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人教版数学高中必修二
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
1.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
在△ABC中，若＝，则角B等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．若△ABC中，sinA:sinB:sinC＝2:3:4，那么cosC＝( )
A．－
B.
C．－
D.
4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为( )
A．
B.
C．15
6．在钝角三角形ABC中，若sinAA．cosA·cosC>0
B．cosB·cosC>0
C．cosA·cosB>0
D．cosA·cosB·cosC>0
7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
8.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，且c＝2a，则cosB等于( )
A.
B.
C.
D.
9．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC等于( )
A.
B.
C.
D.
10．在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC＝4：5：6，则cosA：cosB：cosC＝( )
A. 2：9：12
B. 12：2：9
C. 12：9：2
D. 12：19：2
答案解析：
B
解析：∵3＝×4×3sinC，
∴sinC＝，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C＝60°.
故选：B.
B
解析：由正弦定理知＝，∵＝，
∴sinB＝cosB，∵0°故选：B.
A
解析：
由正弦定理，得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝2：3：4，
令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，
∴cosC＝
＝＝－.
故选：A.
B
解析：∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
故选：B.
5． D
解析：由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝×5×3×sin120°＝.
故选：D.
6.C
解析：由正弦定理得，a∴角C为钝角，∴cosC<0，cosA>0，cosB>0.
故选：C.
D
解析：
依题意得，·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或B＝.
故选：D.
B
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，
由余弦定理得cosB＝＝＝.
故选：B.
B
解析：
由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sinB＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sinC＝.
故选：B.
10． C
解析：
由正弦定理，得＝＝，
得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝4:5:6，令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，
由余弦定理的推论，得
cosA＝＝，
同理可得cosB＝，cosC＝，
故cosA：cosB：cosC＝：：＝12：9：2.
故选：C.(共13张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB206040303ZD（A）
学习目标
会应用余弦定理，掌握余弦定理的应用条件.
1
1
会应用正弦定理，掌握正弦定理的应用条件.
2
2
能够灵活应用正余弦定理解决实际问题.
2
3
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.
下面我们通过几道例题来说明这种情况.
需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，
而不是其他的条件.
事实上，这些条件都是在某种情景和条件限制下恰当的测量方案.
例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离.
分析：若测量者在A, B两点的对岸取定一点C （称作测量基点），则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题.
为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以 及∠ACD, ∠CDB, ∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了.
例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离.
在△ADC中，由正弦定理，得
解：如图,在A, B两点的对岸选定两点C, D, 测得CD= ,并且在C, D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β，∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在△BDC中，由正弦定理，得
例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离.
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A, B两点间的距离
解：由于
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的CD. 为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.
一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
如图,早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A） 与好望角（点B)为基点，测量出α, β的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km.
我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴. 当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法.
例10 如图, AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得 一点C(点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角， 就可以计算出建筑物的高度.
为此，应再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方 法计算出CA.
例10 如图, AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.
那么，在△ACD中，由正弦定理，得
解：如图,选择一条水平基线HG, 使H, G, B三点在同一条直线上. 在G, H两 点用测角仪器测得A的仰角分别是α, β，CD = ，测角仪器的高DH= .
所以，这座建筑物的高度为
例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点 看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到D 需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）
分析：首先应根据“正东方向''“南偏西30°”“目标方向线"等信息，画出示意图.
解： 根据题意，画出示意图.
由余弦定理，得
于是BC≈24(n mile)
由0°因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东
46°+ 30°=76°, 大约需要航行24 n mile.
由正弦定理，得 ，则
得
课堂小结
1
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正弦定理及其推论的作用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而计算出其他的边和角．(3)边化角，角化边．
2
余弦定理及其推论的作用：(1)已知三角形的两边及其夹角，求其他的边和角．(2)已知三角形的三边，求三个角．(3)边化角，角化边．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
