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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.4.1平面几何中的向量方法
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB2060401ZD（A）
学习目标
会用向量运算解决平面几何问题
1
1
掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤
2
2
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
例1 如图, DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：
DE//BC, DE= BC.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.
如果用向量方法证明这个结论，可以取 为基底，用 表示
证明 即可.
证明：如图,因为DE是△ABC的中位线，所以
从而
由于
所以
所以DE//BC, DE= BC.
平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积 主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.
用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2） 通过向量运算.研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3） 把运算结果“翻译"成几何关系.
例2 如图,已知平行四边形ABCD,你能发现对角线AC和BD的 长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
如图,取｛ ｝为基底，设 , ,则
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
两式相加，得
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
课堂小结
1
1
掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤.
2
熟练掌握用向量方法解决不同平面几何问题.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.4.1平面几何中的向量方法
1.若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于( )
A．2
B．1
2.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则( )
A. ＝
B. 与共线
C. ＝
D. 与共线
5．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2＝2x
D．y2＝－2x
6．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( )
A．5
－5
D．－
7.如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝( )
A.1
B．2
C．3
D．10
8.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
9．若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
10.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A.
B．2
C．5
D．10
答案解析：
1. C
解析：a＋2b=(2x+1,4)，2a－b=(2-x,3)，a＋2b与2a－b平行，
则3(2x+1)-4(2-x)=6x+3-8+4x=10x－5=0则x等于.
故选：C.
2. B
解析： 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．
m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)
∵(m＋n)⊥(m－n)
∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0
∴λ＝－3.
故选：B.
3． A
解析： ＝(－3,3)，＝(1,1)，·＝0.
故选：A.
4． D
解析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，即与共线．
故选：D.
5． D
解析： ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)
则·＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x.
故选：D.
6． A
解析：由题意，得＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.∴·＝0.
∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.
故选：A.
C
解析：∵＝(＋)＝(－1,2)，
∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.
故选：C.
8. D
解析：由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0.
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
故选：D.
9． B
解析：由(－)·(＋－2)＝0，
可知·(＋)＝0，
设BC的中点为D，则＋＝2，
故·＝0，所以⊥.
又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．
故选：B.
10. C
解析：本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．
由题意知AC，BD为四边形对角线，
而·＝1×(－4)＋2×2＝0
∴AC⊥BD.
∴S四边形ABCD＝×||×||
＝××
＝××＝5.
量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.
故选：C.
