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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2107010302RB2060302ZD（A）
学习目标
理解平面向量的正交分解
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会用坐标表示向量
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不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
给定平面内两个不共线的向量 ， ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量 ,均可分解为两个向量
即 .
其中向量 与 共线，向量 与 共线
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，
将为我们研究问题带来方便.
正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形.
重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.
如图，重力G可以分解为这 样两个分力：
平行于斜面使木块沿斜面下滑的力
垂直于斜面的压力
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标） 表示.
那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
思考
如图,在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 , ，取 作为基底.
对于平面内的任意一个向量 ，由平面向量基本定理可知，
有且只有一对实数 使得
这样，平面内的任一向量 都可由 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，记作
这样，平面内的任一向量 都可由 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，记作
叫做向量 的坐标表示.
其中， 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标，
显然，
注意：
表示的分别为对向量进行正交分解后，得到的两个分向量的系数，并不是某一个点的坐标的有序数对.
因为 ，所以终点A的坐标
就是向量 的坐标.
如图,在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ，
则点 的位置由向量 唯一确定.
反过来，终点A的坐标 也就是向量 的坐标.
这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
设 ,则向量 的坐标 就是终点 的坐标
注意：只有起点在原点的时候，终点坐标才是向量坐标.
即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
例3 如图 , 分别用基底 表示向量
并求出它们的坐标
解：由图可知
所以
同理可得
课堂小结
向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．
当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和
这个向量终点的坐标才相同．
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平面内的任一向量 都可由 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的坐标，
记作 .
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是正交分解的是( )
A.＝－ B.＝－
C.＝＋ D.＝＋
2．已知基向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，m＝4i－j，则m的坐标是( )
A．(4,1) B．(－4,1)
C．(4，－1) D．(－4，－1)
3．平面直角坐标系中，任意向量m的坐标有( )个．
A．1 B．2
不确定 D.无数个
4．向量正交分解中，两基底的夹角等于( )
A．45° B．90°
C．180° D．不确定
5．向量＝(x，y)，(O为原点)的终点A位于第二象限，则有( )
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0
C．x<0，y>0 D．x<0，y<0
6．如图所示，向量的坐标是( )
A．(1,1) B．(－1，－2)
C．(2,3) D．(－2，－3)
7．已知＝(2,3)，则点N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
8.已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
9.已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，O为原点，则( )
A．x＝1，y＝－2. B．x＝－1，y＝2.
C．x＝－1，y＝－2. D．x＝1，y＝2.
10．在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标( )．
a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2).
a＝(，2)，b＝(，)，c＝(2，2).
a＝(2，)，b＝(－，)，c＝(2，2).
a＝(－，)，b＝(，)，c＝(2，－2).
答案解析：
1. B解析： 由于⊥，则＝－是正交分解．
2． C 因为i＝(1,0)，j＝(0,1)，所以m＝4i－j=4（1，0）-（0，1）=（-4，1）.所以m＝（-4，1）.故选：C.
3． A解析： 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m的坐标仅有1个．
4． B 已知，向量正交分解中，两基底的夹角等于九十度.故选：B.
5． C解析： ∵＝(x，y)，∴A(x，y)．
又点A在第二象限，∴x<0，y>0.
6． D解析： 由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，
则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．
7． D解析： 因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
B解析： 在坐标系中标出两点位置，画出向量
可得=(－1,2)
9. C解析： ∵a＝＝(2,0)．
∴，解得，
∴x＝－1，y＝－2.
10． A
解析： 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos45°＝2×＝，
a2＝|a|sin45°＝2×＝，
b1＝|b|cos120°＝3×(－)＝－，
b2＝|b|sin120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－)＝－2.
因此a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2).
