7.1.1 条件概率
课标解读
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
2．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 条件概率
1．一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式．
要点二 概率的性质：
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B＝________________ .
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
助 学 批 注
批注 (1)P(AB)表示事件A与B同时发生的概率．
(2)P(B|A)与P(A|B)的区别：P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)P(B|A)
(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率一般是不同的．( )
(3)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(4)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.( )
2．若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是( )
A． B． C． D．
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为( )
A． B． C． D．
4．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为，鼻炎发作且感冒的概率为，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 利用条件概率公式求条件概率
例1 一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：
(1)第1次抽到红球的概率；
(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；
(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率．
方法归纳
求条件概率的两种方法
巩固训练1 (1)[2022·河北沧州高二期末]某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是，两次均击中目标的概率是.则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是( )
A．B．
C．D．
(2)[2022·山东济宁高二期中]从5名男同学和3名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是( )
A． B．
C． D．
题型 2 利用乘法公式求概率
例2 甲袋中有4个白球、3个黑球，乙袋中有2个白球、3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋， 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率．
方法归纳
利用乘法公式求概率的步骤
巩固训练2 (1)已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96%
C．72% D．78.125%
(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．D．0.9
题型 3 条件概率性质的应用
例3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
方法归纳
当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
巩固训练3 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球．从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
7．1.1 条件概率
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
(2)P(B|A)＋P(C|A)
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝＝.
故选A.
答案：A
3．解析：设事件A为“刮风”，事件B为“下雨”，事件AB为“既刮风又下雨”，则P(B|A)＝＝＝.
故选D.
答案：D
4．解析：设某人在春季里鼻炎发作为事件A，感冒为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为P(B∣A)＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：设A＝“第1次抽到红球”，B＝“第2次抽到红球”，
则第1次和第2次都抽到红球为事件AB.
从5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n(Ω)＝＝20.
(1)由分步乘法计数原理，得n(A)＝＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)由分步乘法计数原理，得n(AB)＝＝6，于是P(AB)＝＝＝.
(3)方法一：在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率为P(B|A)＝＝＝.
方法二：P(B|A)＝＝＝.
巩固训练1 解析：(1)设该选手第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是P(B|A)＝＝＝.
故选B.
(2)记事件A：“选到的都是同性别同学”；
事件B：“选到的都是男同学”；
∴P(B|A)＝＝＝＝.
故选C.
答案：(1)B (2)C
例2 解析：设A表示事件“从甲袋移往乙袋的是白球”，B表示事件“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C表示事件“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则事件C为事件AB，
又P(A)＝，P(B|A)＝＝，
所以由概率乘法公式得所求概率为P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝.
巩固训练2 解析：(1)记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.
故选C.
(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽并成长为幼苗)，则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.故选A.
答案：(1)C (2)A
例3 解析：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝，
P(B)＝，P(R|A)＝，
P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为AR又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得
P(AR＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝＝0.59.
巩固训练3 解析：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
所以P(B＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝.
故所求的条件概率为.7.1.2 全概率公式
课标解读
1.理解全概率公式．
2．会利用全概率公式解决实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)________________．
要点二 *贝叶斯公式：
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n.
助 学 批 注
批注 它的直观意义：如图
B发生的概率与P(B|Ai)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全概率公式中，A1，A2，…An必须是一组两两互斥的事件．( )
(2)使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间．( )
(3)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．( )
(4)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．( )
2．已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示．
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是( )
A．93% B．94%
C．95% D．96%
3．甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为( )
A．B．
C．D．
4．已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，则P(B)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 利用全概率公式求概率
例1 [2022·江苏连云港高二期中]甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．
(1)求第一次取出的球为红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
方法归纳
利用全概率公式求概率的策略
巩固训练1 (1)[2022·河北石家庄高二期末]某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占65%，来自乙厂的占35%.已知甲厂产品的合格率是92%，乙厂产品的合格率是90%.若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品是合格品的概率为( )
A．59.8% B．90.6%
C．91.3% D．91.4%
(2)[2022·广东广州高二期末]现有10道四选一的单选题，甲对其中8道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.甲从这10道题中随机选择1题，则甲做对该题的概率是________．
题型 2 *利用贝叶斯公式求概率
例2 某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%，4%，2%.
