(共33张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
[课标解读]
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
3.会求两点间的距离公式．
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题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点一 两直线的交点
已知两直线l1: A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l: Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
状元随笔
如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点．
要点二 两直线的位置关系
一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 ________ 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 ____
状元随笔
(1)判断l1与l2相交还可以用A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)来判断．
(2)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则l1与l2相交 k1≠k2.
无数个
平行
要点三 两点间的距离公式
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离公式：
|P1P2|＝______________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(2)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( )
(3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( )
(4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
√
×
×
×
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
答案：B
解析：解方程组得故两条直线的交点坐标为(2，3)．
3．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B．
C．3 D．
答案：B
解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.
4．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：联立解得
∴交点(－1，1)在第二象限．
5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
解析：BC的中点坐标为(0，1)，
则BC边上的中线长为＝.
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题型 1 两条直线的交点问题
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解析：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
方法归纳
解一元二次方程组的2种常用方法
巩固训练1 (1)若直线x＋by＋9＝0经过直线5x－6y－17＝0与直线4x＋3y＋2＝0的交点，则b等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：由题意知
解得代入x＋by＋9＝0，
即1－2b＋9＝0，解得b＝5.
(2)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(2，4)的直线方程为 ____________．
2x－y－1＝0
解析：联立直线l1与l2，，解得：，直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1，1)，又直线的一个方向向量v＝(2，4)，所以直线的斜率为2，故该直线方程为：y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0
题型 2 过两直线交点的直线系方程
例2 (1)求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解析：方法一 解方程组
得所以两直线的交点坐标为(－，－)．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
题型 2 过两直线交点的直线系方程
例2 (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．
解析：由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.
所以，已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点．
解方程组得
所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2，1)．
方法归纳
求过两条直线交点的直线方程的2种方法
巩固训练2 (1)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
答案：B
解析：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.
(2)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是________．
(－2，1)
解析：直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0，
由题意，可得
所以x＝－2，y＝1，
所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1)．
题型 3 两点间距离公式的应用
例3 (1)求直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标．
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
解析：(1)设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且 ＝，
两式联立解得或
所求点的坐标为(－3，4)，(－1，2)．
(2)证明：设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
巩固训练3 (1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解析：设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
易错辨析 因考虑问题不全面而致误
例4 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为( )
A．a≠±1 B．a≠1且a≠－2
C．a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
答案：D
解析：(1)若三条直线交于一点，由
解得将l2，l3的交点(－a－1，1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.①
(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，②
当a＝1时，l1与l2重合．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，
当a＝1时，l2与l3重合．
(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点．
所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.
易错警示
易错原因 纠错心得
易忽视了任意两条平行或重合及三条直线相交于一点的情况 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(共28张PPT)
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
[课标解读]
1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.
2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
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教材要点
要点一 点到直线的距离
1．定义：点到直线的垂线段的长度．
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________
状元随笔
给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离．
(A，B不全为0)
要点二 两条平行直线间的距离
1．定义：夹在两条平行直线间的共垂线段的长．
2．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B
不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________．
状元随笔
利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．( )
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
×
×
√
√
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．
答案：D
解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.
3．直线y＝x与直线y＝x＋1间的距离等于( )
A． B．
C．1 D．
答案：B
解析：直线y＝x即为x－y＝0，直线y＝x＋1即为x－y＋1＝0，因为两直线平行，所以距离d＝＝.
4．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
答案：A
解析：点(5，－3)到直线x＋2＝0即x＝－2的距离为d＝5－(－2)＝7.
5．已知点A(6，m)到直线x－y＋2＝0的距离为，则m＝________．
6或10
解析：由题意＝，解得m＝6或10.
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题型 1 点到直线的距离
例1 (1)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为1，则m的值为( )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
答案：D
解析：点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为1，
∴＝1，
解得：m＝15或5.
