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人教版数学高中必修二
9.1.2分层随机抽样
1．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层随机抽样法
2.如果采用分层随机抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为( )
A．
B．
C．
D．
3.对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则( )
A．p1＜p2
B．不确定
C．p2＜p1
D．p1＝p2
4.某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．分层随机抽样法
B．随机数法
C．简单随机抽样
D．抽签法
5.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
6.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A．7
B．15
C．25
D．35
7.某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层随机抽样的方法共抽取10亩进行调查，如果所抽山地的亩数是平地亩数的2倍多1，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为( )
A．45，75
B．40，80
C．36，84
D．30，90
8.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示：
一年级 二年级 三年级
女生 373 380 y
男生 377 370 z
现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )
A．24
B．18
C．16
D．12
9．防疫站对学生进行身体健康调查．红星中学共有学生1600名，采用分层随机抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是( )
A．200
B．760
C．160
D．400
10.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12，24，15，9
B．9，12，12，7
C．8，15，12，5
D．8，16，10，6
答案解析：
1． D
解析：样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样法．
故选：D.
2. C
解析：根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量比，即为
故选：C.
D
解析：根据随机抽样的原理可得简单随查抽样，分层随机抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2.
故选：D.
A
解析：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选：A.
5. B
解析：设在高二年级学生中抽取的人数为x，则＝，解得x＝8.
故选：B.
6. B
解析：由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中的青年职工为7人，得样本容量为15.
故选：B.
7. C
解析：本题考查分层抽样方法．根据条件知所抽山地的亩数为7，所抽平地的亩数为3，则橘子园中山地的亩数为84，平地的亩数为36，故选：C.
8. C
解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋270＝750，于是三年级的学生人数为2000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×＝16.
故选：C.
9． B
解析：
设该校的女生人数是x，则男生人数是1 600－x，抽样比是＝，则x＝(1 600－x)－10，解得x＝760.
故选：B.
10. D
解析：由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8,40×＝16,40×＝10,40×＝6.
故选：D.(共17张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第九章 统计
9.1.2分层随机抽样
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2090102ZD（A）
学习目标
理解分层随机抽样的意义以及相关概念，掌握分层随机抽样的步骤和适用范围.
1
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体会并理解样本平均数和总体平均数之间的关系.
2
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抽样调查最核心的问题是样本的代表性. 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.
例如，在对树人中学高一年级学生身高的调査中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.
这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
问题3 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名, 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
我们知道，影响身高的因素有很多，性别是其中的一个主要因素. 高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.
我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本. 由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.
自然地，为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些.
因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理 的方式，即
思考：712名学生中，男生有326名、女生有386名, 对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配
这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.
当总样本量为50时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为
我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：cm)如下:
男生
173. 0 174. 0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0
172. 0 173. 0 175.0 168.0 170.0 172. 0 176.0 175.0 168.0 173.0
167. 0 170. 0 175.0
女生
163. 0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5
154. 0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0
172. 0 162. 5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6, 160.6.
根据男生、女生 身高的样本平均数以及他们各自的人数，可以估计总体平均数为
即估计树人中学高一年级学生的平均身髙在165.2 cm左右.
上面我们按性别变量，把高一学生划分为男生、女生两个身高差异较小的子总体分别进行抽样. 进而得到总体的估计.
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总 体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样, 每一个子总体称为层.
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.
则第1 层的总体平均数和样本平均数分别为
用 表示第2层各个个体的变量值，
用 表示第2层样本的各个个体的变量值，
我们用 表示第1层各个个体的变量值,
用 表示第1层样本的各个个体的变量值；
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
总体平均数和样本平均数分别为
由于用第1层的样本平均数 可以估计第1层的总体平均数 ，用第2层的样本平均数 可以估计第2层的总体平均数
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数日估计总体平均数 .
因此我们可以用
估计总体平均数 .
在比例分配的分层随机抽样中， 可得
探究：与考察简单随机抽样估计效果类似，小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果. 他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如表所示. 与上一小节“探究"中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现. 你是否也有所发现？
抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
男生样本的平均数 170.0 170.7 169.8 171.7 172.7 171.9 171.6 170.6 172.6 170.9
女生样本的平均数 162.2 160.3 159.7 158.1 161.1 158.4 159.7 160.0 160.6 160.2
总样本的平均数 165.8 165. 1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1
我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图形进行表示（如图），其中红线表示整个年级学生身高的平均数.
从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的 结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样.
但相对而言，分层随机抽样的样 本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了一个（第2个）偏离总体平均数的幅度 比较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.
实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.
在实际抽样调査中，由于实际问题的复杂性，除了要考虑获得的样本的代表性，还要 考虑调查实施中人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样方法组合起来使用.
例如，在分层抽样中，不同的层内除了用简单随机抽样外，还可以用其他的抽样方法，有时层内还需要再进行分层，等等.
课堂小结
1
1
当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层随机抽样．分层时要求每层的各个个体互不交叉，遵循不重复、不遗漏的原则．
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分层随机抽样步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)；
②按抽样比确定每层抽取个体的个数；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