(1)求消费者买到一只次品灯泡的概率；
(2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？
方法归纳
(1)全概率中，事件B发生的概率通常是在试验之前已知的，习惯上称之为先验概率．而贝叶斯公式中如果在一次试验中，已知事件A确已发生，再考察事件B发生的概率，即在事件A发生的条件下，计算事件B发生的条件概率，它反映了在试验之后，A发生的原因的各种可能性的大小，通常称之为后验概率．
(2)两者最大的不同之处在于处理的对象不同，全概率公式常用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率．
巩固训练2 试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率(精确到0.001)．
7.1.2 全概率公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(Ai)P(B|Ai)
[夯实双基]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：买到的是优质品的概率是0.6×0.95＋0.4×0.9＝0.93＝93%.
故选A.
答案：A
3．解析：设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝，P(C|B)＝＝，
故P(C)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝＝.
故选D.
答案：D
4．解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5.
答案：0.5
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件B1，B2，B3，则P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝，由全概率公式可得：P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝＝.
(2)设第二次取出的球是白球为事件C，由全概率公式可得：
P(AC)＝P(AC|B1)P(B1)＋P(AC|B2)P(B2)＋P(AC|B3)P(B3)
＝＝，
所以P(C|A)＝＝＝.
巩固训练1 解析：(1)设A、B分别表示为买到的产品来自甲厂、来自乙厂，C表示买到的产品是合格品，
则P(A)＝0.65，P(B)＝0.35，P(C|A)＝0.92，P(C|B)＝0.9，
所以P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.65×0.92＋0.35×0.9＝0.913.
故选C.
(2)记事件A：甲对该题有思路；则：甲对该题没有思路；事件B：甲做对该题．
则P(A)＝0.8，P()＝0.2，P(B|A)＝0.8，P(B|)＝0.25.
∴P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.8＋0.2×0.25＝0.69.
答案：(1)C (2)0.69
例2 解析：记事件B表示“消费者买到一只次品灯泡”，A1，A2，A3分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”，根据题意得，
P(A1)＝25%，P(A2)＝35%，P(A3)＝40%，P(B|A1)＝5%，P(B|A2)＝4%，P(B|A3)＝2%.
(1)P(B)＝＝0.034 5.
(2)P(A1|B)＝＝≈0.362 3，
P(A2|B)＝＝≈0.405 8，
P(A3|B)＝＝≈0.231 9，
所以买到乙厂产品的可能性最大．
巩固训练2 解析：设A表示“该考生会做这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则
P(A)＝0.85，P()＝0.15，
P(B|A)＝1，P(B|)＝0.25.
(1)由全概率公式得
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝0.85×1＋0.15×0.25＝0.887 5.
(2)由贝叶斯公式得
P(A|B)＝＝≈0.958.7.2 离散型随机变量及其分布列
课标解读
1.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．
2．理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列．
3．掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 随机变量与离散型随机变量
1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 .
2．离散型随机变量：可能取值为________或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量．用大写英文字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值．
要点二 离散型随机变量的分布列
1．分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列 ，简称分布列，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.离散型分布列的性质：
(1)pi≥________，i＝1，2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．
要点三 两点分布
随机变量X的分布列是：
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从________分布或________分布．
助 学 批 注
批注 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集．
批注 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列有表格、图形和解析式三种不同的表示形式．
批注 两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
2．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．已知X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.3，则P(X＝1)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 离散型随机变量的判定及取值
例1 (1)[2022·江苏淮安高二期末](多选)下列随机变量中属于离散型随机变量的是( )
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X
(2)写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1、2、3、4、5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
方法归纳
(1)判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
(2)在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能漏掉某些试验结果．
巩固训练1 (1)(多选)下列X是离散型随机变量的是( )
A．某座大桥一天经过的车辆数X
B．在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η
C．一天之内的温度X
D．一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分．
(2)[2022·广东中山高二期末]袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球(不放回)，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7
C．1，2，…，11 D．1，2，3…
题型 2 离散型随机变量分布列的性质及应用
例2 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P(方法归纳
离散型随机变量分布列的性质的三个应用
巩固训练2 设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________．
题型 3 求离散型随机变量的分布列
例3 2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金．活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱(每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同)中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶．根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列．
方法归纳
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
巩固训练3 抛掷甲、乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若为整数，则ξ＝0；若为小于1的分数，则ξ＝－1；若为大于1的分数，则ξ＝1，求ξ的分布列．
7．2 离散型随机变量及其分布列
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．唯一
2．有限个 一一列举
要点二
2．(1)0 (2)1
要点三
两点 0－1
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求故选B.