(2)若直线l经过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(0，－5)到它的距离相等，则l的方程为( )
A．4x－y－2＝0
B．4x＋y－6＝0
C．4x－y－2＝0或x＝1
D．4x＋y－6＝0或x＝1
答案：C
解析：当直线斜率不存在时，x＝1，显然A(2，3), B(0，－5)到它的距离相等，符合题设；当直线斜率存在时，y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0，
根据题设，＝，即|k－1|＝|7－k|，可得k－1＝±(7－k)，解得k＝4，
∴l的方程为4x－y－2＝0.
综上，l的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
方法归纳
点到直线的距离的求解策略
巩固训练1 (1)点(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为( )
A．1 B． C． D．2
解析：(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝.
答案：B
(2)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为( )
A． B．1 C． D．2
答案：A
解析：最小值即为O到直线x＋y－1＝0的距离，即d＝＝.
题型 2 两平行线间的距离
例2 (1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A. (0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
解析：当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
答案：C
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________．
2x－y＋1＝0
解析：设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法归纳
解决两条平行直线间的距离问题的2种常用方法
巩固训练2 (1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( )
A.a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
解析：∵两直线平行，∴2＝，解得a＝6，
将2x－y＋3＝0化为6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
答案：D
(2)若斜率为2的直线m被直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0所截
得的线段为AB，则线段AB的长为________．
解析：直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0得斜率为－，
直线m的斜率为2，故直线m与直线l1，l2垂直，
由两条平行直线的距离公式可得|AB|＝＝.
题型 3 距离公式的综合应用
例3 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
解析：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0),
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
方法归纳
利用直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
巩固训练3 已知坐标平面上三点A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，过点C作AB的平行线交x轴于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积．
解析：(1)根据题意，A(5，1)，B(7，－3)，则kAB＝＝－2，又由AB∥CD知，kCD＝－2，则直线CD的方程为y＋8＝－2(x－2)，即2x＋y＋4＝0.
令y＝0，解得x＝－2，则D(－2，0)．
(2)因为|AB|＝2，|CD|＝4，AB∥CD，故四边形ABCD为梯形，点A(5，1)到直线CD：2x＋y＋4＝0的距离为＝3，所以四边形ABCD的面积S＝×(2＋4)×3＝45.
易错辨析 选用直线方程的形式不当引发错误
例4 过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为___________________．
5x＋12y－70＝0或x＝2
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错． 一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．(共29张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
[课标解读]
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.能准确判断点与圆的位置关系．
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教材要点
要点一 圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于_____的所有点的集合叫做圆，这个定点即圆心，而定长就是半径．
2．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是________________．
状元随笔 (1)方程明确给出了圆心坐标和半径．
(2)确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r.
特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为__________．
定长
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
要点二 点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法 几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|＜r 点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外 |MA|＞r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(a，b，r∈R)表示一个圆．( )
(2)弦的垂直平分线必过圆心．( )
(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．( )
(4)圆心与切点的连线长是半径长．( )
×
√
√
√
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2，3)， D．(2，－3)，
答案：D
解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.
3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8
D．x2＋y2＝
答案：B
解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.
4．点()与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．点在圆上 B．点在圆内
C．点在圆外 D．不能确定
答案：C
解析：因为 ＝1> ，所以点在圆外．
5．以点(1，2)为圆心，直径为4的圆的方程是________________.
(x－1)2＋(y－2)2＝8
解析：由题意，圆的半径r＝＝2，
又圆心为(1，2)，
∴圆的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝8.
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题型 1 直接法求圆的标准方程
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为___________________．
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是___________________．
(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：∵AB为直径，
∴AB的中点(1，2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
方法归纳
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
巩固训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解析：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝25，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
题型 2 点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．点P在圆内 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
答案：B
解析：因为(m2)2＋52＝m4＋25＞24，所以点P在圆外．
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
[0，1)
解析：由题意知
解得0≤a＜1.
方法归纳
判断点与圆的位置关系的2种方法
巩固训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．a＜－1或a＞1 B．－1＜a＜1
C．0＜a＜1 D．a＝±1
答案：B
解析：由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2＜4，解得a2＜1，故－1＜a＜1.
