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人教版数学高中必修二
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝( )
A．3
B．
C．2
D．6
3.已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝ ( )cm
A．2
B．4
C．6
D．3
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A．
B．
C．
D．
5．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A．
B．
C．
D．
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2，若它们的的侧面积相等且S1：S2＝9：4，则V1：V2＝( )
A．1：2
B．2：3
C．3：2
D．3：4
7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )
A．6π
B．5π
C．4π
D．3π
8．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π
B．10π
C．11π
D．12π
9．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A．20
B．25
C．50π
D．200π
10．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于( )
A． (20＋28)π
B．(4＋28)π
C．(25＋28)π
D．28π
答案解析：
1． A
解析： 由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.
故选：A.
2． B
解析： 设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
故选：B.
3. D
解析： 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.
故选：D.
4． C
解析： 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)
又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.
故选：C.
5． A
解析： 由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝.
故选：A.
6. C
解析：
设甲圆柱底面半径r1，高h1，乙圆柱底面半径r2，高h2，
＝＝，∴＝，又侧面积相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴＝
因此＝＝.
故选：C.
7． D
解析： 如图过A作AD垂直BC于点D，此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V＝π×()2×4－π×()2×1＝3π.
故选：D.
8． D
解析： 本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为
2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.
故选：D.
9． C
解析： 长方体的体对角线即为球的直径，
∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.
故选：C.
10． B
解析：
挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.
故选：B.(共14张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2110010302RB2080302ZD（A）
学习目标
了解并掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.
1
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会用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式解决实际问题.
2
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1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和. 利用圆柱、圆锥、圆台的展开图,可以得到它们的表面积公式：
（ 是底面半径， 是母线长）
（ 是底面半径， 是母线长）
（ 分别是上、下底面半径， 是母线长）
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
思考：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导岀圆台的体积公式
（ 是底面半径， 是高）
（ 是底面半径， 是高）
（ 分别是上、下底面半径， 是高）
根据它们之间结构特征的关系，可以将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式：
思考：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
当S'=S时，台体变为柱体，台体体积公式也就是柱体体积公式；
当S'=0 时，台体变为锥体，台体体积公式也就是锥体体积公式.
（ 为底面积， 为柱体高）
（ 分别是上、下底面面积， 是高）
（ 为底面积， 为锥体高）
2.球的表面积和体积
事实上，如果球的半径为R,那么它的表面积是
设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.
注意：1. 由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
2. 球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．
例3 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成， 半球的直径是0.3 m,圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
如图, 把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n个“小锥体”.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积. 因此，球的体积
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R.设O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是
由此，我们得到球的体积公式
规律总结：
求球的表面积与体积的方法：
(1)把握住球的表面积公式 ，球的体积公式
是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住这两点，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
例4 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，
求球与圆柱的体积之比.
在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
课堂小结
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柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式
是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
