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人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.4.1.2平面（2）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2080201ZD（A）
学习目标
充分理解点、线、面的概念以及它们之间的关系，并能够用符号表示.
1
1
理解平面与平面的基本位置关系，掌握点、线、面的基本位置关系以及其推论.
2
2
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面. 可以想象，两个平面相交于一条直线.
教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，
这两个墙面相交于过这个点的一条直线.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
思考：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上, 三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B 为什么？
由此我们又得到一个基本事实：
P
l
β
α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.
基本事实3 也可以用符号表示为
两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的 “平"和“无限延展".
平面α与β相交于直线 ，记作
且
P
l
β
α
三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础.
在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些.
A
A
β
β
B
B
α
α
再结合“两点确定一条直线"，可以得到下面三个推论：
利用基本事实1（过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面）和基本事实2（如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内）,
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
·
·
·
A
B
C
a
α
b
a
α
p
b
a
α
用类似的方法，也能说明推论2和推论3成立.
(提示：直线上可以任意取点)
事实上，如图 ,设点A是直线 外一点，在直线 上任取两点B和C,则由基本事实1,经过A, B, C三点确定一个平面α.
再由基本事实2,直线 也在平面α内，因此平面α经过直线 和点A,即一条直线和这条直线 外一点确定一个平面.
·
·
·
A
B
C
a
α
不共线的三点，一条直线和这条直线外一点， 两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.
这些结论在后续会经常用到.
推论1 3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法.
如图，用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，
如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内， 否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2.
规律总结：
证明点线共面的常用方法：
(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用基本事实1，第二步要应用基本事实2.
(2)重合法：应用基本事实2，先由部分元素分别确定平面，然后应用基本事实1证明这几个平面重合．
解析：正确的是（D）.
不共线的三点确定一个平面
一条直线和直线外的一个点确定一个平面
巩固 下列命题正确的是（ ）.
（A）三点确定一个平面
（B）一条直线和一个点确定一个平面
（C）圆心和圆上两点可确定一个平面
（D）梯形可确定一个平面
课堂小结
1
1
充分理解点、线、面的概念以及线与面的延展性，并能够用符号表示
不共线的三点，一条直线和这条直线外一点， 两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
8.4.1.2平面（2）
下列命题中正确命题的个数是( )
①三角形是平面图形；
②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；
④圆是平面图形.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
平面MN
平面NQP
平面α
平面MNPQ
3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l α
B．A∈l，l α
C．A l，l α
D．A l，l α
4.下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：
(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
(2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；
(3)∵A α，a α，∴A a；
(4)∵A∈a，a α，∴A α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
6．下图中正确表示两个相交平面的是( )
A.
B.
C.
D.
(1)一点和一条直线确定一个平面；(2)经过一点的两条直线确定一个平面；(3)两两相交的三条直线确定一个平面；(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内．上述说法正确的是（ ）
(1)
(3)
(2)
(4)
8．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α a α
②a∩b＝P，b β a β
③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β P∈b
①②
②③
①④
③④
9．如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于( )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．以上都不对
10．已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．则P、Q、R三点的关系（ ）
P、Q、R共线
P在直线QR外
Q在直线PR外
R在直线PQ外
答案解析：
1． B
解析：①④正确.
故选：B.
2． A
解析：MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.
故选：A.
3. B
解析：点与线的关系是属于关系，故有A∈l，线与面之间的关系是包含关系，故l在平面α外可表示为l α.
故选：B.
4. B
解析：(3)正确．(1)错，其中的AB∈α应为AB α.(2)错，其中α，β应该交于一条过A点的直线．(4)错，因为点A可能是直线a与平面α的交点．
故选：B.
5． D
解析：根据平面的基本性质中的公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．得：两个平面有公共点，则公共点的个数是无数个.
故选：D.
6． D
解析：A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．
故选：D.
7. C
解析：(1)不正确．如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面．
(2)正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面．
(3)不正确．三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示．前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面．
(4)不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内．
故选：C.
8． D
解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.
故选：D.
9． C
解析：由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
故选：C.
10． A
解析：方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC 面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．
故选：A.