题型 3 待定系数法或几何法求圆的标准方程
例3 已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，求圆C的标准方程．
解析：方法一 设圆心为O(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得方程组，
解得a＝－1，b＝－2，r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二 因为A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－2x－4，
由，得，
所以圆C的圆心坐标为(－1，－2)，
所以圆的半径为r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法归纳
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
巩固训练3 已知△ABC的三个顶点A(－2，0)，B(2，0)，C(6，4)，求其外接圆H的标准方程．
解析：方法一 设△ABC外接圆H的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得由题意得，
解得a＝0，b＝6，r＝2
故△ABC的外接圆的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
方法二 由题意得：AB中点为(0，0)，BC中点为(4，2)，kBC＝＝1，∴线段AB中垂线方程为x＝0；线段BC中垂线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋y－6＝0；
由得：，即△ABC外接圆圆心H(0，6)，
∴外接圆半径r＝|AH|＝＝2，
∴△ABC外接圆H的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
易错辨析 对圆心位置考虑不全致误
例4 已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25
B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5
D．(x±3)2＋y2＝25
答案：D
解析：方法一 由题意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，故|AO|＝4，
在Rt△AOC中，
|OC|＝＝＝3.
如图所示，有两种情况．
故圆心C的坐标为(－3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
方法二 ∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆在y轴上截得的线段长为8，
∴a2＋()2＝25，解得a＝±3，
∴所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
易错警示
易错原因 纠错心得
方法一中在求出|OC|＝3后，易错误地得出C(3，0)，漏掉圆心在x轴负半轴上的情况． 在解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容易漏解．(共28张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
[课标解读]
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点 圆的一般方程
1．圆的一般方程：当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
状元随笔
圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．
D2＋E2－4F>0
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点________
D2＋E2－4F>0
表示以________为圆心，以_________为半径的圆
状元随笔
圆的标准方程与一般方程的互化，如图所示．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( )
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )
√
×
√
√
2．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(－1，0)与 B．(1，0)与
C．(1，0)与2 D．(－1，0)与2
答案：C
解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2.
3．下列方程表示圆的是( )
A．x2＋y2＋xy－1＝0
B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0
C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0
D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0
答案：D
解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆；对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，该方程不表示圆；对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，∵22＋－4×>0，该方程表示圆．
4．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：由已知圆心坐标为，
所以－a－＋1＝0，解得a＝1.
5．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．
5
解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为＝(3，4) a＝－6，b＝－8，所以圆的半径为＝5.
题型探究·课堂解透
题型 1 圆的一般方程的辨析
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解析：(1)由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
方法归纳
判定二元二次方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种方法
巩固训练1 (1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A．r＝1，(－2，1) B．r＝2，(－2，1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
答案：D
解析：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．
(2)若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是____________________．
(－∞，－4)
解析：因为方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.
题型 2 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
解析：方法一 设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二 ∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
方法归纳
求圆的方程的策略
巩固训练2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解析：圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－1＝0，
即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－<0，即D＞0.
则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
题型 3 与圆有关的轨迹问题
例3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
方法归纳
求与圆有关的轨迹问题的三种常用方法
巩固训练3 已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
解析：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，∴A为线段MB的中点，由中点坐标公式得
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，
得＋＝2，化简得(x＋4)2＋y2＝8，
∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.
易错辨析 因忽视验证造成增解而致错
例4 求以A(－2，0)，B(2，0)为直径端点的圆的内接三角形的顶点C的轨迹方程．
解析：设C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，
∴⊥，即·＝0.又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又当x＝±2时，C与A或B重合，不构成三角形，
∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
易错警示
易错原因 纠错心得
(1)在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况． (2)没有验证x＝±2是否满足题意． 求得点的轨迹方程后一定要检查题意中有没有限制条件，如本题构成三角形的条件．(共31张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
[课标解读]
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 d____r d____r d____r
Δ____0 Δ____0 Δ____0
2
1
0
<
＝
>
>
＝
<
状元随笔
“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．( )
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( )
(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.( )
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.( )
√
√
×
√
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案：B
解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.
