3.1.1 椭圆及其标准方程
[课标解读] 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
教材要点
要点一 椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的________等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的________称为半焦距．
用集合语言描述椭圆的定义：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．
状元随笔 (1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
要点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
焦点 坐标 ________________ __________________
a，b，c 的关系 ________________
状元随笔 椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．( )
(4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( )
2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
3．椭圆＋y2＝1的焦点坐标是( )
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则( )
A．m>n>0 B．n>m>0
C．mn>0 D．mn<0
5．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是________．
题型 1 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－)；
(3)经过点P()，Q(0，－)．
方法归纳
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
巩固训练1 (1)已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过P(，－)，则椭圆的标准方程为________．
(2)与椭圆＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程为________．
题型 2 椭圆定义及其应用
例2 (1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
(2)已知点P是椭圆＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
方法归纳
椭圆定义的应用技巧
巩固训练2 设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．
题型 3 与椭圆有关的轨迹问题
例3 (1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
方法归纳
求轨迹方程的常用方法
巩固训练3 已知点M在椭圆＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程．
易错辨析 忽略椭圆焦点位置的讨论致错
例4 已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
综上可知，实数m的值为4或 .
答案：4或
易错警示
易错原因 纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解． 涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然认为焦点在x轴上或y轴上去求解．
3.1.1 椭圆及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
距离的和 焦距 一半
要点二
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.
答案：D
3．解析：由题设方程，椭圆焦点在x轴上且c＝＝，
∴焦点坐标为(±，0)．
答案：B
4．解析：方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0.
答案：A
5．解析：由题意，椭圆的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，
又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16，
当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的方程为＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＝1.
答案：＝1或＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋
＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＝1.
巩固训练1 解析：(1)设椭圆F的标准方程为：＝1(a>b>0)，依题意得c＝2，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝
＋ ＝2，
∴a＝，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆F的标准方程为＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.
又点(3，)在所求椭圆上，所以＝1，即＝1 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＝1.
答案：(1)＝1 (2)＝1
例2 解析：(1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由椭圆的标准方程知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
答案：(1)C (2)见解析
巩固训练2 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
例3 解析：(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＝1.
所以＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
(2)两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为＝1.
答案：(1)x2＋＝1 (2)见解析
巩固训练3 解析：设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)．
因为点M在椭圆＝1上，所以＝1.
因为M是线段PP′的中点，所以
代入＝1，得＝1，即x2＋y2＝36.
所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝36.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
[课标解读] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．
教材要点
要点 椭圆的简单几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
范围 ____≤x≤____， ≤y≤____ ____≤y≤____， ≤x≤____
对称性 关于____轴、____轴对称，关于原点对称
顶点坐标 A1______，A2______， B1______，B2________ A1______，A2______， B1______，B2________
轴长 长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____
离心率 e＝________(0状元随笔 (1)椭圆位于直线x ＝±a和y＝±b所围成的矩形区域里．
(2)离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＝1的离心率e＝.( )
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．( )
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1，0)，(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
3．椭圆＝1的短轴长为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
4．下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．
题型 1 由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
方法归纳
由标准方程研究性质时的2点提醒
巩固训练1 (1)已知椭圆的方程为＝1，则其焦距为( )
A． B．6
C．2 D．2
(2)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标．
题型 2 根据椭圆几何性质求其标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
方法归纳
已知椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤
巩固训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
题型 3 求椭圆的离心率
例3 (1)如图为学生做手工时画的椭圆C1、C2、C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1＝e2C．e1＝e2>e3 D．e2＝e3>e1
(2)设F1、F2是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．
(3)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C上的P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ是菱形，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
方法归纳
求椭圆离心率(或范围)的2种常用方法
巩固训练3 (1)已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴垂线交椭圆于点P，若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
易错辨析 忽视椭圆焦点的位置致误
例4 若椭圆＝1的离心率为e＝，则实数m的值等于________．
解析：若5>m，则e＝＝，解得m＝3；
若5答案：3或
易错警示
易错原因 纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解． 椭圆＝1的焦点可能在x轴上也可能在y轴上，应分类讨论，不能直接当成焦点在x轴上的情况求解．
第1课时 椭圆的简单几何性质
新知初探·课前预习
要点
－a a －b b －a a －b b x y (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
答案：D
3．解析：b2＝16，所以b＝4，所以短轴长为2b＝8.
答案：B
4．解析：由e＝ ，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＝1的离心率最大，故其形状最扁．
答案：A
5．解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆方程是＝1.
