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人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.3.2随机模拟
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2100302ZD（A）
学习目标
了解整数值的随机数的产生．
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会用随机模拟的方法估计概率．
2
2
用频率估计概率，需要做大量的重复试验.
有没有其他方法可以替代试验呢？
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. 实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让 计算器或计算机产生取值于集合｛0, 1｝的随机数，
用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.
这样不断产生0, 1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
随机数与伪随机数
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机 数的性质. 因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数．
例如我们要产生0 9之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数.
又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别. 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1, 2, 3, 4, 5｝ 的随机数，用1, 2表示红球，用3, 4, 5表示白球.
这样不断产生1 5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
画出频率折线图, 从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数， 为摸到红球的频数， 为摸到红球的频率.
n 10 20 50 100 150 200 250 300
6 7 20 45 66 77 104 116
0.6 0. 35 0.4 0. 45 0. 44 0. 385 0.416 0. 39
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
fn
10
20
50
100
150
200
250
300
n
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法．
用频率估计概率时，需要做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验还无法进行，因而常用随机模拟试验来代替试验．产生整数随机数的方法不仅是用计算器或计算机，还可以用试验产生整数随机数．
常见产生随机数的方法比较：
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优 保证机会均等 操作简单，省时省力
劣 耗费大量 人力和物力 由于是伪随机数，
不能保证等可能性
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的岀生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的. 设事件A = "至少有两人出生月份相同"，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.
因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1, 2,…，12 的12个球，这些球除编号外没有什么差别. 有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验. 如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了. 重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
解：方法1 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
方法2 利用电子表格软件模拟试验. 在A1, B1, C1, D1, E1, F1单元格分别输入 “=RANDBETWEEN (1, 12) ”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.
选中A1, B1, C1, D1, E1, F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.
统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
下表是20次模拟试验的结果. 事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70, 与事件A的概率(约0.78)相差不大.
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛. 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4. 利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2：0或2：1. 显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同. 每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种， 但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.
相当于做了 20次重复试验. 其中事件A发生了13次，对应 的数组分别是 423, 123, 423, 114, 332, 152, 342, 512, 125, 432, 334, 151, 314，用频率估计事件A的概率的近似为
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
解：设事件A=甲获得冠军, 事件B=单局比赛甲胜，
则P(B)=0.6.
用计算器或计算机产生1 5之间的随机数，当出现随机数1, 2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6. 由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组. 例如，产生20组随机数：
课堂小结
1
1
利用抽签法产生随机数时，所设计的试验要切实保证任何一个数被抽到的可能性是相等的，这是试验成功的基础．
2
利用计算器或计算机产生随机数时，由于不同型号的计算器产生随机数的方法可能会有所不同，故需特别注意操作步骤与顺序的正确性，具体操作需严格参照其说明书.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.3.2随机模拟
1.使用随机模拟方法估计某一随机事件的概率P时，下面正确的结论是( )
A．实验次数越大，估计越精确
B．随着实验次数的增加，估计值稳定在P附近
C．若两人用同样的方法做相同次数的随机模拟，则他们得到的估计值也是相同的
D．某人在不同的时间用同样的方法做相同次数的随机模拟，得到的估计值一定相同
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确度决定于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
3.用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率
B．小于概率
C．等于概率
D．是概率的近似值
4．抛掷一枚骰子5次，若正面向上用随机数0表示，反面向上用随机数1表示，下面表示5次抛掷恰有3次正面向上的是( )
A．1 0 0 1 1
B．1 1 0 0 1
C．0 0 1 1 0
D．1 0 1 1 1
5.通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1、2、3、4、5、6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )
6．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球．在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
A．3
B．4
C．5
D．6
7．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨
B．淋雨机会为
C．淋雨机会为
D．淋雨机会为
8．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止概率为( )
9.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为30%，用随机模拟的方法进行试验，由1,2,3表示下雨，由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0～9之间随机整数的20组数据如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上数据可知三天都不下雨的概率近似为( )
A．0.05
B．0.35
C．0.4
D．0.7
10.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A．0.85
B．0.8129
C．0.8
D．0.75
答案解析：
B
解析：使用随机模拟方法估计某一随机事件的概率P时，随着实验次数的增加，估计值稳定在P附近.
故选：B.
B
解析：随机数容量越大，概率越接近实际数.
故选：B.
D
解析：由频率与概率的关系可知，频率是概率的近似值.
故选：D.
C
解析：由题意可知C正确.
故选：C.
5. A
解析：因为表示三次击中目标分别是3013,2604,5725, 6576,6754，共5个数，随机总数为20个，因此所求的概率为＝.
故选：A.
B
解析：160 288 905 467 589 239 079 146 351中288、905、079、146四组满足.
故选：B.
7． D
解析：用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.
故选：D.
8． C
解析：由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、32、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
故选：C.
9. B.
解析：由题意知利用计算器模拟求三天都不下雨的概率，产生的20组随机模拟数据中代表三天都不下雨的随机数，应该由4,5,6,7,8,9,0中的三个组成，这样的随机数有：907,966,458,569,556,488,989，共7组随机数，所以所求概率为＝0.35.
故选：B.
10. D
解析：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：
5727 0293 9857 0347 4373 8636
9647 4698 6233 2616 8045 3661
9597 7424 4281
共15组随机数，所以所求概率为＝0.75.
故选：D.
