4.3.2等比数列的前n项和公式 第2课时 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.3.2等比数列的前n项和公式 第2课时 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-08 15:08:58 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
4.3.2等比数列的前n项和公式
复习回顾
1、等比数列的前n项和公式
(1)“知三求二”实质是方程思想．
(2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式 求和比较方便；
当已知a1，q，an时，则用公式 求和．
2、方法总结
当q=1时，Sn=na1
新知探究
思考1：等比数列前n项和公式 (q≠1)有什么样的函数特征？
等比数列前n项和公式的性质
①当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
qn的系数与常数项互为相反数.
则Sn＝Aqn－A.
1、一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n，则λ=( )
A、-1 B、1 C、2 D、3
例题解析
B
解析：∵Sn＝Aqn－A.
∴qn的系数与常数项互为相反数.
∴1-2λ=-λ，∴λ=1
随堂练习
1、若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k等于 .
解析：∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，
∴3-2k=0，即
2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.
(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；
(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．
例题解析
解析：(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案．
解：(1)当λ=3时，Sn=2n＋3，
①当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1.
②当n=1时a1=S1=5，不符合上式.
2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.
(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；
(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．
例题解析
解：(2)由Sn＝2n＋λ，得
①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1.
若存在常数λ，使得{an}为等比数列，
则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1.
故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列．
解析：(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值．
2、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n-1，判断{an}是不是等比数列，请说明理由．
随堂练习
解：由Sn＝2n-1，得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n-1)－(2n－1-1)=2n－1，
令n=1，得21-1=1=a1，所以an=2n－1，n∈N*，
所以{an}是等比数列.
新知探究
注意：(3)(4)不能作为证明方法，证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
等比数列的判定
(2)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(1)定义法：若数列{an}满足 (q为常数且不为零)或 (n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和为Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
新知探究
思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？
等比数列前n项和公式的性质
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S偶＝qS奇
3、已知等比数列{an}共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( )
A、30 B、60 C、90 D、120
例题解析
D
解：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，
则S偶=qS奇=3S奇
又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S偶
∴S奇= 30，S偶= 90
故数列{an}的所有项之和是 30+90=120.
3、已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q= .
随堂练习
2
解：因为{an}是项数为偶数的等比数列，
又因为S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，
所以S奇 =-80，S偶=-160
新知探究
思考3：已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
等比数列前n项和公式的性质
因为qn为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.
证明：当q=1时，
Sn=na1，
S2n-Sn=2na1-na1=na1，
S3n-S2n=3na1-2na1=na1，
4、等比数列{an}的前n项和为Sn=48，前2n项和为S2n=60，则前3n项和S3n=___.
例题解析
方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，
方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，
即(60－48)2＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.
4、在等比数列{an}中，若S2=7，S6=91，则S4= .
随堂练习
解：∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠-1，
∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4也构成等比数列，
即7，S4-7，91-S4构成等比数列，
∴(S4-7)2=7(91-S4)，解得S4=28或S4=-21.
又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2
=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0，∴S4=28.
5、如果一个等比数列前5项和等于10，前10项的和等于50，求这个数列前15项的和及其公比.
随堂练习
方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，
方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
得(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，
即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
解：设正方形的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1=25.
设{an}的前项和为Sn .
则数列{an}是以25为首项，公比为 的等比数列.
所以，前10个正方形的面积之和为
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
(2) 当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+…+an+…，
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
随着n的无限增大， 将趋近与0，Sn趋近与50.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
6、去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列 . 因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成等比数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列{bn}，
n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，
则an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，
Sn=(a1 b1)+(a2 b2)+…+(an bn)
=(a1+a2+…+an) (b1+b2+…+bn)
=(20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n) (7.5+9+…6+1.5n)
当n=5时，S5≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
方法总结
数列求和方法：分组求和法
(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；
(2) 将等差数列和等比数列分开：
Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)
(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；
解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn 100. ①
分析：(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn 100. ①
(2)将cn+1-k=r(cn-k)化成cn+1=rcn rk+k. ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，(1)中的递推公式可以化为：cn+1-1250=1.08(cn-1250).
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
分析：(3)利用(2)的结论可得出解答。
(3)由(2)可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则：
(c1 1250)+(c2 1250)+(c3 1250)+ +(c10 1250)
≈ 724.3.
所以，S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10 724.3=11775.7≈11776.
6、求下列各式的和
(1)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+……+(2n-3×5-n)；
(2)1+2x+3x2+……+nxn-1.
随堂练习
7、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+1，求Sn.
随堂练习
Sn=-2n+1，
8、已知数列{an}的首项a1=3，通项an=2np+nq(n∈N*，pq为常数)且a1，a4，a5成等差数列.
(1)求p，q的值；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
随堂练习
p=q=1
分组求和法
9、已知等比数列{an}中a1=2，a3+2是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
随堂练习
错位相减法
an=2n
Sn=2+(n-1)·2n+1
10、设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
随堂练习
an=2n-1
Tn=(n-1)·2n+1
11、已知数列{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和Sn.
随堂练习
课堂小结
等比数列前n项和的性质：
(1)若一个非常数数列{an}的前n项和Sn=Aqn A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，
即Sn=Aqn A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) 数列{an}为等比数列.
(2)等比数列{an}中，若项数为2n，则 ；若项数为2n+1，则 .
(3)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n Sn，S3n S2n， 成等比数列(其中Sn，S2n Sn，S3n S2n，……均不为0).