答案：＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：把已知方程化成标准方程为＝1，
于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，
四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．
巩固训练1 解析：(1)因为椭圆的方程为＝1，所以a2＝5、b2＝2，所以c2＝a2－b2＝3，所以c＝，则焦距为2c＝2.
(2)将方程化为标准形式，
即＝1(m＞0)，
所以a＝，b＝ ，c2＝.
又e＝，则＝，解得m＝1，
从而a＝1，b＝，c＝.
所以椭圆的长轴长2a＝2，短轴长2b＝1，
焦点坐标F1，F2.
答案：(1)C (2)见解析
例2 解析：(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，
∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)方法一 由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＝1或＝1.
方法二 设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
巩固训练2 解析：(1)由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B (2)＝1 (3)＝1或＝1
例3 解析：(1)由图知椭圆C1的半长轴和半短轴分别为： a＝2，b＝1.5，
椭圆C2的半长轴和半短轴分别为：a＝4，b＝2，
椭圆C3的半长轴和半短轴分别为：a＝6，b＝3,
所以e1＝＝＝＝＝，
e2＝＝＝ ＝ ＝，
e3＝＝＝ ＝ ＝，
所以e2＝e3>e1.
(2)如下图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°，
所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.
又因为|F1F2|＝2c，所以2c＝3a－2c，所以e＝＝.故选C.
(3)如图所示：
由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ是菱形，所以|F1Q|＝|QP|＝2c，则|OQ|＝c，
所以P点坐标为(2c，c)，
将P点坐标为(2c，c)代入C：＝1(a>b>0)得：
＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
故4e4－8e2＋1＝0，由于0所以e＝ ＝.
答案：(1)D (2)C (3)C
巩固训练3 解析：(1)依题意可知b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝4c2，＝＝.
(2)椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，点P.
由△PF1F2为等腰直角三角形可知，＝2c，即a2－2ac－c2＝0，
可化为1－2e－e2＝0，故e＝－1或e＝－－1(舍)．
答案：(1)B (2)－1第2课时 直线与椭圆的位置关系
[课标解读] 1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．
教材要点
要点 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 ____解 Δ____0
相切 ____解 Δ____0
相离 ____解 Δ____0
状元随笔 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
(2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
(3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．( )
(2)长轴是椭圆中最长的弦．( )
(3)直线y＝k(x－a)与椭圆＝1的位置关系是相交. ( )
(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长最短．( )
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )
A．2 B．±
C．±2 D．±2
4．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于( )
A．1 B．±1
C．－1 D．±2
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
题型 1 实际生活中的问题
例1 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．
方法归纳
解决与椭圆有关的实际问题的一般步骤
巩固训练1 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：x＋2y－8＝0与椭圆C：＝1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的角平分线所在的直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
题型 2 直线与椭圆的位置关系
例2 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
方法归纳
判断直线与椭圆的位置关系的一般步骤
巩固训练2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题
例3 已知椭圆＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
方法归纳
1．直线被椭圆截得的弦长的2种求法
2．解决椭圆中点弦问题的2种方法
巩固训练3 过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
易错辨析 忽视隐含条件致错
例4 若直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)
答案：[1，5)
易错警示
易错原因 纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)． 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况．
第2课时 直线与椭圆的位置关系
新知初探·课前预习
要点
两 > 一 ＝ 无 <
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16>0，
∴直线与椭圆相交．
答案：C
3．解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.
∴m＝±2.
答案：C
4．解析：因为椭圆x2＋＝1的焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，所以b＝1或－1.
答案：B
5．解析： 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得+2a1c2+2a2c1
所以+2a1c2+2a2c1，
即+2a1c2+2a2c1，由图可得，，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确．
答案：BD
巩固训练1 解析： P(2，3)，
直线l的斜率为－，
由于直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的角平分线所在的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
答案：A
例2 解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ①.
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
巩固训练2 解析：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为.
例3 解析：(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
解方程组可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，
B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝＝×6＝3.
(2)方法一 易知直线l的斜率存在，不妨设为k，
则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋64k2－64k－20＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线AB的方程为y＝－x＋4.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＝0，＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
kAB＝－＝－，
所以直线AB的方程为y＝－x＋4.
