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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.2.4.1-向量的数量积1
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2108010302RB206020401ZD（A）
学习目标
掌握两个向量的数量积的计算方法
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1
理解投影以及投影向量的概念
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2
理解向量数量积的几何意义
2
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前面我们学习了向量的加、减运算. 类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？
如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
在物理课中我们学过功的概念：
如果一个物体在力 的作 用下产生位移 ,
那么力 所做的功
其中 是 与 的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一 种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积"的概念.
因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，
所以我们先要定义向量的夹角概念.
即
已知两个非零向量 ， , O是平面上的任意一点，
作 则
叫做向量 与 的夹角.
显然，当 时， 与 同向；
当 时， 与 反向.
如果 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为
我们把数量 叫做向量 与 的数量积（或内积），记作
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
例9 已知 与 的夹角 ，求
解：
例10 设 ，求 与 的夹角
解：因为 ，则有
因为 所以
已知两个非零向量 ， , 作
过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线，垂足分别为
得到
我们称上述变换为向量 向向量 投影, 叫做向量 在向量 上的投影向量.
在平面内任取一点O，作
过点M作直线ON的垂线，垂足为
则 就是向量 在向量 上的投影向量.
如图,设与 方向相同的单位向量为 , 与 的夹角为 ， 那么 与 ， , 之间有怎样的关系？
探究
显然, 与 共线，于是
下面我们探究 与 , 的关系，进而给出
的明确表达式. 我们分 为锐角、直角、钝角以及 , 等情况进行讨论.
当 为锐角时， 与 方向相同，
所以
当 为直角时，
所以
当 为钝角时， 与 方向相反，
所以
当 时，
所以
当 时，
所以
综上所述，对于任意的 都有
探究
从上面的探究我们看到，两个非零向量 与 相互平行或垂直时，向量 在向量 上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
两个非零向量 与 相互平行时，
两个非零向量 与 相互垂直时，
当 时，
所以
当 时，
所以
当 时，
所以
由定义，可以得到向量数量积的如下重要性质
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相 同的单位向量，则
（1）
（2）
当 与 反向时，
（3）当 与 同向时，
特别地， 或
此外，由 还可以得到
（4）
课堂小结
3
掌握向量数量积的性质，并会利用求模公式 .
向量 在 上的投影向量
2
向量 在 上的投影向量
两向量 与 的数量积 是一个实数，
其值可正可负可为0.
1
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.2.4.1向量的数量积1
1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝( )
A．1
B．3
C．0
D．2
2．已知|a|=3,|b|=5且a与b的夹角为45°，则向量a在向量b上的投影向量的长度为( )
A.
B．3
C．4
D．5
3．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( )
A．12
B．12
C．－12
D．－12
4.若a·c＝b·c(c≠0)，则( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．|a|cosθ1＝|b|cosθ2
5.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
6．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，)
B．[，π)
C．(，π]
D．(，π)
7．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且a·b＝2，则向量a和b的夹角是( )
A.
B.
C.
D．π
8.设a、b、c是三个向量，有下列命题：
①a·b＝b·a；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③a、b反向 a·b＝－|a||b|；
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
9．
下列各命题中真命题有( )
①0－＝；②|a·b|＝|a||b|；③若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；④a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑤a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
A．①②
B．③⑤
C．①⑤
D．②④
10．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．－8
B．8
C．－8或8
D．6
答案解析：
1. B 解析 根据两向量的数量积公式可得
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30°
＝2××＝3. （〈a，b〉即两者的夹角）
2． A 解析
向量a在向量b上的投影向量为||a|·cosθ|＝3×＝.
3． C解析
mn＝|m||n|cosθ＝4×6×cos135°＝－24×＝－12.
4. D解析 设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cosθ1＝|b|·|c|cosθ2，
即|a|cosθ1＝|b|cosθ2，故选D.
5. A解析
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.
6． A解析 因为a·b>0，∴cosθ>0，∴θ∈[0，)．
7． A解析
由题意知a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，θ＝.
8. B解析 ①中，a·b＝|a||b|cosθ，b·a=|b||a|cosθ
则a·b＝b·a，即①正确；
②中，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，即②不正确；
a、b反向，cosθ=－1,a·b＝－|a||b| ③正确
9．C解析 本题考查数量积的概念及向量运算．上述命题中只有①⑤正确．
对于②，由数量积定义，有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；
对于③，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于④，由a·b＝0也可以a⊥b，即可以都非零．
10． B解析
由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.