答案：B
3．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个．故选B.
答案：B
4．解析：因为X服从两点分布，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝0.7.
答案：0.7
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确．故选AC.
(2)①最大号码数ξ可取3、4、5，
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为：1、2、3，
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为：1、2、4或1、3、4或2、3、4，
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为：
1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5；
②某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η可取0、1、2、…、n，n∈N＋，
η取i表示被呼叫i次，其中i＝0、1、2、…、n，n∈N＋.
答案：(1)AC (2)见解析
巩固训练1 解析：(1)A、B、D中的X取值均可一一列出，而C中的X是一个范围．不能一一列举出来，故选ABD.
(2)从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球．故选B.
答案：(1)ABD (2)B
例2 解析：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P(X＝)＝k(k＝1，2，3，4，5)，
∴P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(x＝1)＝＝.
(3)当故P(巩固训练2 解析：随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，
∴＝1，
即＝1，解得c＝，
∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝＝.
答案：
例3 解析：由题设，X可能值为{0，1，2}，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
巩固训练3 解析：随机变量ξ的可能取值为－1，0，1.
依题意，数对(x，y)共有16种情况，
ξ＝0有以下8种：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，
所以P(ξ＝0)＝；
ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，
所以P(ξ＝－1)＝＝；
ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，
所以P(ξ＝1)＝＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P7.3.1 离散型随机变量的均值
课标解读
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质．
2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 离散型随机变量的均值
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝________________________＝________为随机变量X的均值或数学期望．
要点二 离散型随机变量的均值的性质
E(X＋b)＝________；E(aX)＝________；E(aX＋b)＝________．
要点三 两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝________．
助 学 批 注
批注 (1)离散型随机变量的数学期望(均值)刻画了离散型随机变量的平均水平．
(2)数学期望(均值)是一个常数，在大量实验下，它总是稳定的，不具有随机性．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )
(2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同．( )
(3)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )
(4)随机变量的均值与样本的平均值是同一个概念．( )
2．若随机变量X的分布列为
X －1 0 1
p
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B．
C．1 D．－1
4．已知随机变量ξ的期望为15，则E(3ξ＋5)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 求离散型随机变量X的均值
例1 [2022·山东淄博高二期末]某部门有职工10人，其中睡眠不足者6人，睡眠充足者4人．现从10人中随机抽取3人做调查．
(1)用X表示3人中睡眠不足职工的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)求事件“3人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率．
方法归纳
求离散型随机变量的均值的步骤
巩固训练1 [2022·广东揭阳高二期末]学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题，正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分，小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是；每道圆锥曲线题解答正确的概率为.假设小明同学每道题的解答相互独立．
(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
(2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值E(X)．
题型 2 离散型随机变量的均值公式及性质
例2 已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
方法归纳
对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
巩固训练2 [2022·辽宁大连高二期末]设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 1 2 3
P 1－q q
则X的数学期望为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题型 3均值的实际应用
例3 [2022·山东师范大学附中高二期中]2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金5 000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 000元；
方案二：交纳延保金6 230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为了制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表
维修次数 0 1 2 3
机器台数 20 40 80 60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？
方法归纳
均值实际应用问题的解题策略
首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．
巩固训练3 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
②设事件A为“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
7．3.1 离散型随机变量的均值
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
要点二
E(X)＋b aE(X) aE(X)＋b
要点三
p
[夯实双基]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故选C.
答案：C
3．解析：因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.故选A.
答案：A
4．解析：因为随机变量ξ的期望为15，
所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.
答案：50
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以，随机变量X的分布列如下表：
P 0 1 2 3
X
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)事件“3人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.
巩固训练1 解析：(1)由题意导数题解答正确的概率是，圆锥曲线题解答正确的概率为，
故小明同学恰好有两道题解答正确的概率P＝×(1－)＋×(1－)×＋(1－)×＝＝.