巩固训练3 解析：(1)设直线与椭圆的交点为，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，
则)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以|AB|＝·＝2.3.2.1 双曲线及其标准方程
[课标解读] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
教材要点
要点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的__________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的________．
用集合语言描述双曲线的定义：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a<|F1F2|}．
状元随笔 若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
要点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1________，F2________ F1________，F2________
a，b，c的关系 c2＝________
状元随笔 焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．( )
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．( )
(4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．( )
2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1或＝1
D．＝0或＝0
4．双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±2)
C．(0，±) D．(±2，0)
5．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
题型 1 双曲线标准方程的判断
例1 方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________．
方法归纳
(1)判断双曲线的类型首先要将方程化为标准方程．
(2)若方程为＝1(mn≠0)，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若，则双曲线的焦点在x轴上；若，则双曲线的焦点在y轴上．
巩固训练1 已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A．B．5
C．7 D．
题型 2 求双曲线的标准方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
方法归纳
求双曲线标准方程的2种方法
巩固训练2 (1)已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是( )
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．x2－＝1
题型 3 双曲线定义的应用
例3 (1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
方法归纳
应用双曲线定义的3种策略
巩固训练3 (1)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．＝1(x≤－)
B．＝1(x≥)
C．＝1
D．＝1
(2)已知F1，F2为双曲线＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
易错辨析 忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值致错
例4 若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝13或1.
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去．
答案：13
易错警示
易错原因 纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因是忽略了|PF2|min＝c－a＝2 利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a
3.2.1 双曲线及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
距离的差的绝对值 焦距
要点二
(－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) a2＋b2
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
答案：C
4．解析：由双曲线的标准方程－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，c2＝3＋1＝4，则c＝±2.
因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±2，0)．
答案：D
5．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
答案：22或2
题型探究·课堂解透
例1 解析：∵方程＝1表示双曲线，
∴(k＋1)(k－2)<0，
∴－1答案：(－1，2)
巩固训练1 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为＝1.
由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，
解得a＝.
答案：D
例2 解析：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)方法一 ∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1.
方法二 设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1.
巩固训练2 解析：(1)因为双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴该双曲线的标准方程是＝1.故选A.
(2)由椭圆方程可得焦点坐标为(±，0)，设与其共焦点的双曲线方程为：＝1(0双曲线过点Q(2，1)，则：＝1，整理可得：m2－8m＋12＝0，
结合0答案：(1)A (2)A
例3 解析：(1)双曲线C：＝1，c＝2，所以|F1F2|＝4，根据双曲线的对称性，可假设P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|－|PF2|＝m－n＝2，
所以(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，m2＋n2＝8＋2mn，在△F1PF2中，根据余弦定理：
cos 60°＝＝，即＝，解得：mn＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8.
(2)以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为＝1(x>)．
答案：(1)D (2)见解析
巩固训练3 解析：(1)设动圆M的半径为r，又圆C1与圆C2的半径均为，
则由已知得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又点C1(－4，0)，C2(4，0)，
则|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
于是点M的轨迹方程为＝1(x≥)．
(2)由题意得|PF1|＝2|PF2|,
又|PF1|－|PF2|＝4，
所以|PF1|＝8，|PF2|＝4，又|F1F2|＝4，
所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
所以∠F1F2P＝，
所以＝·|PF2|·|F1F2|＝×4×4＝8.
答案：(1)B (2)8第1课时 双曲线的简单几何性质(1)
[课标解读] 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．
教材要点
要点一 双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性 质 图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 ________或________， y∈R ________或________， x∈R
对称性 对称轴：________；对称中心：________
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：________；虚轴：线段B1B2，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________
离心率 e＝∈________
渐近线 y＝±x y＝±x
状元随笔 (1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
(2)由于＝＝＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
(3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
要点二 等轴双曲线
________________的双曲线，它的渐近线方程是________，离心率为________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．( )
(3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )
2．双曲线－x2＝1的实轴长为( )
A．2 B．4
C． D．
3．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是( )
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1或＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
4．双曲线－y2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．双曲线9y2－16x2＝144的离心率e＝________．
题型 1 由双曲线的方程研究双曲线的性质
例1 求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
方法归纳
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
巩固训练1 (1)若实数k满足0A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
(2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．
题型 2 由双曲线的几何性质求其标准方程
例2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程；
(2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程．
(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程．
方法归纳
用待定系数法求双曲线标准方程的4种方法
巩固训练2 (1)已知双曲线C过点(1，)且渐近线为y＝±x，则双曲线C的方程是( )
A．3x2－y2＝1 B．x2－3y2＝1
C．y2－3x2＝1 D．3y2－x2＝1
(2)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
题型 3 求双曲线的离心率
例3 (1)已知点A(－4，0)到双曲线C：＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．2
(2)已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线C的离心率为( )
A．4＋2 B．－1
C．D．＋1
方法归纳
求双曲线离心率的2种常用方法
巩固训练3 (1)双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为( )
A． B．
C．2 D．4
(2)过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交曲线C于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝45°，则双曲线的离心率为( )
A． B．－1
C． D．＋1
易错辨析 忽略对焦点所在轴的讨论致误
例4 已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1.