∵d＝r，∴直线与圆相切．
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B．
C． D．2
答案：D
解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.
4．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )
A． B．
C． D．2
答案：D
解析：圆x2＋y2＝m(m>0)的圆心为(0，0)，半径为，因为直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圆心到直线x＋y＝2的距离等于半径，列出方程得：＝，解得：m＝2.
5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
4
解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.
题型探究·课堂解透
题型 1 直线与圆的位置关系
例1 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)与x轴、y轴分别相切于A、B两点．
(1)求圆C的方程；
(2)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置关系．
解析：(1)由已知可得圆C的圆心为C(a，b)，
由于圆C与x轴、y轴分別相切于A、B两点，
圆心C到x轴、y轴的距离分别为b、a，则a＝b＝2，
因此，圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝，圆C的半径为r＝2.
①当d>r时，即k<时，直线l与圆C相离；
②当d＝r时，即k＝时，直线l与圆C相切；
③当d
时，直线l与圆C相交．
综上所述，当k<时，直线l与圆C相离；
当k＝时，直线l与圆C相切；
当k>时，直线l与圆C相交．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的3种方法
巩固训练1 过三点A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相切或相离
答案：C
解析：方法一 由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，直线l过定点(2，2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切，所以答案是C.
方法二 圆M的圆心为(1，1)，半径为，圆心到直线l的距离d为d＝＝ ＝ ，当k＝0时，d＝1<，所以直线和圆相交．当k<0时，d＝ ＝ (当且仅当k＝－1时，等号成立)，所以直线和圆相交或相切．
当k>0时，d＝ ＝ ，则0≤d<1，所以直线和圆相交，所以答案为C.
题型 2 直线与圆相切问题
例2 (1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为( )
A．x＝－2或2x－y＋8＝0
B．x＝－2或x＋2y－6＝0
C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0
D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
答案：C
解析：由题意可知，P(－2，4)在圆C的外部，故点P不是切点；
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5.
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，
圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝|－1－(－2)|＝1≠，此时直线和圆不相切；
作圆C的切线，斜率存在，设为k，
则切线方程为l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝＝，化简可得2k2－3k－2＝0，解得k＝－或k＝2，
∴切线方程为l：y＝－(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4，
化简可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.
(2)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为______________．
2x－3y－13＝0
解析：由圆C：x2＋y2＝13得到圆心C的坐标为(0, 0)，圆的半径r＝，而|CM|＝＝＝r.
所以点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，又M(2，－3)，得到CM所在直线的斜率为－，
所以切线的斜率为，则切线方程为：y＝(x－2)－3，
即2x－3y－13＝0.
方法归纳
圆的切线的求解策略
巩固训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：方法一 由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
方法二 由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0 (x－1)2＋(y－1)2＝1，
可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
直线和圆相切，则＝1，解得b＝2或12.
答案：D
(2)由直线y＝2x＋5上的点向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A． B．
C．4 D．2
答案：D
解析：设P(x，y)为直线y＝2x＋5上任意一点，|OP|min＝＝，切线长的最小值为：l＝＝2.
题型 3 直线与圆相交问题
例3 (1)已知直线l：mx－3y－4m＋9＝0与圆C：x2＋y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )
A．5 B．5
C．10 D．10
解析：依题意，直线mx－3y－4m＋9＝0恒过定点D(4，3)，
∵D在圆C内部，
∴弦|AB|的长度最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5，
此时|AB|＝2＝10.
答案：D
(2)已知圆C与x轴相切，圆心在直线y＝3x上，且到直线y＝2x的距离为.