(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，3，5，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×()＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝×()＋＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 5
P
所以E(X)＝0＋＋2×＋3×＋5×＝.
例2 解析：(1)由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)方法一 (公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
方法二 (直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
巩固训练2 解析：由＋(1－q)＋q＝1得，q＝，
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.故选B.
答案：B
例3 解析：(1)由题意得，X＝0，1，2，3，4，5，6，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×2＝，
P(X＝2)＝×2＋＝，
P(X＝3)＝×2＋×2＝，
P(X＝4)＝×2＋＝，
P(X＝5)＝×2＝，
P(X＝6)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)选择方案一：所需费用为Y1元，则X≤2时，Y1＝5 000，X＝3时，Y1＝6 000；X＝4时，Y1＝7 000；X＝5时，Y5＝8 000，X＝6时，Y1＝9 000，
∴Y1的分布列为
Y1 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
P
E(Y1)＝5 000×＋6 000×＋7 000×＋8 000×＋9 000×＝6 860，
选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2＝6 230；X＝5时，Y2＝6 230＋t；X＝6时，Y2＝6 230＋2t，则Y2的分布列为
Y2 6 230 6 230＋t 6 230＋2t
P
E(Y2)＝6 230×＋(6 230＋t)×＋(6 230＋2t)×＝6 230＋，
要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2)∴6 230＋<6 860，解得t<1 500，即t的取值范围为[0，1 500)．
巩固训练3 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B且B与C互斥．
由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以事件A发生的概率为.7.3.2 离散型随机变量的方差
课标解读
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义．
2．会求离散型随机变量的方差、标准差．
3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D(X)＝________________________＝____________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X) .
要点二 离散型随机变量方差的性质
设a，b，c为常数，则
(1)D(X＋b)＝________；
(2)D(aX)＝________；
(3)D(aX＋b)＝________．
助 学 批 注
批注 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
批注 与均值的区别：离散型随机变量X乘以一个常数a，其均值变为原均值的a倍，方差变为原方差的a2倍．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )
(3)随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．( )
(4)标准差与随机变量本身有相同的单位．( )
2．若随机变量X的分布列如表，则X的方差D(X)是( )
X －1 0 1
P
A.0 B．1
C． D．
3．已知随机变量X的方差为D(X)＝3，则D＝( )
A．9 B．3
C． D．
4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 方差的性质及应用
例1 [2022·福建龙岩高二期末]已知随机变量X的分布列如下：
X 2 3 6
P a
则D(3X＋2)的值为( )
A．2 B．6
C．8 D．18
方法归纳
对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
巩固训练1 [2022·山东菏泽高二期末](多选)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足：Y＝2X＋1，则下列结论正确的有( )
A．E(X)＝2 B．E(Y)＝4
C．D(X)＝1.8 D．D(Y)＝3.6
题型 2 求离散型随机变量的方差
例2 [2022·广东佛山高二期末]今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元．通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．
方法归纳
求离散型随机变量X的方差的一般步骤
巩固训练2 甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则D(X)＝( )
A． B．
C． D．
题型 3方差的实际应用
例3 [2022·河北张家口高二期末]已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为
表1：
X1 0.3 0.18 0.1
P 0.2 0.5 0.3
表2：
X2 0.25 0.15
P 0.2 0.8
(1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两项目的利弊；
(2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元，求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？
注：利润率＝.
方法归纳
在实际决策问题中，一般先计算均值，比较随机变量平均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性．
巩固训练3 [2022·重庆万州高二期中]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
7．3.2 离散型随机变量的方差
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn
要点二
(1)D(X) (2)a2D(X) (3)a2D(X)
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝0，
则D(X)＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(1－0)2＝.故选D.
答案：D
3．解析：∵D＝D(X)＝，故选C.
答案：C
4．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中，由题意，可得乙的质量较好．
答案：乙
题型探究·课堂解透
例1 解析：根据分布列可知＋a＝1，解得a＝，
E(X)＝2×＋3×＋6×＝3，
D(X)＝×(2－3)2＋×(3－3)2＋×(6－3)2＝2，
所以D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故选D.