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况． 当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.
第1课时 双曲线的简单几何性质(1)
新知初探·课前预习
要点一
x≤－a x≥a y≤－a y≥a 坐标轴 原点 2a 2b a b (1，＋∞)
要点二
实轴和虚轴等长 y＝±x
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由题知a2＝4，b2＝1，所以双曲线的实轴长为2a＝4.
答案：B
3．解析：由题意知2a＝2，2b＝4，
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，
又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
答案：D
4．解析：由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
答案：B
5．解析：双曲线9y2－16x2＝144可化为：＝1.
所以a2＝16，b2＝9，
所以离心率为：e＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：双曲线方程可化为：－x2＝1，
则双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝1，∴c2＝＋1＝；
∴a＝，b＝1，c＝，
∴顶点坐标为；焦点坐标为；实轴长为2a＝；虚轴长为2b＝2；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.
巩固训练1 解析：(1)∵00，25－k>0，
双曲线＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为，
双曲线＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，
焦距为2＝2，离心率为，
因此，两双曲线的焦距相等，故选D.
(2)因为e＝＝ ＝2，
所以＝，又双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案：(1)D (2)y＝±x
例2 解析：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝.
又∵双曲线过点P(，2)，∴＝1，
依题意可得解得
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)双曲线＝1的焦点为(±2，0)，
可设所求双曲线的方程为＝1(a，b>0)，
由题意可得c＝2，即a2＋b2＝20，
将点(3，2)代入双曲线方程可得，
＝1，
解得a＝2，b＝2，
所求双曲线的方程为＝1.
(3)方法一 当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1，由渐近线方程为y＝±x得，
＝，2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴双曲线方程为＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为＝1.
即所求双曲线方程为＝1或＝1.
方法二 由渐近线方程为y＝±x可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求双曲线方程为＝1或＝1.
巩固训练2 解析：(1)由y＝±x，可得y2＝3x2，可设双曲线的方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，
又双曲线经过点(1，)，
可得3－2＝λ，即λ＝1，所以双曲线的方程为3x2－y2＝1.
(2)由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为＝1.
答案：(1)A (2)＝1
例3 解析：(1)由双曲线的对称性，不妨取双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线bx－ay＝0，
由已知得＝，即9c2＝25(c2－a2)，16c2＝25a2，4c＝5a，e＝＝.
(2)依题意知，若双曲线焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴|F1F2|＝2c，则△MF1F2的高为c，即M(0，c)，
∴N，代入双曲线方程：＝1，整理得：b2c2－3a2c2＝4a2b2，
∵b2＝c2－a2，
∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±2，
∵e>1，
∴e＝＋1.
答案：(1)A (2)D
巩固训练3 解析：(1)因为双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
又其中一条渐近线的倾斜角为120°，
所以－＝tan 120°＝－，则＝，
所以该双曲线离心率为e＝＝＝＝＝＝2.
(2)由题知△PF1F2是等腰直角三角形，且∠F1PF2＝45°，
∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，
又∵|PF1|＝，∴＝2c，即b2＝2ac，
∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝2ac，即e2－2e－1＝0，
解得e＝＝1±，
∵e>1，∴e＝1＋.
