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人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.2.1立体图形的直观图（1）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2080201ZD（A）
学习目标
掌握斜二测画法的步骤.
1
1
会用斜二测画法画出一些简单平面图形的直观图.
2
2
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征.
为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形 表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状 和结构，这就需要学习直观图的有关知识.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.
因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
观察 如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状
在初中，我们已经学习过投影. 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关. 如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形.
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.
利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，
其步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45° (或135°)，它们确定的平面表示水平面.
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
这与我们的直观观察是一致的.
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.
如图, A'B'C'D'就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图.
其中横向线段A'B'=AB，C'D'=CD；
纵向线段A'D'= AD，B'C'= BC；∠D'A'B'=45°
C
B
A
D
C’
B’
A’
D’
正方形ABCD的面积=2m×2m=4m
思考 A'B'C'D'就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图，它们的面积比为多少？
假设线段A'B'=AB=AD=2m；
则线段A'D'= AD= 1m, ∠D'A'B'=45°
A'B'C'D'的底为2m，高为 ，面积=2m
正方形的面积：平行四边形的面积=4：
C
B
A
D
C’
B’
A’
D’
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：(1)如图(1),在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.
在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(2)在图(2)中，以O'为中点，在x'轴上取 A'D'=AD,在y'轴上取M'N'= MN,以点N'为中点, 画B'C'平行于x'轴，并且等于BC,再以M'为中点，画 F'E'平行于x'轴，并且等于FE.
y
F
M
E
D
A
B
N
C
x
O
（1）
F’
M’
E’
D’
A’
N’
B’
C’
x
O’
y’
（2）
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
(3)连接A'B', C'D', D'E', F'A',并擦去辅助线 x'轴和y'轴，
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'
y
F
M
E
D
A
B
N
C
x
O
（1）
F’
M’
E’
D’
A’
N’
B’
C’
x
O’
y’
（2）
F’
E’
D’
C’
B’
A’
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题. 生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.
实际画图时常用如图所示的椭圆模板.
课堂小结
1
1
斜二测画法的步骤:(1)建立斜坐标系x'O'y'；（2）平行于x轴或y轴的线段分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；(3)平行于x轴的线段保持长度不变，平行于y轴的线段长度为原来的一半.
2
用斜二测画法画出一些简单平面图形的直观图:
(1)正确建立斜坐标系x'O'y'；（2）平行于x'轴的线段保持长度不变，平行于y'轴的线段长度为原来的一半.(3)擦去辅助线 x'轴和y'轴，获得直观图.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
8.2.1立体图形的直观图（1）
1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段( )
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
3．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是( )
①
①②
③④
①②③④
4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )
INCLUDEPICTURE"V58.TIF"
A.
B.
C.
D.
5.在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
A.
B.
C.
D.
斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为（ ）
(4，4)
(4，2)
(4，3)
(4，8)
7.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是（ ）
A．5
B．15
C．10
D．20
8.如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是（ ）
A．16
B．8
C．32
D．64
9．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．＋
B．1＋
C．1＋
D．2＋
已知正△ABC的边长为a，那么正△ABC的直观图△A′B′C′的面积是( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
答案解析：
A
解析: 斜二测画法的法则是平行于x的轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半．
故在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段也平行且相等．
故选：A.
2． C
解析: 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
故选：C.
3． B
解析: 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．
故选：B.
4． A
解析: 由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．
故选：A.
5. C
解析: C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的.
故选：C.
6. B
解析:在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′(4,2) .
故选：B.
7. C
解析: 由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝10.
故选：C.
8. A
解析: 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
故选：A.
D
解析: 如图所示，
∵A′D′∥B′C′，
∴AD∥BC.
∵∠A′B′C′＝45°，
∴∠ABC＝90°.
∴AB⊥BC.
∴四边形ABCD是直角梯形．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，
∴S梯形ABCD＝2＋.
故选：D.
10．D
解析:
如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图(2)，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
故选：D.
