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人教版数学高中必修二
9.2.1.1总体取值规律的估计（1）
1.频率分布直方图中，各小矩形面积的和等于( )
A．0
B．
C．1
不确定
2.在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中，下列说法正确的是( )
A．总体的容量越大，估计越准确
B．总体的容量越小，估计越准确
C．样本的容量越大，估计越准确
D．样本的容量越小，估计越准确
3.在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组的频率是( )
A．
B．
C．
D．不确定
4．在频率分布表中，下列说法正确的是( )
A．起始点不同，不影响分组数
B．分组数越多，就越能反映总体的情况
C．各组频率之和一定是1
D．不同起始点的频率分布表，各组频率一定不同
已知样本10，8，6，10，8，13，11，10，12，7，8，9，11，9，11，12，9，10，11，12，那么频率为0.2的范围为( )
A．5.5～7.5
B．7.5～9.5
C．9.5～11.5
D．11.5～13.5
6.为了解某小区老年人在一天中锻炼身体的时间，随机调查了50人，根据调查数据，画出了锻炼时间在0～2小时的样本频率分布直方图(如图)．则50人中锻炼身体的时间在区间[0.5，1.5)小时的人数是( )
A．15
B．35
C．20
D．18
7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6
B．8
C．12
D．18
8.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如下图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95，4.25)范围内的学生约有( )人
A．7 500
B．5 000
C．50
D．60
9.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝( )
A．0.01
B．0.02
C．0.015
D．0.03
10.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：千克)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为( )
A．16
B．48
C．24
D．32
答案解析：
C
解析：根据频率分布直方图中纵横坐标的意义，易得长方形的面积为长乘宽，即组距×频率/组距=频率，而所有频率和为1可知频率分布直方图中各小长方体的面积和为1．
故选：C.
2. C
解析：根据样本的频率分布可知，样本的频率分布反映的是总体中部分个体的频率分布，只有当样本的容量越大时，估计才越准确．
故选：C.
3. A
解析：该组的频率是＝.
故选：A.
C
解析：对于A，起始点不同，影响分组数，故错误；
对于B，频率分布表中，要适当分组，分组太多太少都不好，故错误；
对于C，各组频率之和一定是1，故正确；
对于D，不同起始点的频率分布表，各组频率可能相同，故错误.
故选：C.
5. D
解析：列频率分布表如下：
分组 频数累计 频数 频率
5.5～7.5 2 0.1
7.5～9.5 正 6 0.3
9.5～11.5 8 0.4
11.5～13.5 4 0.2
合计 20 1
由上表得频率为0.2的范围为11.5～13.5.
故选：D.
6. B
解析：锻练时间在[0.5,1.5)小时的频率为(0.8＋0.6)×0.5＝0.7，频数为：50×0.7＝35(人).
故选：B.
7. C
解析：设第一二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.4，第三组吸疗效的为x人，由已知得＝，解得x＝12.
故选：C.
8. A
解析：由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 000×0.125＝7 500(人).
故选：A.
9. D
解析：因为直方图中各个矩形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.
故选：D.
10. B
解析：报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，
所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝，所以n＝48.
故选：D.(共23张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第九章 统计
9.2.1.1总体取值规律的估计（1）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB209020101ZD（A）
学习目标
掌握频率分布表和频率分布直方图的制作步骤，会用频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.
1
1
理解用样本观测数据的频率分布估计总体取值规律.
2
2
面对一个统计问题，在随机抽样获得观测数据的基础上，需要根据数据分析的需要，选择适当的统计图表描述和表示数据，获得样本的规律，并利用样本的规律估计总体的规律，解决相应的实际问题.
请看下面的问题.
每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水. 为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户 中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况.
问题1 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准 ，用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费. 如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？
如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调査获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例.
由于全市居民用户很多,通常采用抽样调査的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况.
在这个问题中，总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民用户，调査的变量是居民用户的月均用水量.
假设通过简单随机抽样，获得了 100户居民用户的月均用水量数据（单位：t)：
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5. 3 7.8 8. 1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
从这组数据我们能发现什么信息呢？
如果将这组数据从小到大排序，容易发现，这组数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t至28.0t之间，为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析.
为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据 进行整理，或者用图将数据直观表示出来. 在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据, 由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.