答案：(1)C (2)D3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线的简单几何性质(2)
[课标解读] 1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系.3.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．
教材要点
要点 直线与双曲线的位置关系
将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 位置关系 交点个数
k＝±且m≠0时 相交 只有________交点
k≠±且Δ＞0 有________交点
k≠±且Δ＝0 相切 只有________交点
k≠±且Δ＜0 相离 ________公共点
状元随笔 当直线与双曲线的渐近线平行时，把直线方程代入双曲线方程，得到的是一次方程，根本得不到一元二次方程，当然也就没有所谓的判别式了．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切．( )
(2)过点A(1，0)作与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点的直线，这样的直线可作2条．( )
(3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．( )
2．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为( )
A．0或1 B．1
C．0或2 D．1或2
3．直线y＝kx＋d(k，d∈R)与双曲线＝1(a，b∈R*)最多有几个交点( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．若直线x＝t与双曲线－y2＝1有两个交点，则t的值可以是( )
A．4 B．2
C．1 D．－2
5．已知双曲线＝1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为________．
题型 1 实际生活中的问题
例1 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为( )
A． B．
C．D．2
方法归纳
解决与双曲线有关的实际问题的一般步骤
巩固训练1 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a>0，b>0)下支的一部分，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
题型 2 直线与双曲线的位置关系
例2 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线满足：
(1)相离；(2)相切；(3)相交于两点；(4)相交于异支两点；(5)与左支相交于两点；(6)相交于一点．
方法归纳
直线与双曲线位置关系的判断方法
巩固训练2 (1)过点P(1，1)与双曲线 ＝1只有一个交点的直线共有________条．
(2)若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2]
C．(1，) D．(1，]
题型 3 直线与双曲线的相交弦问题
例3 (1)已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)若过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|的长为________．
方法归纳
解决直线与双曲线相交弦问题的方法
解决直线与双曲线相交弦问题和解决直线与椭圆相交弦问题的方法一样．
(1)双曲线的弦长公式：与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样．设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝ |y1－y2|＝.
(2)中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则
两式相减可得·＝，即kAB·＝.
巩固训练3 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
第2课时 双曲线的简单几何性质(2)
新知初探·课前预习
要点
一个 两个 一个 没有
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√
2．解析：由题意，由于渐近线与双曲线没有公共点，
如图所示，若直线l平行于双曲线的一条渐近线，
故l与双曲线的公共点个数为1个．
答案：B
3．解析：由题意知，联立直线y＝kx＋d(k，d∈R)与双曲线＝1(a，b∈R*)可得关于x或者y的二次方程．最多有两个根．即最多有两个交点．
答案：B
4．解析：在－y2＝1中，x∈(－∞，－2]
当t＝－2或t＝2时，均只有一个交点，
当t∈(－∞，－2)时，有两个交点，
当t∈(－2，2)时，无交点．
故选A.
答案：A
5．解析：设一个焦点为F(c，0)，其中c2＝a2＋b2，过F且垂直于x轴的弦为AB，则A(c，y0)，∵A(c，y0)在双曲线上＝1.∴y0＝±b＝±.∴|AB|＝2|y0|＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：如图建立直角坐标系，过O4向x轴引垂线，垂足为A，易知O4A＝11，O2A＝13，
∴＝，
∴e＝ ＝.
答案：A
巩固训练1 解析：由已知可得＝＝＝＝，
因此，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.
答案：B
例2 解析：由题意得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
(1)
解得k<－或k>.
(2)
解得k＝－或k＝.
(3)
解得－(4)
解得－1(5)
解得－(6)1－k2＝0或
解得k＝±1或k＝±.
巩固训练2 解析：(1)经过点P(1，1)与渐近线平行有两条，经过点P(1，1)与双曲线相切有两条．
(2)由题意可得，≤2，所以e≤.又e>1，所以1答案：(1)4 (2)D
例3 解析：(1)设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．由题意知c＝3，a2＋b2＝9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝.
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是＝1.
(2)易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
所以直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝＝3.
答案：(1)B (2)3
巩固训练3 解析：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝6.3．3.1 抛物线及其标准方程
[课标解读] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
教材要点
要点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的____________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____________，直线l叫做抛物线的____________．
状元随笔 注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
要点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) ________ ________
y2＝－2px(p>0) ________ ________
x2＝2py(p>0) ________ ________
x2＝－2py(p>0) ________ ________
状元随笔 焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( )
2．下列关于抛物线y＝x2的图象描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，)
B．开口向右，焦点为(，0)
C．开口向上，焦点为(0，)
D．开口向右，焦点为(，0)
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
4．若点(－1，2)在抛物线x＝ay2上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝2
5．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是(0，－3)，则该抛物线的标准方程为________．
题型 1 求抛物线的标准方程
例1 (1)已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝－2x D．y2＝－4x
(2)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
(3)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________．
方法归纳
求抛物线标准方程的2种常用方法
巩固训练1 (1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线y＝－1为准线的抛物线方程是________．
题型 2 抛物线定义的应用
例2 (1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程；
(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
方法归纳
抛物线定义的两种应用
巩固训练2 (1)已知M(x0，y0)是拋物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是C的焦点，y0＝|MF|＝6，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若点P是抛物线x2＝8y上的动点，则点P到点A(4，0)的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值是________．
题型 3 抛物线的实际应用
例3 某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图(单位：m)．
(1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程；
(2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？请说明理由．
方法归纳
利用抛物线有关知识解决实际问题的一般步骤
巩固训练3 抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为2m，若灶口直径AB是灶深CD的4倍，则AB＝( )
A．8m B．6m C．4m D．2m
易错辨析 忽略抛物线标准方程的特征致误
例4 若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
解析：把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝y，所以－＝2，解得a＝－.
