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人教版数学高中必修二
7.1.1数系的扩充和复数的概念
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a、b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
①
B．②
C．③
D．④
2．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( )
A．0或－1
B．0
C．1
D．－1
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1
B．1或－4
C. －4
D．0或－4
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
5．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝( )
A．
B. 2
C．15
6．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1
B．4
C. －1或4
D．不存在
7.已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )
A．{，π，}
B．{，}
C．{π，，}
D．{π，，}
8.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a≤0
9．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i
B．3－i
C. －3－i
D．－3＋i
10．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．2kπ＋(k∈Z)
B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z)
D．kπ(k∈Z)
答案解析：
1． D
解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．
故选：D.
2． D
解析：∵z为纯虚数，∴∴m＝－1.
故选：D.
3． C
解析：由复数相等的充要条件得
解得：a＝－4.
故选：C.
4． C
解析：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
故选：C.
5． B
解析：方程可化为解得x＝2.
故选：B.
6． B
解析：由条件知，∴
∴m＝4.
故选：B.
7. A解析：由条件知，cosα＋cos2α＝0，
∴2cos2α＋cosα－1＝0，
∴cosα＝－1或，
∵0<α<2π，∴α＝π，或.
故选：A.
8. D
解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即a＝－|a|，故a≤0.
故选：D.
9． B
解析： 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝n2＋mn＋2＋（2n+2）i=0，
即，解得
∴z＝3－i.
故选：B.
A
解析：由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
故选：A.(共14张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第七章 复数
7.1.1-数系的扩充和复数的概念
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB2070101ZD（A）
学习目标
在问题情境中了解数系的扩充过程.
1
1
理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示.
2
2
理解复数相等的充要条件.
2
3
从方程的角度看，负实数能不能开平方，
就是方程 有没有解，
进而可以归结为方程 有没有解.
探究 我们知道，方程 在实数集中无解.
联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关.
例如，为了解决正方形对角线的度量, 以及 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集.
数集扩充后，在实数集中规定 的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
探究 我们知道，方程 在实数集中无解.
联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
依照这种思想，为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ,使得 是方程 的解，即使得 .
思考 把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；
把实数 与 相加，结果记作
注意到所有实数以及 都可以写成 的形式，
从而这些数都在扩充后的新数集中.
我们把形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合 叫做复数集.
这样，方程 在复数集 中就有解 了.
复数通常用字母 表示，即
以后不作特殊说明时，复数 都有
其中的 叫做复数 的实部， 叫做复数 的虚部.
当且仅当 时，它是实数0.
在复数集 中任取两个数,
我们规定：
与 相等当且仅当 且
对于复数 ,当且仅当 时，它是实数
当 时，它叫做虚数，
当 且 时，它叫做纯虚数.
例如， 都是虚数
它们的实部分别是
虚部分别是
并且其中只有 是纯虚数.
思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，
可用图表示：
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.
这样，复数 可以分类如下：
复数
实数
虚数 （当 时为纯虚数）
例1 当实数 取什么值时，复数 是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
分析：因为 ,所以 都是实数.
由复数 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 的取值.
解：（1）当 ,即 时，复数 是实数.
（2）当 ,即 时，复数 是虚数.
（3）当 且 ,即 时，
复数 是纯虚数.
方法规律总结：
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，
b才是z的虚部，且注意虚部是b，而不是bi.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，
实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)虚数单位i的性质 ①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，
所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小．
例题巩固：
若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，
则实数m的值等于________．
课堂小结
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复数相等的充要条件：设a、b、c、d都是实数，
那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.
复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，
a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件.
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