答案：D
巩固训练1 解析：由分布列知：q＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，A正确；
E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝5，B不正确；
对于C，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.1×02＋0.2×12＋0.2×22＝1.8，C正确；
对于D，D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝7.2，D不正确．故选AC.
答案：AC
例2 解析：(1)记事件A：摸出2个红球．则P(A)＝＝.
(2)由题意可得：X的可能取值为0，20，50.则：P(X＝0)＝＝；P(X＝20)＝＝；P(X＝50)＝＝.
所以数学期望E(X)＝0×＋20×＋50×＝27，
方差D(X)＝(0－27)2×＋(20－27)2×＋(50－27)2×＝261.
巩固训练2 解析：由题意知，命中目标的人数X的所有可能取值是0，1，2，
则P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝(1－)××(1－)＝，
P(X＝2)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.故选B.
答案：B
例3 解析：(1)由题意，得
E(X1)＝0.3×0.2＋0.18×0.5＋0.1×0.3＝0.18，
D(X1)＝(0.3－0.18)2×0.2＋(0.18－0.18)2×0.5＋(0.1－0.18)2×0.3＝0.004 8，
E(X2)＝0.25×0.2＋0.15×0.8＝0.17，
D(X2)＝(0.25－0.17)2×0.2＋(0.15－0.17)2×0.8＝0.001 6，
由E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，
又Y1＝100X1，Y2＝100X2，得E(Y1)＝100×0.18＝18，D(Y1)＝1002×0.004 8＝48，
E(Y2)＝100×0.17＝17，D(Y2)＝1002×0.001 6＝16，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定．若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙．
(2)设x万元投资甲，则(100－x)万元投资了乙，
则投资甲的利润Z1＝xX1，投资乙的利润Z2＝(100－x)X2
设f(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则f(x)＝D(Z1)＋D(Z2)＝x2D(X1)＋(100－x)2D(X2)
＝0.004 8x2＋0.001 6(100－x)2＝0.001 6(4x2－200x＋10 000)，
当x＝－＝25时，f(x)的值最小．
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小．
巩固训练3 解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又因为D(ξ)所以甲的射击技术好，故应选甲．7.4.1 二项分布
课标解读
1.了解伯努利试验，了解二项分布的概念．
2．掌握二项分布及其均值、方差，并能解决简单的实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 n重伯努利试验
只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
(1)同一个伯努利试验重复 做n次；
(2)各次试验的结果________．
要点二 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0要点三 二项分布的均值与方差：
如果X～B(n，p)，那么E(X)＝________，D(X)＝________．
助 学 批 注
批注 “重复”意味着各次试验成功的概率相同．
批注 如果把p看成b，1－p看成a，则pk(1－q)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式的通项，由此才称为二项分布．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的．( )
(2)在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( )
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.( )
(4)两点分布是二项分布的特殊情况．( )
2．某试验每次成功的概率为p(0p7(1－p)3
p6(1－p)4
3．若随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝( )
A．6 B．3
C． D．
4．已知随机变量X～B(5，)，则P(X＝2)＝________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 n重伯努利试验
例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
方法归纳
利用n重伯努利试验求概率的步骤
巩固训练1 操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立．
(1)求其中恰好有4名同学投中的概率；
(2)求其中至少有4名同学投中的概率．
题型 2 二项分布
例2 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A、B、C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是.
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列．
方法归纳
(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点：
①对于公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
巩固训练2 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X，求X的分布列．
题型 3 二项分布的均值与方差
例3 [2022·福建宁德·高二期末]2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为Y；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为X.
累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为p(0(1)若p＝，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？
方法归纳
用二项分布的均值与方差解实际应用题的步骤
巩固训练3 某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列，均值及方差；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．
7.4.1 二项分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
两个 (2)相互独立
要点二
pk(1－p)n－k X～B(n，p)
要点三
np np(1－p)
[夯实双基]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为p3(1－p)7.故选A.
答案：A
3．解析：随机变量X～B(6，)，则数学期望E(X)＝6×＝3.故选B.
答案：B
4．解析：由题意知：P(X＝2)＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P()＝1－＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝＝，P(B2)＝×(1－)＝，
由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝＝.
巩固训练1 解析：(1)∵每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立，
∴其中恰好有4名同学投中的概率
P＝＝.