答案：－
易错警示
易错原因 纠错心得
受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－＝2，即a＝－8的错误结论． 根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
3．3.1 抛物线及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
距离相等 焦点 准线
要点二
F(，0) x＝－ F x＝ F(0，) y＝－ F(0，－) y＝
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：y＝x2，即x2＝y.则2p＝1，即p＝，
故此抛物线开口向上，焦点为.
答案：A
3．解析：由题得＝1，∴p＝2.
答案：B
4．解析：由题意知，－1＝a×22，可得a＝－，
∴抛物线的方程为x＝－y2，即y2＝－4x，故其准线方程为x＝1.
答案：A
5．解析：因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是(0，－3)，所以＝3，解得p＝6，抛物线的标准方程为x2＝－12y.
答案：x2＝－12y
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意知p>0，则准线为x＝－，
点M(2，y0)到焦点的距离等于其到准线的距离，
即＝3，∴p＝2，则y2＝4x.
(2)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
(3)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)B (2)C (3)x2＝10y和x2＝－10y
巩固训练1 解析：(1)由已知得＝3，p＝6.∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且以直线y＝－1为准线，
可得抛物线的开口向上，设其方程为x2＝2py(p>0)，
则－＝－1，解得p＝2，所以所求抛物线的方程为x2＝4y.
答案：(1)C (2)x2＝4y
例2 解析：(1)设M(x，y)，半径为R，由已知得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2)．
巩固训练2 解析：(1)由定义|MF|＝x0＋＝y0＝6，又＝36＝2px0，
所以36＝2p，解得p＝6.
(2)抛物线x2＝8y的焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2.
抛物线x2＝8y上动点P到直线y＝－2的距离即动点P到焦点F(0，2)的距离，
故点P到点A(4，0)的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为|FA|＝2.
答案：(1)C (2)2
例3 解析：(1)由题设，可设抛物线方程为x2＝－2py，由图知：A1(－3，－3)，A(3，－3)，
所以6p＝9，则p＝，故抛物线A1OA所在抛物线的方程x2＝－3y.
(2)由题设，令，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则5＋y≥，
由(1)并将点代入可得：y＝－＝－，故5＋y＝<.
所以此车不能安全通过隧道．
巩固训练3 解析：设抛物线为y2＝2px(p>0)，由焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为2m知，＝2 p＝4，即抛物线方程为y2＝8x.设CD＝a，
则点A(a，2)，B(a，－2) AB＝4.由于灶口直径AB是灶深CD的4倍，
故4＝4a a＝2.故AB＝8m.
答案：A3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质(1)
[课标解读] 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
教材要点
要点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 (，0) (－，0) (0，) (0，－)
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 ________ ________ ________ ________
对称轴 ________ ________
顶点 ________
离心率 e＝1
状元随笔
1.椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．
2．抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形．
3．顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点．
要点二 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系：________、________和__________．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①k＝0时，直线与抛物线只有________交点；
②k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线________ 有________公共点．
Δ＝0 直线与抛物线________ 只有________公共点．
Δ＜0 直线与抛物线________ ________公共点．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( )
2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是( )
A．(－m，－n) B．(m，－n)
C．(－m，n) D．(－n，－m)
3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
4．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________．
题型 1 抛物线的几何性质的应用
例1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法归纳
确定抛物线的几何性质的三个要点
巩固训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
题型 2 直线与抛物线的位置关系
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．
方法归纳
直线与抛物线交点个数问题的解题策略
巩固训练2 若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
题型 3 直线与抛物线的相交弦问题
例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝，求AB所在的直线方程．
方法归纳
求直线与抛物线相交弦长的2种方法
巩固训练3 已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
易错辨析 忽略直线与抛物线有一个公共点的特
殊情况致误
例4 (多选)过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为( )
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
(2)当直线l的斜率存在时，
①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点．
②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0.
由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，
解得k＝，
故所求直线l的方程为：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
故选BCD.
