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人教版高中数学必修第2册
第七章 复数
7.2.1-复数的加减运算及其几何意义
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB2070201ZD（A）
学习目标
掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义
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能熟练地运用法则解决相关的问题
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我们规定，复数的加法法则如下：
设 是任意两个复数，那么它们的和
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
特别地，当 都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.
可以看岀，两个复数相加，类似于两个多项式相加.
思考 复数的加法满足交换律、结合律吗？
容易得到，对任意 ，有
设
则有
探究 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算法则，得
设 分别与复数 对应,
则有
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义.
这说明两个向量 的和就是与复数 对应的向量.
思考 我们知道，实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
根据复数相等的含义，则有c+x=a, d+y=b
这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减.
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R) 减去复数c+di(c, d∈R)的差, 记作（a+bi)-(c+di).
因此，x=a-c, y=b-d
所以，x+yi=（a-c）+(b-d)i
即（a+bi)-(c+di)=（a-c）+(b-d)i
探究 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算法则，得
设 分别与复数 对应,
则有
因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
这说明两个向量 的差就是与复数 对应的向量 .
例1 计算(5-6i) + (-2-i)-(3+4i).
解：(5-6i) + (-2-i)-(3+4i)
= (5-2-3) + (-6-1-4)i
= -11i
例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的
两点 之间的距离.
分析：由于复平面内的点 对应的复数分别为 ,由复数减法的几何意义知，复数 对应的向量为 ,从而点 之间的距离为
解：由于复平面内的点 对应的复数分 别为 ,
所以点 之间的距离为
课堂小结
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根据复数的几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与模有关的问题，将复数与点及向量加以转化可有助于问题的解决．
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复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
7.2.1复数的加减运算及其几何意义
1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
2．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝( )
A．2－2i
B．－2－2i
C．±2－2i
D．2±2i
3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
5．在复平面内，若 、 对应的复数分别为7＋i、3－2i，则 ||＝( )
A．5
B. 2
C．15
6．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知向量 和向量 对应的复数分别为3＋4i和2－i，则向量 对应的复数为( )
A．1＋4i
B．3＋8i
C．4－5i
D．－1－5i
8. ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
9．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1
B．3
C．1或3
D．－1
10．复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1]
B．[－，1]
C．[－，7]
D． [，1]
答案解析：
1． D
解析：∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴∴
∴a＋bi＝－2－i.
故选：D.
2． C
解析：∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
∴a2＝12，∴a＝±2，
∴z＝±2－2i.
故选：C.
3． B
解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.
故选：B.
4． D
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
故选：D.
5． A
解析：
||对应的复数为3－2i－(7＋i)＝－4－3i，
所以||＝＝5.
故选：A.
6． A
解析：∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i
＝2＋5i.
∴点Z位于复平面内的第一象限．
故选：A.
7. D
解析：
∵＝－，∴对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.
故选：D.
8. C
解析： 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则 对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知 ＝ ，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.
故选：C.
9． B
解析：由条件知∴a＝3.
故选：B.
10． C
解析：
∵z1＝z2，∴
∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，
∵sinθ∈[－1,1]，∴λ∈[－，7]．
故选：C.
