(共17张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.1-平面向量的概念
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2107010302RB1010401ZD（A）
学习目标
理解平面向量的概念以及相等向量与共线向量
1
1
掌握向量的几何表示
2
2
这就是说，小船的位移是既有大小 又有方向的量.
力、速度、加速度等也是这样的量.对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量.
下图中，小船由A地向东南方向 航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h）.这里,如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了.
我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量。本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征。
物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1）,
物体的质量越大，它受到的重力越大；
物体在液体中 受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2）,
物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大.
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性.
我们知道，从一支笔、一棵树、 一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”，类似地, 我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量.
把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A, B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条 “带有方向的线段”就可以用来表示位移。
由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点 表示，而且不同的点表示不同的数量.那么，该如何表示向量呢？
受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量, 线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.
A（起点）
B（终点）
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点、,我们就说线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
知道了有 向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起 点、B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 .
A（起点）
B（终点）
向量 的大小称为向量 的长度（或称模）,记作
长度为0的向量叫做零向量,记做 . （零向量方向任意）
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
向量也可以用字母 ， ， ，…表示.
经测量，地图上A与B距离2cm,A与C距离3cm.比例尺为1:8 000 000。分别用向量表示A地至B, C两地的位移，并求出A地至B, C两地 的实际距离.
例1
解: 表示A地至B地的位移，且 =160km；
表示A地至C地的位移，且 =240km.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
用有向线段表示的向量 与 是两个平行向量,
向量 与 平行，记作 .
我们规定：
零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ,都有 .
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.
用有向线段表示的向量 与 相等,记作 .
这就是说，任一组平行向量 都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
向量 ， ， 是一组平行向量，
任作一条与 所在直线平行的直线 ,在 上任取一点O,
则可在 上分别作出 .
解：（1） 是共线向量.
是共线向量.
是共线向量.
(2)
（1）写出图中的共线向量;
（2）分别写出图中与 相等的向量。
例2 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心.
巩固
课堂小结
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
2
向量用有向线段表示，它包含三个要素：
起点、方向、长度。
1
1
3
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.1平面向量的概念
1．下列物理量中不是向量的有( )个
(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度
A．5 B．4 C．3 D．2
2．单位向量的长度等于( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
3．下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的
B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
4．A、B、C是⊙O上三点，向量、、是( )
A．共线向量 B．单位向量
C．模相等的向量 D．相等向量
5．下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
6．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
7.零向量与单位向量的关系是（ ）
A．无关
B．相等
C．共线
D．不知道
8.等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是（ ）
A.无关
B.//
C.＝
D.||＝||
9．下列说法中，不正确的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
10．给出下列几种说法：
①若非零向量a与b共线，则a＝b；
②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；
④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误的序号是（ ）．
A.①②③
B.①②③④
C.①②④
D.①③④
答案解析：
A 解析：看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．
B 解析：长度为1的向量为单位向量
3. A 解析：零向量是规定了模为0的向量，其方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量平行，但并不是没有方向．
4．C 解析:A、B、C都在圆上，则、、的模长是相等的，方向可不相同或相反，故只能说模相等．
5．C 解析: A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确．
6． D 解析: 与方向相同且长度相等，则＝.
7.C 解析：零向量与任何向量共线
8.D 解析:等腰梯形腰相等，故||＝||
9．D 解析:很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
10． B 解析:①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．
②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．
③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．
④错误 .当b＝0时，则a与c就不一定平行了.