答案：BCD
易错警示
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是只考虑直线l的斜率k存在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线l平行于抛物线的对称轴这两种情形． 在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，这是由Δ＝0无法得到的(事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零)；二是若由Δ＝0仅得到一条直线，则意味着斜率不存在的直线可能与抛物线相切(仅有一个交点)，应检验斜率不存在的直线是否满足条件．
3．3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质(1)
新知初探·课前预习
要点一
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 (0，0)
要点二
相离 相切 相交 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．
答案：B
3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．
答案：B
5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一 由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
方法二 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，
如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
巩固训练1 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
答案：y2＝3x或y2＝－3x
例2 解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k<1时，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k>1时，直线l与C没有公共点．
巩固训练2 解析：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0 ①.
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
例3 解析：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝
＝ ·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
巩固训练3 解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，所以k的值为1或－1.第2课时 抛物线的简单几何性质(2)
[课标解读] 1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题．
教材要点
要点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
要点二 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p；
③＝.
基础自测
1.过抛物线y2＝2x的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，则·＝( )
A． B．
C．－ D．－
2．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
3．过抛物线y2＝2x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|AB|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．8
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，且|AB|＝8，则线段AB中点的横坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
题型 1 与抛物线有关的轨迹问题
例1 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
方法归纳
求抛物线轨迹问题的2种方法
巩固训练1 若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
题型 2 抛物线的综合问题
例2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2.求k1＋k2的值．
方法归纳
解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
巩固训练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，2)，O为坐标原点．
(1)求焦点F的坐标及其准线方程；
(2)抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求△OAB的面积．
题型 3 与抛物线有关的最值问题
例3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
方法归纳
求距离最值的2种策略
巩固训练3
如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
第2课时 抛物线的简单几何性质(2)
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．解析：由题意可得M，N，
所以·＝＋1×(－1)＝－.
答案：D
2．解析：依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，
其轨迹为抛物线．
答案：D
3．解析：y2＝2x，2p＝2，p＝1，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋1＝5.
故选B.
答案：B
4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝8，
可知x1＋x2＋2＝8，
故＝3.
答案：C
5．解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1 解析：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
巩固训练1 解析：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，所以y2＝2x(x≠0)．
例2 解析：(1)设点M(x0，y0)，则|y0|＝，所以()2＝2px0，解得x0＝3.
因为|MF|＝x0＋＝3＋＝5，所以p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由题知，F(2，0)，Q(－2，0)，直线AB的斜率必存在，且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2k，
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝4，
且Δ＝(4k2－8)2－16k4＝64(1－k2)>0，即k2<1.
所以k1＋k2＝＝
＝k
＝k＝0，
所以k1＋k2的值为0.
巩固训练2 解析：(1)依题意，22＝2p×1，解得p＝2，则抛物线C的方程为：y2＝4x，
所以抛物线C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1.
(2)显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为：y－2＝k(x－1)，
由消去x并整理得：y2－y－k＋2＝0，依题意得Δ＝1－k(－k＋2)＝0，解得k＝1，
因直线AB⊥l，则直线AB的斜率为－1，方程为：y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，
由消去x并整理得：y2＋4y－12＝0，解得y1＝2，y2＝－6，
因此有B(9，－6)，而A(1，2)，则|AB|＝＝8，
而点O(0，0)到直线AB：x＋y－3＝0的距离d＝＝，则S△OAB＝|AB|·d＝12，
所以△OAB的面积是12.
例3 解析：方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝＝＋.
所以当t＝时，d取得最小值.
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
巩固训练3 解析：由解得或
由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，
d为点P到直线AB的距离，
则d＝＝|(y0－1)2－9|.
当y0＝1时，dmax＝，Smax＝×3＝.
