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人教版数学高中必修二
6.2.3.2向量的数乘运算2
1．若a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，则2a－3b＝( )
A．－e1＋10e2 B．e1＋10e2
C．－e1－10e2 D．e1－10e2
2．已知向量＝a＋b，=a＋b，=(a＋b) ，=a＋b则( )
A．∥ B．∥
C．∥ D．∥
3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝( )
A．0 B．1
C．3 D．2
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
5.已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
6．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或e1＝0
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
8.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝( )
A. b－a B. (b－a)
C．(b－a) D．－(b－a)
9．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )
A. B.
C．－ D．－
10．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案解析：
1. A 解析： 2a－3b＝2(e1＋2e2)－3(e1－2e2)＝－e1＋10e2.
C 解析：=a＋b=2.(a＋b) =2,所以∥
D 解析：本题考查向量加法的几何意义．
＋＝＝2，∴λ＝2.
4． A解析： ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．
5. B解析： ∵＋＝a＋5b，
即＋＝，
∴＝，即存在λ＝1使＝λ.
∴、共线．
又∵两向量有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
6． D解析： 当e1＝0时，显然有a∥b；
当e1≠0时，b＝2e1≠0，又a∥b，
∴存在实数μ，使a＝μb，即e1＋λe2＝2μe1，
∴λe2＝(2μ－1)e1，又λ≠0，∴e1∥e2.
7． A 解析：将、都用从C点出发的向量表示．
(方法一)：由＝2，
可得－＝2(－) ＝＋，
所以λ＝.故选A.
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A.
8. C解析： ＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋(＋)
＝－b－a＋(a＋b)
＝b－a＝(b－a)．
9． A 解析：本题考查平面向量基本定理应用．
由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，
从而λ1＋λ2＝.
10． B 解析：∵＝λ＋，∴－＝λ.
∴＝λ.
∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．(共9张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.2.3.2-向量的数乘运算2
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2107010302RB206020302ZD（A）
学习目标
理解向量的共线定理
1
1
能够利用向量的共线定理判断向量共线以及三点共线
2
2
引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
探究:
如图，可以发现，实数与向量的积与原向量共线.
事实上，对于向量
如果有一个实数 ，使
那么由向量数乘的定义可知 与 共线.
反过来，已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 的长度的 倍，即
那么，当 与 同方向时，有
当 与 反方向时，有
综上，我们有如下定理：
向量 与 共线的充要条件是：
存在唯一一个实数 ，使
也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
根据这一定理，设非零向量 位于直线 上，
那么对于直线 上的任意一个向量 都存在唯一的一个实数 ，使 .
注意：当向量 时， 与任一向量 共线
如果向量 与 不共线，且 ，那么 .
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线， 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上. 在本题中，应用向量知识判断A, B, C三点是否共线，可以通过判断向量 , 是否共线，即是否存在 ，
使 成立.
例7 如图，已知任意两个非零向量 ， ,试作
猜想A, B, C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量 , ,
过点A, C作直线AC
观察发现，不论向量 , 怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A, B, C三点共线.
因为
所以
因此，A, B, C三点共线.
例8 已知 ， 是两个不共线的向量，向量 ，
共线，求实数 的值.
解：由 ， 不共线，易知向量 为非零向量.
由向量 ， 共线, 可知存在实数 使得
即
由 ， 不共线，则有
因此，可得 .
证明：已知三点A，B，C共线
已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，
若有 ，则 .
拓展：
则可知存在实数 ，使得
即
即
则有
由（1）（2）可得
课堂小结
理解平面向量的共线定理及其几何意义.
1
1
掌握利用平面向量共线定理证明向量共线以及三点共线的方法.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