(2)其中至少有4名同学投中的概率
P＝＝.
例2 解析：(1)通过两个项目测试的概率为＝，
通过三个项目测试的概率为＝，
则甲被录用的概率为＝.
(2)由于甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，由此知甲乙丙被录用的概率都是，所以X～B(3，)，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
巩固训练2 解析：(1)记事件A＝{甲、乙两箱中摸出球都是红球}，则P(A)＝＝.
即顾客抽奖1次能获奖的概率为.
(2)由题可知X～B(3，)，
∴P(X＝0)＝(1－)3＝，
P(X＝1)＝(1－)2＝，
P(X＝2)＝(1－)1＝，
P(X＝3)＝(1－)0＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
例3 解析：(1)p＝，甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，
所以P(X＝3)＝＋2＝，
所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为.
(2)选方案一，则Y～B(9，p)，选方案一得分的数学期望为E(Y)＝9p，选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为p0＝2p2(1－p)＋p2＝3p2－2p3，进行三轮投篮，得3分的次数ξ为随机变量，则ξ～B(3，p0)，Eξ＝3p0，进行三轮总得分X＝3ξ，则选择方案二得分的期望为E(X)＝3Eξ＝9p0＝9(3p2－2p3)，显然E(Y)－E(X)＝9p－9(3p2－2p3)＝9p(p－1)(2p－1)，当p＝，E(Y)－E(X)＝0，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；当E(X)，方案一期望大，所以甲应该选方案一．
巩固训练3 解析：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B(4，)．
∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
其分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∵X～B(4，)，∴E(X)＝4×＝2.
D(X)＝4××(1－)＝1.
(2)由题意可得Y＝2 300－100X，
∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100.即所求变量Y的数学期望为2 100元．7.4.2 超几何分布
课标解读
1.了解超几何分布．
2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．
3．了解超几何分布与二项分布的关系，能利用超几何分布概率模型解决实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．
要点二 超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则E(X)＝________．
助 学 批 注
批注 一定要注意公式中字母的范围及其意义，N—总体中的个体总数，M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n—样本容量，k—样本中的特殊个体数(如次品数)．求分布列时，可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．( )
(2)超几何分布的总体里只有两类物品．( )
(3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( )
(4)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.( )
2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A．N＝10，M＝4，n＝6
B．N＝10，M＝6，n＝4
C.N＝14，M＝10，n＝4
D．N＝14，M＝4，n＝10
3．盒中有4个白球、5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )
A． B．
C． D．
4．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 超几何分布模型的概率
例1 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
方法归纳
超几何分布模型的概率的求解策略
巩固训练1 [2022·北京北师大附中高二期中]数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________.
题型 2 超几何分布的分布列与均值
例2 [2022·河北张家口高二期末]某班4名女生和3名男生站在一排．
(1)求4名女生相邻的站法种数；
(2)在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望E(X)的值．
方法归纳
求超几何分布的分布列的步骤
巩固训练2 从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
题型 3 超几何分布与二项分布的区别
例3 [2022·山东济南高二期末]某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．
(1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望；
(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．
方法归纳
超几何分布与二项分布的区别
超几何分布 二项分布
试验 不放回抽样 有放回抽样
总体个数 有限个 无限个
随机变量取值的概率 利用组合计算 利用相互独立事件计算
巩固训练3 一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和数学期望．
7.4.2 超几何分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
np
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6.故选A.
答案：A
3．解析：p＝＝.故选C.
答案：C
4．解析：次品数服从超几何分布，则E(X)＝3×＝0.3.
答案：0.3
题型探究·课堂解透
例1 解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.故中奖的概率为.
巩固训练1 解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝.
答案：
例2 解析：(1)把4名女生看为一个整体，和三名男生排列共有＝576(种)．
所以4名女生相邻的站法种数576(种)．
(2)由题意可知，X服从超几何分布，且N＝7，M＝4，n＝3.
X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
X的数学期望E(X)＝
＝＝.
巩固训练2 解析：(1)根据题意，X＝0，1，2，3，
又P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)根据(1)中所求分布列可知，X的均值为0×＋1×＋2×＋3×＝.
