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人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2080301ZD（A）
学习目标
了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法．
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能运用公式求解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，并了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积之间的关系.
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前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积. 表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
注意：表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．
一般地，表面积＝侧面积＋底面积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
因此，四面体P-ABC的表面积 .
例1 如图，四面体的各棱长均为 ，求它的表面积.
解：因为△PBC是正三角形，其边长为
所以
P
B
C
A
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是
（ 是正方体的棱长），
（ 分别是长方体的长、宽、高）.
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是 ，
那么这个棱柱的体积 .
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线. 这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为 ，
那么该棱锥的体积 .
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中S', S分别为棱台的上、下底面面积， 为棱台的高.
我们先观察棱柱与棱锥的体积公式的关系
这里以长方体（即四棱柱）与对应棱锥体积公式的关系为例：
由此得到
思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式
它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
我们再观察棱锥与棱台的体积公式的关系
这里以四棱锥与对应四棱台体积公式的关系为例：
即
设棱台的上、下底面面积分别为S', S， 为棱台的高.
已知棱台的上、下底面相似，则有
已知 则
得
可得
规律总结：
常见的求几何体体积的方法：
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，
只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，
如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，
分别求体积．
例2 如图， 一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01 m ）？
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
解：由题意知
所以这个漏斗的容积
课堂小结
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会运用公式求解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，并了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积之间的关系.
2
求几何体体积时需注意的问题：
棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )
A．6
B．3
C．11
D．12
2．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )
A．1
B．
C．
D．
长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于( )
A．2
B．4
C．6
D．3
4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2
B．12a2
C．18a2
D．24a2
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．180
B．200
C．220
D．240
6.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4
B．
C．
D．6
7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A．32
B．16＋16
C．48
D．16＋32
8.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为( )
A．24
B．24＋2
C．24＋2
D．16＋2
9．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是( )
A．130
B．140
C．150
D．160
10．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝( )
A．1∶24
B．1∶8
C．1∶12
D．1∶6
答案解析：
1． A
解析：设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.
故选：A.
2． D
解析：由三视图知，该几何体是三棱锥．
体积V＝××1×1×1＝.
故选：D.
3． C
解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2，·c＝ ，
∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.
故选：C.
4． B
解析：
原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.
故选：B.
5. D
解析：根据三视图可以确定此几何体为四棱柱，再由数量关系分别去确定侧面积与底面面积，相加为该几何体的表面积．
几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.
故选：D.
6. B
解析：
根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．
由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式
V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.
故选：B.
7. B
解析：易知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则斜高为2，故S侧＝4××4×2＝16，S底＝4×4＝16，所以S表＝16＋16.
故选：B.
8. C
解析：该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×)＋3×(4×2)＝24＋2.
故选：C.
9． C
解析：
设底面两条对角线的长分别为a、b，则a2＋52＝92，b2＋52＝152，所以a＝2，b＝10.所以菱形的边长x＝＝8，
所以S直棱柱侧＝4x·5＝4×8×5＝160.
故选：C.
10． A
解析：找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比．
设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S×h＝Sh＝V2，即V1：V2＝1：24.
故选：A.
