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人教版数学高中必修二
8.5.3平面与平面平行
1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．都可能
2．平面α∥平面β，平面γ∩α＝m，平面γ∩β＝n，则m与n的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上均有可能
3．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
4．下列结论中：
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( )
(1)(2)
(3)(4)
(1)(3)
(2)(4)
5．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：
①α∩β＝m，n α m∥n或者m，n相交；
②α∥β，m α，n β m∥n；
③m∥n，m∥α n∥α；
④α∩β＝m，m∥n n∥β且n∥α.
其中正确命题的序号是( )
①
①④
④
③④
6．如右图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
7．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条
B．6条
C．8条
D．12条
9．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为( )
A．0
B．1
C．2
D .无数
10．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
答案解析：
1． D
解析：过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．
故选：D.
A
解析：∵α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，由平面与平面平行的性质可得m∥n．
故选：A.
3． A
解析：由于平面AC∥平面A′C′，所以EF∥E′F′.
故选：A.
4. C
解析：对于(1)，过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行，正确；对于(2)，当已知直线与平面相交时,不存在平面与已知平面平行，错误；对于(3)，过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；对于(4)，过不在直线上的一点，有无数个平面与已知直线平行，错误.
故选：C.
5． A
解析：①∵m∥n，m⊥α，由线面垂直的性质可得n⊥α，因此正确；
②∵α∥β，可知两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线，因此不一定平行，故不正确；
③∵m∥n，m∥α n∥α或n α，故不正确；
④若α∩β=m，m∥n，则n∥α或n∥β，故④错误．
综上可知：只有①正确．
故选：A.
6． A
解析：∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，
∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分别是A1B1和AB的中点，
∴A1E1∥BE，A1E1=BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，
∴A1E∥BE1，
又A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
故选：A.
7．A
解析：如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB 平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1，B1C1 平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD 平面AC，B1C1 平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理．
故选：A.
8． D
解析：如右图所示，以E为例，易证EH，EM∥平面DBB1D1.
与E处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合题意的直线＝8条．以E为例，易证QE∥平面DBB1D1，与E处于同等地位的点还有H、M、G、F、N、P，故有符合题意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．
故选：D.
9． B
解析：∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法.
故选：B.
10． D
解析：选项A中，α∩β＝a，b α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；
选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；
选项C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；
选项D为面面平行性质定理的符号语言.
故选：D.(共17张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.5.3平面与平面平行
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2080503ZD（A）
学习目标
理解并掌握平面与平面平行的判定定理，能利用判定定理解决有关面面平行问题.
1
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理解并能证明两个平面平行的性质定理，并能利用性质定理解决有关的平行问题.
2
2
类似于研究直线与平面平行的判定，我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义，可以发现，因为两个平行平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.
因为这个定义给出了 两个平面平行的充要条件，所以可以想到，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？
也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.
我们借助长方体模型来说明.
如图，在平面A'ADD'内画一条与A'A平行的直线EF,
显然A'A与EF都平行于平面D'DCC',
探究：如图， 和 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？
但这两条平行直线所在的平面A'ADD'与平面 D'DCC'相交.
E
F
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的.
如图的长方体模型中，平面ABCD内两条相交直线AC, BD分别与平面A'B'C'D'内两条相交直线A'C', B'D'平行.
由直线与平面平行的判定定理可知，
这两条相交直线AC, BD都与平面A'B'C'D'
平行. 此时，平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.
探究：如图, c 和 d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理：
定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. 那么这两个平面平行.
它可以用符号表示为
这个定理告诉我们，
可以由直线与平面平行判定平面与平面平行.
如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，就是应用了这个判定定理.
例4 已知正方体 ,
求证: 平面 //平面
证明：∵ 为正方体
∴四边形 为平行四边形
同理可证
又
∴平面 //平面
A
B
C
C1
B1
D1
A1
D
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.
1
下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论.
如图，借助长方体模型，我们看到，B'D'所在的平面A'C'与平面AC平行，所以B'D'与平面AC没有公共点.
也就是说，B'D'与平面AC内的所有直线没有公共点.
因此，直线 B'D'与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？
我们仍然依据基本事实的推论进行分析：
下面，我们来证明这一结论.
那么过 ， 有且只有一个平面γ
如果 且
于是可以猜想：
两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
这样，我们可以把直线 , 看成是平面γ
与平面α，β的交线.
求证：
证明：∵
∴ 与b无公共点.
∴
如图，平面α//β，平面 γ 分别与平面α、β相交于直线 , .
又 与b同在平面 γ 内
我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理：
定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图, α//β, AB//CD,且 A∈α, C∈α, B∈β, D∈β，求证 AB=CD.
证明：过平行线AB, CD作平面γ 与平面α和β分别相交于AC 和 BD.
∴AB=CD.
∵ α//β
∴ BD//AC
又 AB//CD
∴ 四边形ABDC是平行四边形.
D
B
C
A
α
β
γ
规律总结：
常用的面面平行的其他几个性质：
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条
直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知
平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应
线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么
这两个平面互相平行．
课堂小结
1
1
利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则证明不正确．
2
应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
