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人教版高中数学必修第2册
第七章 复数
7.3.2-复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2109010302RB2070302ZD（A）
学习目标
理解复数乘法运算的三角表示及其几何意义.
1
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理解复数除法运算的三角表示及其几何意义.
2
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前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义.
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，
可以得到
思考 如果把复数 分别写成三角形式
你能计算
并将结果表示成三角形式吗？
则有
可以得到
这就是说，
两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积.
积的辐角等于各复数的辐角的和.
探究 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？
这是复数乘法的几何意义.
两个复数 相乘时，可以如图那样，先分别画出与 对应的向量 ，
然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角（如果 ,就要把 绕点O按顺时针方向旋转角 ）,再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积
解：
例3 已知
求 ，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
如图，先分别画出与 对应的向量 ，
然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角 ,再把它的长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量 ， 即为积 所对应的向量.
例4 如图,向量 对应的复数为1+i,把 绕点O按逆时针方向旋转120°, 得到 . 求向量 对应的复数（用代数形式表示）.
分析：根据复数乘法的几何意义，向量
对应的复数是复数1+i与某个复数的积，而这个复数的模是1, 辐角的主值是120°.
向量 对应的复数为
解：
探究 复数的除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？
因为
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
所以根据复数除法的定义，有
设 且
例5 计算
并把结果化为代数形式.
解：原式=
课堂小结
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2
1
1
两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义
1．＝( )
A.
B．
C．
D．
2．＝( )
A.
B．
C．
D．
3．＝( )
A.
B．
C．
D．
＝( )
B．
C．
D．
＝( )
B．
C.
D．
6．把复数对应向量按逆时针方向旋转所得向量的对应复数为( )
A.
B．
C．
D．
7.复数,将复数对应向量按逆时针方向旋转所得向量的对应复数为( )
B．
C．
D．
复数，，则的值为( )
A.
B．
C .
D．
9．复数是纯虚数,则( )
B．
C．
D．
10．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内的( )
A．第一象限
B. 第二象限
C．第三象限
D. 第四象限
答案解析：
B
解析：
.
故选：B.
C
解析：
.
故选：C.
D
解析：
.
故选：D.
A
解析：
.
故选：A.
C
解析：
.
故选：C.
D
解析：
因为把复数对应向量按逆时针方向旋转所得向量的对应复数为
.
故选：D.
A
解析：
因为复数，
将复数对应向量按逆时针方向旋转所得向量的对应复数为
.
故选：A.
C
解析：
因为，则有
.
故选：C.
B
解析：
因为复数是纯虚数,则满足实部为0，虚部不为0，即，而，
则有，可得
则.
故选：B.
A
解析：
表示的复数对应的点为
位于第一象限.
故选：A.