例3 解析：(1)有放回的抽取P(取到合格品)＝＝，P(取到次品)＝＝，
根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
X的分布列为
P 0 1 2 3 4
X
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)由题意得总体中合格品的比例为＝，
因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，
所以样本中合格品的比例大于小于，即样本中合格品的个数为2或3.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以P(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过)＝＝.
巩固训练3 解析：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为＝0.4，且各次试验是独立的，
因此X～B(20，0.4)，
X的分布列为P(X＝k)＝×0.4k×0.620－k，k＝0，1，2，…，20，
X的数学期望为E(X)＝20×0.4＝8.
对于不放回摸球，各次试验不独立，X服从超几何分布，
X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，20，
X的数学期望为E(X)＝＝8.7.5 正态分布
课标解读
1.通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念．
2．通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义．
3．了解正态分布的均值、方差及其含义．
4．会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 正态曲线
1．正态曲线的概念：函数φμ，σ(x)＝，x∈R，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称为________________，称它的图象为______________，简称正态曲线 .
2．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方；
(2)曲线和x轴之间的区域面积为________；
(3)曲线是单峰的，它关于直线________对称；
(4)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)________；
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
要点二 正态分布
1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记作：____________．特例：当μ＝____，σ＝____时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝____．
要点三 正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3 .
助 学 批 注
批注 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(2)当μ一定时，曲线的位置可确定．当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散．
批注 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，简称为3σ原则．
夯 实 双 基
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( )
(2)正态曲线可以关于y轴对称．( )
(3)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．( )
(4)正态分布中，3σ范围之外的情况在随机试验中是不会发生的．( )
2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则P(X<1)＝( )
A． B．
C． D．
3．如图是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为( )
A．①②③ B．③②①
C．②③① D．①③②
4．已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<－1)＝P(X>5)，则μ＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 正态分布密度曲线
例1 [2022·江苏宿迁高二期末](多选)已知X～N(，))的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．μ1<μ2
B．σ1<σ2
C． t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)
D． t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)
方法归纳
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
巩固训练1 [2022·广东清远高二期末]已知三个正态密度函数φi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( )
A．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2>σ3
B．μ1<μ2＝μ3，σ1<σ2<σ3
C．μ1＝μ3>μ2，σ1＝σ2<σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
题型 2正态分布的概率计算
例2 (1)[2022·广东广州高二期末]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2，则P(0A．0.2 B．0.3
C．0.5 D．0.8
(2)[2022·山东聊城高二期末]已知随机变量X，Y，X～B(4，), Y～N(μ，σ2)，且D(X)＝E(Y)，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则实数a＝( )
A．0 B．
C． D．
方法归纳
正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
巩固训练2 (1)[2022·河北张家口高二期末]已知X～N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.7，则P(0A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
(2)[2022·福建龙岩高二期末]已知随机变量X～N(8，σ2)，且P(6题型 3正态分布的实际应用
例3 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．
(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？
附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.
方法归纳
正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
巩固训练3 (1)[2022·江苏淮安高二期末]某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N(90，σ2)，若P(90≤c≤95)＝0.3，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为( )
A．5 B．10
C．15 D．30
(2)[2022·广东深圳高二期末]某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，某公司购买该种包装的大米1 000袋，则大米质量在10.02 kg以上的袋数大约是( )
A．5 B．10
C．20 D．40
7．5 正态分布
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．正态密度函数 正态密度曲线
2．(2)1 (3)x＝μ (4)
要点二
1．X～N(μ，σ2) 0 1
2．μ σ2
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：因为X～N(1，σ2)，所以直线X＝1为正态分布的对称轴，所以P(X<1)＝.故选D.
答案：D
3．解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，
因为当σ较小时，峰值高，正态曲线尖陡，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选A.
答案：A
4．解析：因为P(X<－1)＝P(X>5)，故μ＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1 解析：由正态密度曲线的性质可知)的正态密度曲线分别关于x＝μ1，x＝μ2对称，σ越小密度曲线越“高瘦”，由题图可知μ1<μ2，σ1<σ2，故AB正确；
当t≥μ1，P(X≥t)由于正态密度曲线与x轴之间的面积为1，由题图可知 t∈R，P(X≥t)≥P(Y≥t)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
巩固训练1 解析：由题图中y＝φi(x)的对称轴知：μ1<μ3＝μ2，
y＝φ1(x)与y＝φ2(x)(一样)瘦高，而y＝φ3(x)胖矮，
所以σ1＝σ2<σ3.故选D.