此时点P为.专项培优③ 章末复习课
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
(1)解决这类问题的关键是准确把握圆锥曲线的定义和标准方程．
(2)通过对圆锥曲线的定义与标准方程的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．
例1 (1)若双曲线＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且渐近线经过点(1，－2)，则此双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
(2)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )
A．2 B．4
C．4 D．6
(3)已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若＝)，则||＋||＋||＝( )
A．6 B．8 C．10 D．12
考点二 圆锥曲线的几何性质
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．
(2)通过对圆锥曲线几何性质的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过E的下顶点C，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)(多选)已知F1，F2为双曲线C：＝1(b>0)的左、右焦点，F1关于一条渐近线的对称点P刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是( )
A．|PF1|＝4
B．双曲线的离心率e＝
＝16
D．渐近线方程为y＝±x
(3)边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是________．
考点三 直线与圆锥曲线的综合问题
角度1 定点问题
(1)求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)通过对圆锥曲线中的定点问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例3 已知圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1，)在椭圆上．
(1)经过点M(1，)作一直线l1交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线l1的斜率；
(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线l2与椭圆C交于C，D两点，且·＝0，求证：直线l2过定点．
角度2 定值问题
(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值，和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．
(2)通过对圆锥曲线中的定值问题的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养．
例4 设点P为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上任意一点，双曲线E的离心率为，右焦点与椭圆G：＝1(t>0)的右焦点重合．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A，B，求证：平行四边形OAPB的面积为定值，并求出此定值．
角度3 最值问题
(1)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．
(2)通过对圆锥曲线中的最值问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例5 在平面直角坐标系xOy中，点A(，1)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求p的值；
(2)若直线l与抛物线C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，y1y2<0，且·＝3，求|y1|＋2|y2|的最小值．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1 解析：(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的焦距为2，故2c＝2，c＝.
且渐近线经过点(1，－2)，故－＝－2，故a＝1，b＝2，双曲线方程为：x2－＝1.
(2)易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝5，
所以△PF1F2为直角三角形，所以＝×3×4＝6.
(3)由x2＝8y得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＝)得(－x1，2－y1)＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)，
则2－y1＝(y2－y1＋y3－y1)，化简得y1＋y2＋y3＝6，
所以||＋||＋||＝y1＋y2＋y3＋2×3＝6＋6＝12.
答案：(1)B (2)D (3)D
例2 解析：(1)由题可知A(－a，0)，B(0，b)，C(0，－b)，因为AB的垂直平分线过E的下顶点C，所以|AC|＝|BC|，则＝2b，解得：a＝b，所以E的离心率e＝ ＝.
(2)如图所示，双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，由对称性，取一条渐近线l：y＝x，F1关于渐近线的对称点为P，
直线l与线段PF1的交点为A，连接PF2，因为点P与F1关于直线l对称，
则l⊥PF1，且A为PF1的中点，所以|AF1|＝b，|OA|＝a＝2，|PF2|＝2|AO|＝2a＝4，
根据双曲线的定义，有|PF1|－|PF2|＝2a＝4 |PF1|＝8，故A不正确；
|PF1|＝8，即2b＝8 b＝4，
所以e＝＝ ＝，故B正确；
易知△F1PF2是以∠F1PF2为直角的直角三角形，所以＝×|PF1|×|PF2|＝×4×8＝16，故C正确；
由于b＝4，所以渐近线方程为y＝±x＝±2x，故D不正确．
(3)设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(不妨取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.
答案：(1)A (2)BC (3)y2＝±x
例3 解析：(1)由题设椭圆的方程为＝1，
因为椭圆经过点，所以＝1，∴b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，
所以(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
由题得x1≠x2，所以(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·＝0，
所以2＋4×1×＝0，所以2＋4×1×kAB＝0，
∴kAB＝－，
所以直线l1的斜率为－.
(2)由题得P(0，1)
当直线l2的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝kx＋n(n≠1)，
联立方程组，可得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，
所以Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，
解得4k2＋1>n2①，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则x3＋x4＝－，x3x4＝②，
因为·＝0，
则(x3，y3－1)·(x4，y4－1)＝0，
又y3＝kx3＋n，y4＝kx4＋n，
所以(k2＋1)x3x4＋k(n－1)(x3＋x4)＋(n－1)2＝0③，
由②③可得n＝1(舍)或n＝－满足条件①，
此时直线l2的方程为y＝kx－，
故直线l2过定点.
例4 解析：(1)
则a＝1，b＝，c＝.
所以双曲线E的标准方程为：x2－＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，过P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，
方程分别为y－y0＝(x－x0)，y－y0＝－(x－x0)，
联立方程：，得，
同理可得：，得，
又渐近线方程为y＝±x，则sin∠AOB＝，
··＝，
又点P在双曲线上，则＝2，
所以＝，即平行四边形OAPB的面积为定值，
且此定值为.
例5 解析：(1)将A代入抛物线C：y2＝2px，
解得：p＝1.
(2)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线C上，故
·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3，
解得：y1y2＝－6或2，
因为y1y2<0，所以y1y2＝－6，即|y1|·|y2|＝6，
故|y1|＋2|y2|＝＋2|y2|≥2＝4，
当且仅当＝2|y2|，即|y2|＝时等号成立，
故|y1|＋2|y2|的最小值为4.
