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人教版数学高中必修二
8.6.2.2直线与平面垂直（2）
从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
2．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3. 下列说法中不正确的是( )
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B．同一个平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
4．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α
B．b α
C．b⊥α
D．b∩α＝A
直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．不确定
6．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
8．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB＞PC
B．PA＝PB＜PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PA≠PC
9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是( )
相交
平行
异面
不确定
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
答案解析：
1. B
解析：因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可得，两条垂线平行．
故选：B.
2． D
解析：①②③均正确．
故选：D.
3. D
解析：过一条直线可以有无数平面与已知平面垂直.
故选：D.
4． C
解析：已知a⊥α，b⊥α ，能推出a∥b.
故选：C.
5. D
解析：由题意可知，梯形ABCD的两腰是AB和CD，可知AD和BC是平行线. 所以不能确定l与m的位置关系.
故选：D.
C
解析：作两个相交平面，交线为n，使直线m⊥α，
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假设β内一定存在直线a与m平行，
∵直线m⊥α，而a ∥ m
∴直线a⊥α，而a β
∴α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾
∴β内不一定存在直线a与m平行；
∵直线m⊥α，n β
∴直线m⊥直线n
∴β内必存在直线与m垂直.
故选：C.
7． C
解析：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的.
故选：C.
8． C
解析：PM垂直于△ABC所在平面，则有PM⊥MB,PM⊥MA,PM⊥MC.
其中∠ACB＝90°，M为AB的中点,可知MB=MA=MC
因为PM是公共边，则△PMB,△PMA,△PMC全等. 则有PA＝PB＝PC.
故选：C.
9． B
解析：∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
∴DE∥PA.
又DE 平面PAC，PA 平面PAC，
∴DE∥平面PAC.
故选：B.
10． A
解析：∵DD1⊥平面ABCD，
∴D1D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP 平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.
故选：A.(共12张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.6.2.2直线与平面垂直（2）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB208060202ZD（A）
学习目标
理解直线和平面垂直的性质定理，能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
1
1
理解直线到平面的距离的概念，并会求直线到平面的距离．
2
2
1
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
在空间中是否有类似的性质呢？
根据已有经验，我们可以探究直线 与平面α内的直线的关系. 但由定义 与α内的所有直线都垂直. 所以，可以探究 ，α与其他直线或平面的关系.
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.
可以发现，这些直线相互平行.
观察：(1)如图 ,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中，棱 AA', BB', CC', DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
(2)如图,已知直线 和平面α. 如果 ，那么直线 一定平行吗？
不失一般性，我们以(2)为例加以证明.
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线
与c垂直，显然不可能.
反证法: 如图,假设 与 不平行，且 .
显然点O不在直线 上，所以点O与直线 可确定一个平面，
在该平面内过点O作直线 , 则直线 与 是相交于点O的两条不同直线，所以直线 与 可确定平面β.
设 ,则O∈c.因为 ，所以 .
又因为 ,所以 .
因此， .
a
b
c
o
α
β
如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论？
直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行. 直线与平面垂直的性质定理揭示了 “平行”与“垂直”之间的内在联系.
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
在 的条件下，如果平面α外的直线 与直线 垂直，你能得到什么结论？
例5 如图，直线 平行于平面α，求证：直线 上各点到平面α的距离相等.
由A, B是直线 上任取的两点，可知直线 上各点到平面α的距离相等.
证明：过直线 上任意两点A, B分别作平面α的垂线 垂足分别为
∴四边形 是矩形.
设直线 确定的平面为
α
β
A
B
l
A1
B1
在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离.
由例5我们还可以进一步得岀，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
例6 推导棱台的体积公式
其中S', S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.
解：如图, 延长棱台各侧棱交于点P,得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点 O', O,则PO垂直于棱台的上底面（想一想，为什么 ），从而O'O=h.
于是
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V'、高为h',则PO'=h'.
O’
P
O
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以棱台的体积
代入①，得
①
O’
P
O
课堂小结
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直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
求直线到平面的距离以及两个平行平面间的距离，
关键在于做出或者找出其中一点到平面的垂线.
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
