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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.4.3.1-余弦定理
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB206040301ZD（A）
学习目标
会用向量方法推导余弦定理.
1
1
理解勾股定理和余弦定理的关系.
2
2
能够用余弦定理解三角形.
2
3
在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系. 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了 SSS, SAS, ASA, AAS等判定三角形全等的方法.
这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
下面我们利用向量方法研究这个问题.
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.
也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
那么，表示的公式是什么？
探究 在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c,怎样用a, b和角C表示另一边c
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们 考虑用向量的数量积来探究.
则有
如图, 设 ， 那么
我们的研究目标是用 和C表示 , 联想到数量积的性质 , 可以考虑用向量 (即 )与其自身作数量积运算.
同理可得
由
则有
余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.
于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:
即
思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系. 应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.
由
可得
同理可得
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,你能说说这两个定理之间的关系吗？
由余弦定理可得 即
如果△ABC中有一个角是直角，例如
此时
这就是勾股定理.
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a，b, c叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在△ABC中，设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
结论:
例5 在△ABC中，已知b = 60 cm, c=34cm, A=41°, 解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm).
解：由余弦定理，得
所以
由余弦定理的推论，得
利用计算器，可得
所以
由余弦定理，得
利用计算器，可得
所以
例6 在△ABC中，已知a=7, b=8, 锐角C满足sinC= ,
求B （精确到1°）.
解：因为sinC= ，且C为锐角，则有
进而
课堂小结
1
1
已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理求其它角．
2
已知三边解三角形时，可用余弦定理的推论求出三个角．
3
能用余弦定理判断三角形形状.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.4.3.1余弦定理
1.在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，b＝3，c＝5，A＝120°，则a＝( )
A．7
C．49
D．19
2.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
3．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于( )
A.
B.
C．3
D．4
4．在△ABC中，若a
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
5．以4、5、6为边长的三角形一定是( )
A．直角三角形
B．不存在
C．钝角三角形
D．锐角三角形
6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝( )
A.
B. －
C.
D.
8.△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为( )
A.
B.
C.
D.
9．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
10．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案解析：
1. A
解析：
a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120°＝49，
∴a＝7.
故选：A.
2. C
解析：
cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
故选：C.
3． A
解析： 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°
＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.
故选：A.
4． B
解析： ∵c2∵a故选：B.
5． D
解析：
由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，
则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.
故选：D.
6． D
解析：
设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为 2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，
故选：D.
7. A
解析：
∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，
∴c＝7.
cosA=，在△ABC中得
sinA=＝.
故选：A.
8. B
解析：
∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
∵0故选：B.
9． C
解析：
∵cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
故选：C.
10． D
解析：
∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝.
故·＝3×2×＝.
故选：D.