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人教版数学高中必修二
6.3.1平面向量基本定理
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则e1、e2夹角的范围是( )
A．0°≤θ<180° B．0°≤θ≤180°
C．0°<θ<180° D．0°<θ≤180°
2．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A．e1、e2一定平行
B．e1、e2的模相等
C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
3.设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2－2e1 D．e2和e1＋e2
4．如图，设O是 ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
6．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝( )
A.b＋a B.a＋b
C.b－a D.b＋a
7.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为( )
A. B.π
C. D.π
8.已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝( )
A. 3 B. －1
C．－2 D．－
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
10．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为( )
A.(4a＋5b)
B.(9a＋7b)
C.(2a＋b)
D.(3a＋b)
答案解析：
1． C
解析：平面内的两个向量不共线，才可以作为基底
2． D解析：由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C才正确．
3. B
解析：因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，
所以为平行向量，不能作为一组基底．
4． B
解析：与不共线，∥，与不共线，∥，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
5. C
解析：选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
6． A
解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
7. D
解析：如图，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴a、b、c的模构成一个直角三角形，且θ＝，所以可推知a与b的夹角为.故选D.
8. C
解析：∵a∥b，则2e1－e2＝λ(ke1＋e2)．
又∵e1、e2不共线．
∴解得：
D
解析：∵＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
10． A
解析：利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理求解．
∵＝＋，＝＋
＝＋＝＋＝.
而＝b－a，∴＝b－a，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.(共11张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.3.1-平面向量基本定理
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2108010302RB2060301ZD（A）
学习目标
理解平面向量基本定理的内容
1
1
理解基底的概念以及向量的分解
2
2
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图.
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使这个向量是另外两个向量的和呢？
我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力.
过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N
如图,设 ， 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与 ， 都不共线的向量. 在平面内任取一点O,
作 .将 按 , 的方向分解，你有什么发现？
探究：
则有
由 与 共线， 与 共线可得，存在实数 ,使得 ,
所以
思考：
由 ，可知
与 ， 都不共线的向量 都可以表示成
的形式.
当 是与 或 共线的非零向量时，
也可以表示成 的形式；
当 是零向量时，也可以表示成 的形式吗？
当 是零向量时，也可以表示成 的形式，
此时有
则有
上述讨论表明，平面内任一向量 都可以按 ， 的方向分解. 表示成 的形式，而且这种表示形式是唯一的.
如果 还可以表示成 的形式,则有
可得
即
由此式可以推出
也就是说，有且只有一对实数 ,使
综上，我们得到如下定理：
由平面向量基本定理可知，
任一向量都可以由同一个基底唯一表示，
但一个平面内的基底不唯一.
平面向量基本定理： 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使
若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
例1 如图 不共线，且
用 表示
解：因为
所以
例2 如图，CD是△ABC的中线，CD = AB,用向量方法
证明△ABC是直角三角形.
证明：如图，设
则
于是△ABC是直角三角形.
可得
因为CD = AB，所以CD =DA
因为
则
所以
课堂小结
在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的.
1
1
于对固定的基底(不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
