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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.2.4.2-向量的数量积2
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2108010302RB206020402ZD（A）
学习目标
理解向量数量积满足的运算律
1
1
能够利用向量数量积满足的运算律解决向量问题
2
2
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
探究
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
（3）
对于向量 ， ， 和实数 ，有
（2）
（1）
证明 (1)
同理可证明 (2)
可得
下面我们利用向量投影证明分配律(3)
因为 ,所以 .于是
证明：如图，任取一点O,作
设向量 ， , 与 的夹角分别为 ， ， ，
它们在向量 上的投影向量分别为 ， ， ,
与 方向相同的单位向量为 ，则
即
即
整理得
则有
即
则有
即
由向量数量积的定义，可以发现
设 , , 是向量， 一定成立吗？为什么？
思考
的结果是与向量 共线的向量
的结果是与向量 共线的向量
可知 不一定成立.
例11 对任意向量 , ,是否有下面的结论
解：
例12 已知 与 的夹角为 60°,
求
解：
例13 已知 与 不共线. 当 为何值时，
向量 与 互相垂直？
解： 向量 与 互相垂直的充要条件是
即
因为
所以
即当 时，向量 与 互相垂直
巩固练习
课堂小结
向量数量积满足两个向量的交换律和对加法的分配律，
但三个向量不满足交换律.
1
1
能够利用向量数量积满足的运算律解决向量的长度、夹角以及垂直问题.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.2.4.2向量的数量积2
1．若非零向量a、b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
2．已知向量a与b的夹角是120°，且|a|＝|b|＝4，b·(2a＋b)=( )．
A. 1
B.
C.0
D．－1
3.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是( )
A.
B.
C.
D．π
4．已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ=( ).
A.
B.
C.
D．π
5.已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
6．已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为( )．
A.
B. －
C．－
D．
7.已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝；则|b|＝( ).
A. 3
B. 2
C．
D．－1
8.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为( )．
A.
B. －
C．－
D．－
9．
P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
10．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
答案解析：
1． C
解析：
〈a，b〉即两者的夹角，0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2，∵|a|＝|b|≠0，
∴2cos〈a，b〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°.
2．C解析：
由题意知，a·b＝|a||b|cos120°＝16×(－)＝－8，则
b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝－16＋16＝0.
A 解析：
由题意知,(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，
∴a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，θ＝.
4．B 解析：
∵(a－b)·(a＋2b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝1＋a·b－32＝－31＋a·b，∴－31＋a·b＝－29，
∴a·b＝2，∴cosθ＝＝＝
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
5. B
解析：
由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，
∴cosθ＝，θ＝.
6． D
解析：
由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
7. A 解析：
|2a－b|＝ (2a－b)2＝10 4＋|b|2－4|b|cos45°＝10 |b|＝3
8. B
解析：
本题主要考查了向量运算及夹角分式运用．
记〈a，b〉为两者的夹角
∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a·b〉＝＝＝－.
9． D
解析：
由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
10． C
解析：
由－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形.