①求圆C的方程；
②若圆C的圆心在第一象限，过点(1，0)的直线l与C相交于A、B两点，且|AB|＝3，求直线l的方程．
解析：①设圆心C的坐标为(a，3a)，则该圆的半径长为3|a|，
因为圆心C到直线y＝2x的距离为＝，解得a＝±1，
所以圆心C的坐标为(1，3)或(－1，－3)，半径为3，
因此，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
②若圆C的圆心在第一象限，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
因为|AB|＝3，所以圆心到直线l的距离d＝ ＝ ＝.
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心C到直线l的距离为2，不合乎题意；
所以，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
由题意可得d＝＝，解得k＝±1，
所以，直线l的方程为y＝x－1或y＝1－x，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
方法归纳
求圆的弦长的2种常用方法
巩固训练3 (1)已知圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线y＝kx＋2至少有一个公共点，则r的取值范围为( )
A．r>2 B．r≥1
C．r≥2 D．0解析：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝≤2，当且仅当k＝0时等号成立，故只需r≥2即可．
答案：C
(2)已知圆M的方程为x2＋y2＋4x－4y＋4＝0.
①写出圆M的圆心坐标和半径；
②经过点N(－1，0)的直线l被圆M截得弦长为2，求l的方程．
解析：①圆M的标准方程为：(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
所以圆M的圆心坐标为M(－2，2)，半径为2.
②因为圆M半径为2，直线l被圆M截得弦长为2，
由垂径定理可知M到直线距离为1.
当l不垂直于轴时，设l：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
则＝1.解得k＝－，
于是l的方程为y＝－(x＋1)，即3x＋4y＋3＝0.
当l垂直于轴时，x＝－1到点M的距离为1.
综上，l的方程为x＋1＝0或3x＋4y＋3＝0.
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件
例4 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为__________．
(－)
解析：圆的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心C坐标为(－，－1)，半径r＝＝，则4－3a2>0，解得－又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>.
化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，故a的取值范围是(－)．
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0. 同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错．(共33张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
[课标解读]
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点
要点 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有：__________、__________、__________、__________、__________．
外离
外切
相交
内切
内含
2．圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 ____ ________ ________ ________ ________
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d
＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
状元随笔
代数法计算量偏大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距d与|r1－r2|、r1＋r2的大小即可得出位置关系．
相交
内切或外切
外离或内含
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )
(4)如果两圆相外切，则有公切线3条．( )
×
×
√
√
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．外切 D．相交
答案：D
解析：由题意可知，圆O1的圆心O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2的圆心O2(0，2)，半径r2＝2，所以|O1O2|＝，又r2－r1<|O1O2|3．已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，则圆O1与圆O2的位置关系为( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．外离
答案：A
解析：圆O1的圆心为(0，0)，半径等于1，
圆O2的圆心为(3，－4)，半径等于4，
所以两圆圆心距为＝5，
恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切．
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：D
解析：两圆的圆心分别是(－1，－1)，(2，1)，半径分别是2，1；两圆圆心距离：＝>2＋1，说明两圆相离，因而公切线有四条．
5．圆C1：x2＋y2＋4x＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为____________．
3x＋y＋1＝0
解析：两圆方程作差可得：6x＋2y＋2＝0，即3x＋y＋1＝0，
∴直线AB的方程为：3x＋y＋1＝0.
题型探究·课堂解透
题型 1 圆与圆的位置关系的判断
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
解析：对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝|r1－r2|＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆相离．
(4)当|C1C2|<3即0方法归纳
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
巩固训练1 (1)已知圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－9＝0，则两圆的位置关系为( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
解析：圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9的圆心为C1(5，3)，半径r1＝3，
圆C2：x2＋y2－4x＋2y－9＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝14，圆心C2(2，－1)，半径r2＝，两圆的圆心距|C1C2|＝＝5，显然－3<5<＋3，即r2－r1<|C1C2|答案：C
(2)已知圆C1：x2＋(y－a)2＝a2，(a>0)的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
答案：B
解析：已知圆C1的圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝2，即＝2，
解得a＝2或a＝－6，因为a>0，所以a＝2，
∴圆C1：x2＋(y－2)2＝4的圆心C1的坐标为(0，2)，半径r1＝2，
将圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圆心C2的坐标为(1，2)，半径r2＝1，圆心距|C1C2|＝＝1＝r1－r2，
∴两圆内切．
题型 2 两圆相切问题
例2 (1)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
答案：D
解析：由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
(2)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，若圆C与曲线－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝________．
解析：根据题意曲线x2＋y2－2x＋8y＋a＝0表示圆且与圆C外切，
上述方程化简为(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a，
又圆C方程为(x＋2)2＋y2＝4，
根据两圆外切可得＝2＋，解得a＝8.
