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人教版数学高中必修二
8.6.3.1平面与平面垂直（1）
1．如图所示的二面角可记为( )
A．α－β－l
B．M－l－N
C．l－M－N
D．l－β－α
2．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．大小关系不确定
3．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
5．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
6．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小等于（ ）
A．90°
B．60°
C．30°
D．120°
正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于( )
8．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n α，n β，则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
10．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
答案解析：
B
解析：根据二面角的记法规则可知B正确．
故选：B.
2． C
解析：可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．
故选：C.
3． B
解析：①异面直线所成角，范围是0°≤α≤90°；②直线和平面所成角，范围是0°≤α≤90°；③二面角的平面角，范围是0°≤α≤180°.
故选：B.
4． D
解析：平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC.
故选：D.
5． B
解析：对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的.
故选：B.
6． A
解析：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC.
∴∠BAC是二面角B－PA－C的平面角．
又∠BAC＝90°，
则二面角B－PA－C的平面角是90°.
故选：A.
7. C
解析：设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
tan∠A1OA＝＝.
故选：C.
8． B
解析：①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n α，m α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．
故选：B.
9． C
解析：可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF 平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
故选：C.
10． D
解析：如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，
∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
故选：D.(共16张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第八章 立体几何初步
8.6.3.1平面与平面垂直（1）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB208060301ZD（A）
学习目标
了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小．
1
1
理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题．
2
3
掌握两个平面互相垂直的定义和画法．
2
2
像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义. 那么，该如何定义呢？不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.
在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直. 所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础.
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分） 分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.
棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β.
如果棱记作 ,那么这个二面角记作二面角 或二面角P- -Q.
思考：如图,在日常生活中，我们常说“把门开大一些", 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤90°.
如图,在二面角α- -β的棱 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.
B
β
l
O
A
α
规律总结：
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
作平面角时，一定要注意顶点的选择．
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
如图, 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的 面、棱、平面角及其度数.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
平面α与β垂直，记作α丄β.
类似的结论也可以在长方体中发现.
如图, 在长方体ABCD-A'B 'C'D'中，平面ABB 'A'经过平面ABCD的一条垂线AA',
此时，平面ABB'A'垂直于平面ABCD.
观察：如图, 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,
那么这两个平面垂直.
它可以用符号表示为
这个定理告诉我们，
可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．
通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．
例7 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD丄 平面 ACC'A'.
分析：要证平面A'BD丄平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面 A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可.
这需要利用AC, BD是正方形ABCD的对角线.
证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,
∴ AA'丄平面ABCD,
∴ AA'丄BD,
又因为BD丄AC, AC∩AA'=A
∴ BD丄平面ACC'A',
∴ 平面A'BD丄 平面 ACC'A'
∵ BD 平面A'BD,
A'
D'
C'
B'
B
C
A
D
例8 如图, AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点,求证：平面PAC丄平面PBC.
分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定 理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面. 而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.
在本题中，由题意可知BC丄AC，BC丄PA，AC∩PA=A.
从而BC丄平面PAC，进而平面PAC丄平面PBC.
例8 如图, AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点,求证：平面PAC丄平面PBC.
∴ PA丄BC.
∴ BC丄平面PAC.
∴ ∠BCA=90°, 即 BC丄AC.
∴ 平面PAC丄平面PBC.
又因为BC 平面PBC,
证明：∵ PA丄平面ABC, BC 平面 ABC,
∵ 点C是圆周上不同于A, B的任意一点，AB是圆O的直径，
又因为PA∩AC=A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC,
规律总结：
证明平面与平面垂直的方法
根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.
判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
课堂小结
1
1
二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
2
证明平面与平面垂直的方法:
(1)求二面角的平面角 (“一作二证三求”)
(2)两平面垂直判定定理 (关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．)
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
