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人教版高中数学必修第2册
第六章 平面向量及其应用
6.4.3.2-正弦定理
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB206040302ZD（A）
学习目标
掌握用向量方法推导正弦定理.
1
1
能利用正弦定理解三角形.
2
2
探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.
实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：
在△ABC中，设A的对边为 ，B的对边为 ，求A, B, , 之间的定量关系.
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A, B, ,求 “的问题.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.
根据锐角三角函数，在Rt△ABC中 ,有
又因为sinC=sin90°=1,
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.
观察发现，它们有一个共同元素 利用它把两个式子联系起来，可得
所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即
对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.
我们希望获得△ABC中的边a, b, c与它们所对角A, B, C的正弦之间的关系式.
在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，
这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦. 如何实现转化呢？
下面先研究锐角三角形的情形.
由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
如图, 在锐角△ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 , 与 的夹角为 .
因为 ，所以
由分配律，得
即
因此
即
可得
即
所以
同理，过点C作与 垂直的单位向量 ,可得
当△ABC是钝角三角形时, 不妨设A为钝角
过点A作与 垂直的单位向量 ，
则 与 的夹角为 , 与 的夹角为 .
仿照上述方法，同样可得
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的 角的正弦之间的一个定量关系.
利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
综上，我们得到下面的定理：
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
即
对正弦定理的理解：
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．
由正弦定理，得
解：由三角形内角和定理，得
C= 180°-(A + B)=180°- (15°+45°) = 120°.
例7 在△ABC中，已知A=15°, B=45°, c= ,
解这个三角形.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理.
例8 在△ABC中，已知B = 30°, b= , c=2, 解这个三角形.
解：由正弦定理，得
因为
所以
于是 或
(1)当 时，
此时，
例8 在△ABC中，已知B = 30°, b= ,c=2,解这个三角形.
解：
(2)当 时，
此时，
注意：由三角函数的性质可知，在区间（0, π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；
正弦函数在区间（0, ）内单调递増，在区间（ ，π）内单调递减，所 以利用正弦定理求角，可能有两解.
正弦定理的推论及变形：
正弦定理的推论及变形：
（7）三角形面积公式：
推导：
在△ABC中， 为AC边上的高
则
课堂小结
利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：
①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
2
1
1
能利用正弦定理及其推论解三角形.
已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法：应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
6.4.3.2正弦定理
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A.
B.
C.
D．1
2.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝b，则角A等于( )
A.
B.
C.
D.
已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝( )
A.
B.
C.
D.
4.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( )
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
5.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝( )
A．1
B．3
C．2
D．4
6.在△ABC中，下列关系式中一定成立的是( )
A．a>bsinA
B．a＝bsinA
C．a
D．a≥bsinA
7.已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2
B．x<2
C．2D．28.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
A．－
B.
C. －1
D. 1
9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( )
A.
B.
C.
D.
10．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是( )三角形．
A．直角
B．等边
C．钝角
D．无法确定
答案解析：
1． B
解析：本题考查了正弦定理解三角形，
由＝知＝，即sinB＝,
故选：B.
2. D
解析：由正弦定理得＝，∴sinA＝，∴A＝.
故选：D.
3． A
解析：由已知，得＝×2××sinA，∴sinA＝.
故选：A.
4. B
解析：∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c>bsinC，又c故选：B.
5. C
解析：C＝180°－105°－45°＝30°.根据正弦定理＝可知
＝，解得c＝2.
故选：C.
6. D
解析：由正弦定理，得＝，∴a＝，
在△ABC中，0故选：D.
7. C
解析：
由题设条件可知
，∴2故选：C.
8. D
解析：∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝1.
故选：D.
9． A
解析：本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.
故选：A.
10． B
解析：
由正弦定理得，＝＝，∴sin＝sin＝sin，
∵0∴＝＝，∴A＝B＝C.
故选：B.