(共12张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.6.1直线与直线垂直
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2080601ZD（A）
学习目标
理解两条异面直线所成的角的概念 ，会求异面直线所成的角.
1
1
掌握空间中两条直线垂直的含义.
2
2
在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.
1
空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线.
本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.
观察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C' 与直线AB, 直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C' 与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？
如果不同，如何表示 这种差异呢？
类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.
当两条直线 ， 相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.
如图，已知两条异面直线 , ,经过空间任一点分别作直线 ， ，我们把直线 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角(或夹角).
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 与直线 垂直，记作 .
注意：(1)直线 ，所成角的大小与点O的位置无关.
(2)空间中两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
b
a
α
O
a’
b’
规律总结：
求异面直线所成的角的一般步骤为：
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，
求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ. 若0°≤θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．
例1 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.
解: (1) 棱 AB，BC， CD， DA， A'B'，B'C', C'D', D'A'所在直线分别与直线AA'垂直.
(2) 因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'//CC',
因此∠A'BB'，为直线BA'与CC'所成的角.
又因为∠A'BB'=45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°.
例1 如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.
解：（3）如图，连接A'C'.
从而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC//A'C'
于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角.
连接BC', 易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'=60°.
因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以AA' CC'.
从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°.
例2 如图,在正方体 中， 为底面
的中心.求证 .
分析：要证明 ,应先构造直线
与BD所成的角，若能证明这个角是直角，即得 .
∴四边形 是平行四边形.
是正方体
例2 如图，在正方体 中， 为底面
的中心. 求证 .
证明：如图 ,连接
易证
∴直线为 与 所成的角即为直线 与 所成的角.
又 为上底面的中心，
∴ 为 的中点
课堂小结
1
1
研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线. 这是研究空间图形的一种基 本思路，即把空间图形问 题转化为平面图形问题.
求出异面直线所成的角，还要检验它的值是否在
[0°，90°]内．若在，则为所求，否则其补角才是所求．这是容易忽略的一步．
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
8.6.1直线与直线垂直
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2.设点P是直线a外一定点，过点P与a成30°角的异面直线有( )
A．无数条
B．两条
C．至多有两条
D．一条
3．a，b为异面直线，且a α，b β，若α∩β＝l，则直线l必定( )
A．与a，b都相交
B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交
D．至多与a，b之一相交
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )
A．3条
B．4条
C．6条
D．8条
5.已知∠AOB＝30°，过点O与直线OA、OB成等角的直线有( )条
A．无数
B．2
C．1
至多2
6.已知∠ABC＝120°，异面直线MN、PQ其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°
7． 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC和AB的中点，且DE＝3. 则异面直线PA和BC所成角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角是( )
A．15°
B．45°
C．75°或15°
D．75°
答案解析：
1． D
解析：对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．
故选：D.
2. A
解析：如图，与α成30°角的圆锥面上的母线有无数条．
故选：A.
3． C
解析：若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．
故选：C.
4． C
解析：画一个正方体，不难得出有6条．
故选：C.
B
解析：过点O与直线OA、OB成等角的直线是直线OA、OB的角平分线，共有2条．
故选：B.
A
解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN 、PQ所成的角为60°．
故选：A .
7． A
解析：取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选：A.
8． B
解析：②④是正确的．
故选：B.
9． D
解析：如图，取AC中点F，连接DF，EF，在△PAC中，
∵D是PC中点，F是AC中点，
∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2.
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
故选：D.
10. C
解析：如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F，G分别是BC，AD，BD的中点，
∴EG平行且等于CD，GF平行且等于AB，
∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角，
即∠EGF＝30°或150°.
∵AB＝CD，∴EG＝GF，故由等腰△EGF知∠GFE＝75°或15°.
而由FG∥AB知，∠GFE就是EF和AB所成的角．
从而EF和AB所成的角为75°或15°.
故选：C.