8
方法归纳
处理两圆相切问题的策略
巩固训练2 (1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋m＝0内切，则实数m＝( )
A．－9 B．7
C．－9或7 D．9
解析：圆C2：x2＋y2－8x＋m＝0的方程可配方为(x－4)2＋y2＝16－m(m<16)，
由已知得C1圆心为(0，0)，半径r1＝1，C2圆心(4，0)，半径r2＝，由两圆内切，得|C1C2|＝|r2－r1|，于是得－1＝4，解得m＝－9.
答案：A
(2)与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程是_____________________________．
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
解析：已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得解得或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
题型 3 两圆相交的问题
例3 已知圆C1过点(，1)，(1，－1)，且圆心在直线y＝1上，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)求圆C1的标准方程；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解析：(1)由题意可设圆心C1(a，1)，
则＝，
解得a＝0，此时圆的半径为r1＝＝，
所以圆C1的标准方程为：x2＋(y－1)2＝5.
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，化简得x－y－1＝0，
所以圆C1的圆心C1(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，则＝－d2＝5－2＝3，
解得|AB|＝2，所以所求公共弦长为2.
所以圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为x－y－1＝0，公共弦长为2.
方法归纳
求两圆公共弦长的方法
巩固训练3 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
4
解析：如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，
＝2，∴|AB|＝4.
题型 4 圆系方程的应用
例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解析：方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－4＝0，
即λ＝－.所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
由解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．由得
即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法归纳
当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．
巩固训练4 经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0交点的圆的方程为________________．
x2＋y2－5x－y＝0
解析：设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0交点的圆的方程为：
x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－2x－4y)＝0①
把点M的坐标(2，－2)代入①式得λ＝，把λ＝代入①并化简得x2＋y2－5x－y＝0，∴所求圆的方程为：x2＋y2－5x－y＝0.
易错辨析 忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错
例5 过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为( )
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
答案：D
解析：由题意得C1(1，1)，R1＝1，C2(2，0)，R2＝5，
∴|C1C2|＝＜R2－R1，∴两圆内含．
∴过两圆交点的直线不存在．
易错警示
易错原因 纠错心得
忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A. 只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定．(共24张PPT)
专项培优② 章末复习课
考点一 两条直线的位置关系
(1)解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
(2)通过对两直线平行与垂直的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例1 (1)已知直线l1：mx＋2y－m－2＝0，l2：2x＋my－4＝0.若l1∥l2，则实数m＝( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
解析：因为l1∥l2，
所以有： m＝－2.
答案：A
(2)已知l1：3kx－ky＋1＝0，l2：x＋3ky＝0，若l1⊥l2，则实数k＝( )
A．0或1 B．－
C．1 D．0或－
答案：C
解析：因为l1⊥l2，所以3k×1＋(－k)×3k＝0，k＝0或k＝1，
又当k＝0时，l1不存在故舍，所以k＝1.
(3)已知直线l与直线3x－2y＝6平行，且直线l与x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为( )
A．15x－10y－6＝0
B．15x－10y＋6＝0
C．6x－4y－3＝0
D．6x－4y＋3＝0
解析： 若直线l过原点，则直线l在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，
设直线l的方程为＝1，其中a≠0且a≠－1，
则直线l的方程为k＝－＝－＝，解得a＝－，
所以，直线l的方程为＝1，即15x－10y－6＝0.
