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人教版数学高中必修二
8.6.3.2平面与平面垂直（2）
1．设两个平面互相垂直，则( )
A．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
2．点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，则四边形ABCD是( )
A．某圆的内接四边形
B．某圆的外切四边形
C．正方形
D．任意四边形
3．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是( )
A．x、y、z都是直线
B．x、y、z都是平面
C．x、y是平面，z是直线
D．x是直线，y、z是平面
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
①②
②③
①④
③④
5．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l β
B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
6．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
7.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
8．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
9.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
10．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝（ ）
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
答案解析：
1． B
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD，其中A1D 平面AA1D1D，但A1D不垂直平面ABCD，故A不正确．点D在交线AD上，C1D⊥AD，但C1D不垂直平面ABCD，故C不正确．A1D 平面AA1D1D，AC 平面ABCD，但A1D与AC不垂直，故D不正确．
故选：B.
2． B
解析：作PO⊥平面ABCD，∵P到各边距离都相等，
∴O到四边形ABCD四条边的距离相等，
∴四边形应为某圆的外切四边形．
故选：B.
3． D
解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，故B错；一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时，直线可能在平面内，故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
故选：D.
4． C
解析：
①平行关系的传递性．
②举反例：
在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.
③举反例：
如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．
④垂直于同一平面的两直线互相平行．
故①，④正确．
故选：C.
C
解析：l⊥α，α⊥β l∥β或l β，A错；
l∥α，α∥β l∥β或l β，B错；
l⊥α，α∥β l⊥β，C正确；
若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．
故选：C.
6． D
解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
故选：D.
7. A
解析：∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，
∴n⊥α. 又m⊥α，∴m∥n.
故选：A .
8． A
解析：∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，
又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，
∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
故选：A.
9. B
解析：∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′ α，AA′⊥A′B′，
∴AA′⊥β，
∴V＝S△A′BB′·AA′＝×(A′B′×BB′)×AA′＝××2×4×3=4.
故选：B.
10． C
解析：如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD是等边三角形，
∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG 平面PAD，
∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.
在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，
∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.
故选：C.(共13张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.6.3.2平面与平面垂直（2）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB208060302ZD（A）
学习目标
理解平面与平面垂直的性质定理，能应用性质定理证明空间中线面的垂直关系．
1
1
理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
2
2
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
由α丄β，知b丄c.
探究：如图, 设α丄β，α∩β= . 则β内任意一条直线 与 有什么位置关系？相应地， 与α有什么位置关系？为什么？
显然， 与 平行或相交.
当 时， ；
当 与 相交时， 与α也相交.
特别地，当 时，如图, 设 与 的交点为A，过点A在α内作直线c丄 ,则直线 所成的角就是二面角α- -β的平面角.
又因为b丄 ， 和c是α内的两条相交直线，所以 .
a
α
β
b
a
α
β
b
A
c
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
它可以用符号表示为
这个定理定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题. 例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.
我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直. 因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合.
如图, 设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b丄c, 根据平面与平面垂直的性质定理，
b丄β.
探究：设平面α丄平面β, 点P在平面α内，过点P作平面β的垂线 ,直线 与平面α具有什么位置关系？
因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线 与直线b重合，因此
a
α
β
b
c
P
a
α
β
b
c
P
对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.
如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，
你又能得到哪些结论？
下面的例子就是其中的一些结果.
又因为
即直线 与平面α平行.
例9 如图, 已知平面α丄平面β， 直线 丄β，
判断 与α的位置关系.
证明：在α内作垂直于α与β交线的直线
又因为
结论：如果一条直线垂直于两个互相垂直的平面中的一个，则这条直线要么在另一平面，要么与另一平面平行
α
β
b
a
例10 如图, 已知PA丄平面ABC, 平面PAB丄平面PBC,
求证：BC丄平面PAB
分析：要证明BC丄平面PAB, 需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.
由已知条件易得BC丄PA，再利用平面PAB丄平面PBC，过点A作PB的垂线AE,由两个平面垂直的性质可得BC丄AE.
P
A
B
C
P
A
B
C
E
∵ 平面PAB丄平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB,
∴ BC丄平面PAB
例10 如图, 已知PA丄平面ABC, 平面PAB丄平面PBC,
求证：BC丄平面PAB
证明：如图, 过点A作AE⊥PB,垂足为E.
又因为 PA∩AE=A
∴ AE丄平面PBC
∵ BC 平面PBC
∴ AE丄BC
∵ PA丄平面ABC, BC 平面ABC,
∴ PA丄BC
P
A
B
C
E
从本节的讨论可以看到，
由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；
由直线与平面 垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；
而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.
这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
线线垂直
面面垂直
线面垂直
判定
性质
判定
课堂小结
1
1
平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
2
与面面垂直有关的计算问题的类型：
(1)求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．
(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．
(3)求几何体的体积或平面图形的面积．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
