(共10张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.4.2向量在物理中的应用举例
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB2060402ZD（A）
学习目标
掌握平面向量对力学的解释和应用
1
1
能利用平面向量知识解决简单物理问题
2
2
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
解：如图,先来看共提旅行包的情况.设作用在旅行包上的两个拉力分别为 ,为方便起见，我们不妨设 .另设 的夹角为 ，旅行包所受的重力为
这里，|G|为定值.分析上面的式子，我们发现，
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
当 由0逐渐变大到 时， 由0逐渐变大到 ， 的值由大逐渐变小，此时 由小逐渐变大；
反之，当 由 逐渐变小到0时， 由 逐渐变小到0， 则 的值由小逐渐变大，此时 由大逐渐变小；
这就是说， 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
分析式子 ，我们能发现
（1） 当 为何值时， 最小？最小值是多少？
（2） 能等于|G|吗？为什么？
探究：
要使 最小，只需 最大，此时 ,可得 =0.于是 时的最小值为
要使 ，只需 ，
此时 ,可得
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.
考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸.
例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度 =500 m, 一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度 的大小为 =10 km/h,水流速度 的大小为 =2 km/h,那么当航程最短时， 这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3. 1 min.
此时，船的航行时间
如图,设 ，则
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力.
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度
课堂小结
能利用平面向量知识解决简单物理问题.
2
1
1
理解平面向量对力学的解释和应用.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.4.2向量在物理中的应用举例
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力、，则|＋|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C.
D．－
2.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是( )
A．5N
B．10N
15N
D．20N
3．力＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为＝(3,4)，则力对质点P做功的是( )
A．－11
B．11
C. －10
D．10
4.若向量＝(2,2)、＝(－2,3)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5)
B．(4，－1)
C．2
D．5
5.速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是( )
A．2 m/s
B．10 m/s
C．12 m/s
D．2m/s
6.两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N
B．10N
C．20N
D．40N
7.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2
B．2
C．2
D．6
8．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
9．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为( )
A．2
B．2
C.
D. －
10.某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移是( )
A．向东偏北30°方向30m
B．向东偏北60°方向30m
C．向东偏北30°方向60m
D．向东偏北60°方向60m
答案解析：
1． C
解析：∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝.
故选：C.
2. B
解析：因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.故填10N.
故选：B.
3． A
解析：∵W＝·＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力对质点P做的功是－11.
故选：A.
4. D
解析：F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，
∴|F1＋F2|＝5.
故选：D.
5. D
解析：|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2
＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.
∴|v|＝2(m/s)．
故选：D.
6. B
解析：如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10N.
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10N.
故选：B.
7. A
解析：∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，
∴|F3|＝|－F1－F2|＝
＝
＝＝2.
故选：A.
8． B
解析：a与b的夹角为90°，则a·b＝0，
则|a＋b|＝＝
＝＝＝2，
a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1.
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴θ＝60°，即a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.
故选：B.
9． C
解析：|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
故选：C.
10. D
解析：如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||2＝||2+||2＝3600，所以||=60m，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
故选：D.