答案：A
考点二 距离问题
(1)解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：
(2)通过对距离问题的学习，提升学生的数学运算素养．
类型 已知条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2)
点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
两平行直线的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)
例2 (1)直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x＋y－3＝0间的距离为________．
解析：由平行线间的距离公式可知，直线l1、l2间的距离为d＝＝2.
2
(2)已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程．
解析：当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＝1，即x－y－a＝0.
由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去)．
所以所求直线的方程为x－y－4＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
考点三 求圆的方程
(1)求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题．
(2)通过对圆的方程的求解，提升学生的数学运算素养．
例3 (1)已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆C的标准方程为_________________．
解析：圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，令C(2m＋3，m)，半径为r，
∴圆C的方程为：(x－2m－3)2＋(y－m)2＝r2，又A(2，－3)，B(－2，－5)，
有，解得，有C(－1，－2)，
所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
(2)已知直线l的斜率为－2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1.圆C的圆心在第四象限，直线l经过圆心，圆C被x轴截得的弦长为4.若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求圆C的方程．
解析：设直线l的方程为y＝－2x＋b(b＞0)，
它与两坐标轴的正半轴的交点依次为(0，b)，，
因为直线l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以b×＝1，解得b＝2，
所以直线l的方程是y＝－2x＋2，即2x＋y－2＝0.
由题意，可设圆C的圆心为C(a，2－2a)，半径为r，
又因为圆C被x轴截得的弦长等于4，所以r2－(2－2a)2＝4①，
由于直线x－2y－1＝0与圆相切，
所以圆心C到直线x－2y－1＝0的距离d＝＝|a－1|＝r②，
所以①②联立得：5(a－1)2＝4＋(2－2a)2，解得：a＝－1或a＝3，又圆心在第四象限，所以a＝3，
则圆心C(3，－4)，r＝2，
所以圆C方程是(x－3)2＋(y＋4)2＝20.
考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边解题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
(2)通过对直线与圆、圆与圆的位置关系的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．
例4 (1)一条光线从点(2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x－3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．或 B．或
C．－或－ D．－或－
解析：点(2，－3)关于y轴的对称点为(－2，－3)，设反射光线所在直线的方程为：y＋3＝k(x＋2)，化为kx－y＋2k－3＝0.因为反射光线与圆(x－3)2＋(y－2)2＝1相切，所以圆心(3，2)到直线的距离d＝＝1，
可得24k2－50k＋24＝0，所以k＝或k＝.
答案：A
(2)2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(如图1)．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(如图2)．已知R＝3r，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为( )
A． B．3
C． D．
答案：C
解析：如示意图，由题意，|O1O2|＝R＋r＝4r，
则|O1M|＝＝r，
又|O1O|＝＝2r，|O1E|＝3r，所以|EF|＝2＝2r，
所以＝＝.
(3)直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________________．
－1解析：由曲线x＝，可得x2＋y2＝1(x≥0)，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，
y＝x＋b是倾斜角为的直线与曲线x＝有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据d＝r，所以d＝＝1，结合图象可得b＝－；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知－1考点五 与圆有关的最值问题
(1)与圆有关的最值问题包括：
①求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
②求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
③已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．
(2)通过对圆中最值问题的掌握，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．
例5 (1)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0相交于A、B两点，则圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的动点P到直线AB距离的最大值为( )
A．＋1 B．2＋1
C．＋1 D．＋1
答案：A
解析：圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5的圆心C1(2，－1)，半径r1＝，圆C2：x2＋(y－1)2＝5的圆心C2(0，1)，半径r2＝，
|C1C2|＝＝＋r2|，即圆C1与C2相交，直线AB方程为：x－y－1＝0，
圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心C(－3，3)，半径r＝1，点C到直线AB的距离
d＝＝，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为＋1.
(2)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，则的最大
值为________；最小值为________．
解析：方法一 设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)为圆C上任一点，
∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，
即|2－3k|≤，
平方得到8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为.
方法二 可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率．
令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，
此时＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.