在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同 范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.
与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.
1. 求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差.
样本观测数据的最小值是1.3t，最大值是28.0 t,
极差为28.0-1.3=26.7,
这说明样本观测数据的变化范围是26.7 t.
合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义.
组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程.
2. 决定组距与组数
数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多. 当样本容量不超过100时，常分成 5 12组. 为方便起见，一般取等长组距，并且组距力求 “取整”.
分组时可以先确定组距，也可以先确定组数.
如果我们取所有组距为3，则
即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的.
由于组距为3, 9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值.
3. 将数据分组
例如，可以取区间为[1.2, 28.2]，按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组：
[1.2, 4.2), [4.2, 7.2),…，[25.2, 28.2].
计算各小组的频率，例如第一小组的频率是
4. 列频率分布表
作出频率分布表：
分组 频数累计 频数 频率
[1.2, 4. 2) 正正正正正 23 0. 23
[4.2, 7. 2) 正正正正正正T 32 0. 32
[7.2, 10. 2) 正正正 13 0.13
[10.2, 13.2) 正正 9 0. 09
[13. 2. 16.2) 正正 9 0. 09
[16.2, 19. 2) 正 5 0. 05
L19.2, 22.2) 正 3 0. 03
[22.2. 25. 2) 正 4 0. 04
[25.2, 28.2] T 2 0. 02
合计 100 1.00
5. 画频率分布直方图
在图中，横轴表示月均用水量，纵轴表示
这里， 实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.
根据频率分布表可以得到如图所示的频率分布直方图.
因为
所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.
这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
容易知道，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1, 即样本数据落在整个区间的频率为1.
从频率分布表可以清楚地看出，样本观测数据落在各个小组的比例大小. 例如，月均用水量在区间［4.2, 7.2）内的居民用户最多，在区间［1.2, 4.2)内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小，等等.
观察：观察频率分布表和频率分布直方图,你觉得这组数据中蕴含了哪些有用的信息？你能从图表中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律？你能给出适当的语言描述吗？
从频率分布直方图容易看出，居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”.
有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律. 根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域.
这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2, 7.2）最为集中，少数居民用户的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势.
这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，
以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，
又能节水的目的.
需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解.
探究：分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图(如图). 观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响
从图中可以看出，同一组数据，组数不同，得到的直方图形状也不尽相同.
（2）“组数为27”
图 (1)中直方图的组数少、组距大，从图中容易看岀，数据分布的整体规律是随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低，而且月均用水量在区间［1.2, 10.2)内的居民用户数的频率，远大于在另两个区间［10.2, 19. 2)和［19.2, 28. 2］内的频率，这说明大部分居民用户的月均用水量都少于10. 2 t.
频率/组距
月均用水量/t
1.2
10.2
19.2
28.2
0
0.01
0.02
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
（1）“组数为3”
图 (2)中直方图的组数多、组距小，从图中可以看出，数据主要集中在低值区，尤其在区间［5.2, 6. 2)内最为集中.
从总体上看，随着月均用水量的增加，居民用户数的频率呈现下降趋势，但存在个别区间频率变大或者缺失的现象.
（2）“组数为27”
0
频率/组距
月均用水量/t
0.02
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2 10.2 11.2 12.2 13.2 14.2 15.2 16.2 17.2 18.2 19.2 20.2 21.2 22.2 23.2 24.2 25.2 26.2 27.2 28.2
从上述分析可见，当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点.
这里我们再次指出，对于同一组数据，因为组距、组数不同而得到不同形状的直方图，会给人以不同的频率分布印象，这种印象有时会影响人们对总体的判断.
因此，我们要注意积累数据分组、合理使用图表的经验.
频率分布直方图绘制步骤：
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有具体的标准，一般来说，数据分组的组数与样本容量有关，样本容量越大，所分组数越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分为5～12组．
③将数据分组．
④列出频率分布表．
⑤画出频率分布直方图．其中横轴表示数据，纵轴表示频率与组距的比．
课堂小结
1
1
频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示相应组的频率，所有小矩形的面积的总和等于1.
2
频率分布直方图的特征：直观、形象地反映了样本的分布规律；可以大致估计出总体的分布．但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容.
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