4.3.2等比数列的前n项和公式
复习回顾
1、等比数列的前n项和公式
(1)“知三求二”实质是方程思想．
(2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式 求和比较方便；
当已知a1，q，an时，则用公式 求和．
2、方法总结
当q=1时，Sn=na1
新知探究
思考1：等比数列前n项和公式 (q≠1)有什么样的函数特征？
等比数列前n项和公式的性质
①当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
qn的系数与常数项互为相反数.
则Sn＝Aqn－A.
1、一个等比数列的前n项和Sn=(1-2λ)+λ·2n，则λ=( )
A、-1 B、1 C、2 D、3
例题解析
B
解析：∵Sn＝Aqn－A.
∴qn的系数与常数项互为相反数.
∴1-2λ=-λ，∴λ=1
随堂练习
1、若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k等于 .
解析：∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}为等比数列，
∴3-2k=0，即
2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.
(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；
(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．
例题解析
解析：(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案．
解：(1)当λ=3时，Sn=2n＋3，
①当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1.
②当n=1时a1=S1=5，不符合上式.
2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.
(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；
(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．
例题解析
解：(2)由Sn＝2n＋λ，得
①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1.
若存在常数λ，使得{an}为等比数列，
则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1.
故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列．
解析：(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值．
2、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n-1，判断{an}是不是等比数列，请说明理由．
随堂练习
解：由Sn＝2n-1，得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n-1)－(2n－1-1)=2n－1，
令n=1，得21-1=1=a1，所以an=2n－1，n∈N*，
所以{an}是等比数列.
新知探究
注意：(3)(4)不能作为证明方法，证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
等比数列的判定
(2)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(1)定义法：若数列{an}满足 (q为常数且不为零)或 (n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和为Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
新知探究
思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？
等比数列前n项和公式的性质
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S偶＝qS奇
3、已知等比数列{an}共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( )
A、30 B、60 C、90 D、120
例题解析
D
解：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，
则S偶=qS奇=3S奇
又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S偶
∴S奇= 30，S偶= 90
故数列{an}的所有项之和是 30+90=120.
3、已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q= .
随堂练习
2
解：因为{an}是项数为偶数的等比数列，
又因为S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，
所以S奇 =-80，S偶=-160
新知探究
思考3：已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn，证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.
等比数列前n项和公式的性质
因为qn为常数，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，公比为qn.
证明：当q=1时，
Sn=na1，
S2n-Sn=2na1-na1=na1，
S3n-S2n=3na1-2na1=na1，
4、等比数列{an}的前n项和为Sn=48，前2n项和为S2n=60，则前3n项和S3n=___.
例题解析
方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，
方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，
即(60－48)2＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.
4、在等比数列{an}中，若S2=7，S6=91，则S4= .
随堂练习
解：∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠-1，
∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4也构成等比数列，
即7，S4-7，91-S4构成等比数列，
∴(S4-7)2=7(91-S4)，解得S4=28或S4=-21.
又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2
=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0，∴S4=28.
5、如果一个等比数列前5项和等于10，前10项的和等于50，求这个数列前15项的和及其公比.
随堂练习
方法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由已知易知q≠1，
方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
得(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，
即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
解：设正方形的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则a1=25.
设{an}的前项和为Sn .
则数列{an}是以25为首项，公比为 的等比数列.
所以，前10个正方形的面积之和为
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
5、如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
(2) 当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+…+an+…，
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
随着n的无限增大， 将趋近与0，Sn趋近与50.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
6、去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列 . 因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成等比数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列{bn}，
n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，
则an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，
Sn=(a1 b1)+(a2 b2)+…+(an bn)
=(a1+a2+…+an) (b1+b2+…+bn)
=(20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n) (7.5+9+…6+1.5n)
当n=5时，S5≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
方法总结
数列求和方法：分组求和法
(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；
(2) 将等差数列和等比数列分开：
Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)
(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；
解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn 100. ①
分析：(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
解：(1)由题意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn 100. ①
(2)将cn+1-k=r(cn-k)化成cn+1=rcn rk+k. ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，(1)中的递推公式可以化为：cn+1-1250=1.08(cn-1250).
例题解析
等比数列前n项和公式的实际应用
7、某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…
(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r为常数；
(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精确到1)
分析：(3)利用(2)的结论可得出解答。
(3)由(2)可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则：
(c1 1250)+(c2 1250)+(c3 1250)+ +(c10 1250)
≈ 724.3.
所以，S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10 724.3=11775.7≈11776.
6、求下列各式的和
(1)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+……+(2n-3×5-n)；
(2)1+2x+3x2+……+nxn-1.
随堂练习
7、已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+1，求Sn.
随堂练习
Sn=-2n+1，
8、已知数列{an}的首项a1=3，通项an=2np+nq(n∈N*，pq为常数)且a1，a4，a5成等差数列.
(1)求p，q的值；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
随堂练习
p=q=1
分组求和法
9、已知等比数列{an}中a1=2，a3+2是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
随堂练习
错位相减法
an=2n
Sn=2+(n-1)·2n+1
10、设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
随堂练习
an=2n-1
Tn=(n-1)·2n+1
11、已知数列{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和Sn.
随堂练习
课堂小结
等比数列前n项和的性质：
(1)若一个非常数数列{an}的前n项和Sn=Aqn A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，
即Sn=Aqn A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) 数列{an}为等比数列.
(2)等比数列{an}中，若项数为2n，则 ；若项数为2n+1，则 .
(3)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n Sn，S3n S2n， 成等比数列(其中Sn，S2n Sn，S3n S2n，……均不为0).