杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.2.3.1向量的数乘运算1
1．(2a－b)－(2a＋b)等于( )
A．a－2b B．－2b
C．0 D．b－a
2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是( )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
3．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2 B.
C．－ D．2
4.已知非零向量a，b满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
5.在 ABCD中，＝2a，＝3b，则等于( )
A．a＋b B．a－b
C．2a＋3b D．2a－3b
6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
7．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A.a＋b B．a＋b
C.(a＋b) D．a＋b
8.将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
9．已知a、b是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为( )
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
10．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
答案解析：
1．B 解析：(2a－b)－(2a＋b)＝2a－b－2a－b＝－2b.
2． C解析： 对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.
3． D解析： ＝－＝3－＝2.
4. C解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同，
∴a与b的方向相同．
5. C解析： ＝＋＝2a＋3b.
6． D解析： 原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
7． C解析： ＋＝＋＝＝2，
所以＝(a＋b)，故选C.
8. B解析： 原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝(－12a＋24b)＝2b－a
9． C解析：(1)真命题．因为2>0，所以2a与a的方向相同．又|2a|＝2|a|，所以命题①是真命题．
(2)真命题．因为5>0，所以5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，而－2<0，所以－2a与a的方向相反，|－2a|＝2|a|，所以－2a与5a的方向相反，且模是5a的模的.故(2)是真命题．
(3)真命题．依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．
(4)假命题．因为a－b与b－a是一对相反向量．所以a－b与－(b－a)是一对相等向量，故(4)是假命题．正确命题个数为3，答案C。
10． A 解析: ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.(共10张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.2.3.1-向量的数乘运算1
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2107010302RB206020301ZD（A）
学习目标
理解向量的数乘的概念
1
1
掌握向量的数乘的长度和方向
2
2
2
掌握向量的线性计算
3
类似地，由图可知
已知非零向量 作出 和
它们的长度和方向分别是怎样的？
探究：
如图，
类比数的乘法，我们把 记作
即
显然 的方向与 的方向相反， 的长度是 的长度的3倍，即
显然 的方向与 的方向相同， 的长度是 的长度的3倍，
即
它的长度与方向规定如下：
(1) （向量的模非负数）
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作
特别地
(2) 当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反.
当 时，
思考
如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量 ,向量 该如何表示？向量 ， 之间的关系怎样？
向量 ， 之间的关系：
向量 ， 方向相同，且
如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不 变得到向量 ,则向量
总结： 的几何意义就是把向量 沿着 的方向或反方向扩大或缩小 倍．
（1）
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
向量线性运算的结果仍是向量.
特别地，我们有
（3）
（2）
设 ， 为实数,那么则有
对于任意向量 ，以及任意实数 ， ， ，恒有
解：
例5 计算：
解：在平行四边形ABCD中,
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
例6 如图,在平行四边形ABCD中, AC与BD相交于点M，
, 用 ，表示向量 ， , 和
课堂小结
实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，实数与向量不能进行加减运算.
1
1
3
掌握向量的线性运算.
对任意非零向量 ，则向量 是与向量 同向的单位向量．
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
