我们如何取点呢？
（因为平移不改变点的纵坐标，为了画图方便，将单位圆往左平移一段距离）
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
y=sinx ( x [0, ] )
连线：用光滑曲线
将这些正弦线的终点连结起来
正弦函数图象的形成过程
信息技术，动态演示
π
4
-
3 /2
o
-
π
2
-
π
3
-

/2
π
2
π
3
π
4
x
y
1
-1
函数y=sinx, x R的图象
正弦曲线
y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
即： sin(x+2k )=sinx, k Z
终边相同角的三角函数值相等
利用图象平移
是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
新知探究
问题3 根据函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象，你能想象函数y＝sin x,x∈R的图象吗？
y
x
o
1
-1
问题4 我们在作正弦函数y=sinx x∈[0,2 π]的图象时，描出了13个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五个关键点—
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点法
新知探究
因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
新知探究
问题5 你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是密切关联的函数.下面我们借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.
图象变换得余弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
新知探究
余弦函数，的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
新知探究
问题6 你能否类比“五点法”画正弦函数图象的方法，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点？哪五个关键点？把它们填在下面的表格里.
然后画出的简图.
0
0
0
1
y
x
O
1
-1
典例解析
例1 画出下列函数的简图：
(1) (2)
0 π 2π
解：
（1）列表
0
1
0
-1
0
1
1
0
1
2
x
y
o
-1
1
2

2
.
.
.
.
例1 画出下列函数的简图：
(1) (2)
0 π 2π
解：
（1）列表
1
0
-1
0
1
-1
1
0
-1
0
典例解析
-1
1
x
y
o
-1
1
2
y=1+sinx x [0, ]
y=sinx x [0, ]
y
x
y
x
o
-1
1
y=cosx x [0, ]
y=-cosx x [0, ]
函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？
函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
可以利用函数图象变换来作出函数图象
问题7 你能利用函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？
新知探究
1.在同一坐标系画出下列函数的图象. 通过观察两条曲线，说说它们的异同：
y
x
O
1
-1
简析：
巩固练习
课本P200
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
解：(1)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
sinx
y=-sinx
1
-1
0
0
0
-1
1
0
0
0
y
x
O
1
-1
y= - sinx，x [- , ]
巩固练习
课本P200
解：(2)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
cosx
y=2-cosx
0
0
1
-1
-1
2
2
1
3
3
y= 2- cosx，x [- , ]
y
x
O
1
-1
2
3
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
巩固练习
课本P200
y
x
O
1
-1
3.想一想，函数y= | sinx|与y= sinx图象间的关系，并进行验证。
简析：
y=sinx图象
y=|sinx|图象
x
y
1
-1
O
y=sinx
y=|sinx|
简析：
巩固练习
课本P200
3.图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”
1. 正弦曲线、余弦曲线作法
几何作图法
描点法（五点法）
图象变换法
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系；
课堂小结