答案：D
例2 解析：(1)因随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.2.
所以P(X≤0)＝0.2，P(0所以P(0(2)由题意，D(X)＝4××(1－)＝1＝E(Y)，则μ＝1，
又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则a－1＋3－2a＝2，解得a＝0.故选A.
答案：(1)B (2)A
巩固训练2 解析：(1)因为P(X<4)＝0.7，所以P(X≥4)＝0.3，又＝2，
所以P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.3，所以P(0(2)由题意得，正态分布曲线的对称轴为x＝8，
根据对称性可得：P(6答案：(1)B (2)
例3 解析： (1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则
P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(5016÷0.022 5≈711(人)．
因此，此次参赛学生的总数约为711.
(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60得711×0.158 5≈113(人)．
因此，此次竞赛获奖励的学生约为113人．
巩固训练3 解析：(1)由c近似服从N(90，σ2)，可知正态分布曲线的对称轴为μ＝90，
则P(85≤c≤90)＝P(90≤c≤95)＝0.3，
所以P(c<85)＝[1－2P(90≤c≤95)]＝0.2，
则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为50×0.2＝10人，故选B.
(2)因大米质量ξ～N(10，σ2)，且P(9.98≤ξ≤10.02)＝0.98，
则P(ξ>10.02)＝＝0.01，
所以大米质量在10.02 kg以上的袋数大约为1 000×0.01＝10.故选B.
答案：(1)B (2)B专 项 培 优2章末复习课
·
·
考点一 条件概率
1．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝.(2)P(B|A)＝.
2．通过对条件概率的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
例1 [2022·新高考Ⅰ卷节选]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(1)证明：R＝·；
(2)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(1)的结果给出R的估计值．
例2 [2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．
考点二 相互独立事件的概率
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．通过对相互独立事件概率公式应用的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理核心素养．
例3 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
考点三 二项分布与超几何分布
1．二项分布与超几何分布是高中阶段主要学习的两种分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查较灵活，常与期望、方差融合在一起．
2．通过对二项分布与超几何分布的考查，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养．
例4 [2022·福建三明高二期中]2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
竞赛得分 [50，60] (60，70] (70，80] (80，90] (90，100]
频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2
(1)如果规定竞赛得分在(80，90]为“良好”，竞赛得分在(90，100]为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；
(2)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
例5 [2022·广东深圳高二期中]近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表(单位：吨)．
厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
厨余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；
(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同)．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
考点四 离散型随机变量的均值和方差在决策中
的作用
1．方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．
2．通过对离散型随机变量的均值和方差在决策中的作用的考查，提升学生的数学运算、逻辑推理、数据分析核心素养．
例6 [2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
考点五 正态分布
1．正态分布在实际生产生活中有广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数μ，σ，充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称及在三个特殊区间的概率进行求解．
2．通过对正态分布的考查，提升学生的数学运算、直观想象、数据分析核心素养．
例7 (1)[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1 解析：(1)证明：∵＝·＝···＝·，
·＝···＝·＝·，
∴R＝·.
(2)由表格中的数据，得
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
∴P(|B)＝1－P(A|B)＝，
P(|)＝1－P(A|)＝，
∴R＝·＝＝6.
例2 解析：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式，得
P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4.
即此人患这种疾病的概率约为0.001 4.
例3 解析：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，
k＝1，2，3，4，5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)
＝＋＋
＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝.
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝.
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝.
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
例4 解析：(1)成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为.
所以成绩为“良好”的抽取30×＝3人，成绩为“优秀”的抽取20×＝2人．
所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为P＝＝.
(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3.
由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为P1＝＝，竞赛得分不是“优秀”的概率为P2＝1－P1＝1－＝.若以频率估计概率，则X服从二项分布B(3，)．
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
例5 解析：(1)由题表可得厨余垃圾共有60＋20＋20＝100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率P＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.
例6 解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
例7 解析：(1)对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
(2)由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2答案：(1)D (2)0.14