(共19张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.6.2.1直线与平面垂直（1）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB208060201ZD（A）
学习目标
理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．
1
1
了解直线与平面所成的角的含义，并知道其求法．
2
3
掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．
2
2
1
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.
比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.
观察：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子所在直线是否保持垂直？
也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B
的直线垂直.
B’
C’
C
B
A
根据异面直线垂直的定义，可知旗杆所在直线与直线B'C'也垂直.
对于地面上不过点B的任意一条直线B'C',
总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，
因此，旗杆AB所在直线 与地面上任意一条直线都垂直.
B’
C’
C
B
A
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
直线 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 的垂面.
一般地，如果直线 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面α互相垂直，记作
可以发现，过一点垂直于己知平面的直线有且只有一条.
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
之前所学，在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
1
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，
即探究直线与平面垂直的充分条件.
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.
那么，有没有可行的方法？
容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高.
探究：如图,准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD, DC与桌面接触).（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD, DC都垂直.
A
B
D
C
A
B
D
C
B
α
A
D
C
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理.
事实上，由基本事实的推论2, 平面α可以看成是由两条相交直线BD, DC所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直.
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 那么该直线与此平面垂直.
定理体现了 “直线与 平面垂直"和“直线与直线垂直”的互相转化.
A
B
D
C
B
α
A
D
C
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， l⊥α
作用 判断直线与平面垂直
容易发现，一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线不一定与此平面垂直
思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线"可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因 吗？如果改为“无数条直线"呢？
改为“无数条直线"也不一定与此平面垂直.
例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
求证：
己知：如图,
分析：要证明直线 根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线
垂直于平面α内的两条相交直线即可.
证明：如图,在平面α内取两条相交直线
又因为 是两条相交直线，
∵直线
a
b
α
n
m
a
b
α
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
如图, 一条直线 与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
l
P
A
O
α
Θ
求直线和平面所成角的步骤：
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； (关键一步)
②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，
斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；
—条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°
直线与平面所成的角。的取值范围是0°≤θ≤90°
l
P
A
O
α
Θ
例4 如图,在正方体 中，求直线 和平面 所成的角.
分析：关键是找出直线 在平面
上的射影.
解：连接 与 相交于点O,连接 . 设正方体的棱长为
∴ 为斜线 在平面 上的射影， 为
和平面 所成的角.
A1
D1
C1
B1
B
C
A
D
O
例4 如图,在正方体 中，求直线 和平面 所成的角.
在 中，
∴直线 和平面 所成的角为30°.
A1
D1
C1
B1
B
C
A
D
O
课堂小结
1
1
处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论．
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
8.6.2.1直线与平面垂直（1）
一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )
A．(0°，90°)
B．[0°，90°]
C．(0°，90°]
D．[0°，180°]
2．若直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．斜交或在平面内
D．以上均有可能
3．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
则能保证该直线与平面垂直( )
①③
①②
②④
①④
4．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
5．下列命题中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( )
A．40°
B．50°
C．90°
D．150°
给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
平行
垂直相交
垂直但不相交
相交但不垂直
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．90°
答案解析：
1. B
解析： 由线面角的定义知B正确．
故选：B.
2． D
解析： ∵a与α内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，∴a与α可能平行、垂直、斜交或a在α内．
故选：D.
3． A
解析： 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
故选：A.
4． D
解析： 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．
故选：D.
5． C
解析： ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．
故选：C.
6. B
解析： 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
故选：B.
7. C
解析： ①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．
故选：C.
8. C
解析： 因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
故选：C.
9. D
解析： 设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，
又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，
所以△PAD为直角三角形．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
∴PD与平面ABC所成的角为45°.
故选：D.
10. A
解析： 作出PA与平面ABC所成的角，再求解即可．
设三棱柱的高为h，则×()2×h＝，解得h＝.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝，AQ＝××＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝，
所以∠PAQ＝=60° .
故选：A.
