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人教版数学高中必修二
9.2.4总体离散程度的估计
1．下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
2．下列不能刻画一组数据离散程度的是( )
A．极差
B．方差
C．中位数
D．标准差
3.甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( )
A．因为他们平均分相等，所以学一样
B．成绩平均分虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度端正
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的成绩稳定
D．平均分相等，方差不等，说明学习不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低
4.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92, 2
B．92, 2.8
C．93, 2
D．93, 2.8
5.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86， 86，88,，88，88，88，若样本B数据恰好是样本A都加上2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
6.已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy＝( )
A．98
B．96
C．76
D．88
7.抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分以及得分的方差分别是（ ）
A．2.2 0.96
B．2.2 0.94
C．2 0.96
D．2 0.94
8.由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为（ ）(从小到大排列)
A．1，2，3，3
B．1，2，3，4
C．1，1，3，3
D．1，1，2，2
9.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．该班男生成绩的极差小于该班女生成绩的极差
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
10.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )
①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；
④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A.①②
B.③④
C.③④⑤
D.④⑤
答案解析：
B
解析：极差、方差、标准差等都可以刻画一组数据离散程度.
故选：B.
C
解析：由于方差、标准差、极差都能反映数据的波动大小，而中位数是一组数据按大小排序后最中间一个数（或中间两个数的平均数）．
故选：C.
C
解析：判断两组数据的关系时，在平均分相同或相近的情况下比较方差，方差越大，成绩越不稳定；方差越小，成绩越稳定，根据这种原理得到结果．在平均分相同或相近的情况下比较方差，方差越大，成绩越不稳定，方差越小，成绩越稳定．
因此A、B、D均不正确，C正确．
故选：C.
4. B
解析：去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，所以＝＝＝92，
s2＝＝＝2.8.
故选：B.
5. D
解析：B样本数据恰好是A样本数据加上2后所得的众数、中位数、平均数比原来的都多2，而标准差不变．
故选：D.
6. B
解析：本题考查样本平均数与方差的计算公式，由平均数与方差的公式可得，
化简得，解得或，
所以xy＝96，
故选：B.
7. A
解析：总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是＝2.2，方差s2＝[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]＝0.96.
故选：A.
8. C
解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，
得：x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8 x1＋x4＝4
s2＝1 (x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4
①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x1－2|＝1；得：这组数据为1,1,3,3.
故选：C.
9. C
解析：若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出该班男生成绩的极差小于该班女生成绩的极差，所以B错；这五名男生成绩的平均数
1＝＝90，
这五名女生成绩的平均数2＝＝91，
故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错．
故选：C.
10. D
解析：本题考查平均数、标准差、极差、众数的统计意义．假设连续7天新增病例数为0，3，3，3，3，3，6，易知满足平均数x≤3且标准差x≤2，但是不符合指标，所以①②③错误．若极差等于0或1，在平均数x≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2，则极小值与极大值的组合可能有：(1)0，2；(2)1，3；(3)2，4；(4)3，5；(5)4，6.在平均数x≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，且显然符合指标，所以④正确．又易知⑤正确.
故选：D.(共21张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第九章 统计
9.2.4总体离散程度的估计
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2090204ZD（A）
学习目标
掌握刻画数据离散程度的方法.
1
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理解方差与标准差的概念，掌握方差与标准差的算法.
2
2
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.
但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.
问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作岀评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.
从这个角度看，两名运动员之间没有差别.
但从上图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.
可见，他们的射击成绩是存在差异的.
那么，如何度量成绩的这种差异呢？
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.
根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6,
乙命中环数的极差= 9-5=4.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.
极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.
但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.
因此， 我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离"来度量成绩的波动幅度.
思考：如何定义“平均距离"
我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离"，即
假设一组数据是 用 表示这组数据的平均数.
作为 到 的“距离”.
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即
因此，可以得到这组数据 到 的“平均距
离”为
有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据 不一致. 为了使二者单位一致，我们对方差开平方，
取它的算术平方根，即
我们称 为这组数据的方差.
我们称 为这组数据的标准差.
与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.
如果总体中所有个体的变量值分别为
总体平均数为 ,则称
为总体方差， 为总体标准差.
如果总体的N个变量值中, 不同的值共有 个，不妨记为 其中 出现的频数为
则总体方差为
如果一个样本中个体的变量值分别为
样本平均数为 ，则称
为样本方差， 为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，
数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
注意：
就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.
在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
注意：求方差和标准差通常首先需要求平均数.
在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，
甲的成绩：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙的成绩：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
计算可得
由 可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小. 由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置. 如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.
例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，釆用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解：把男生样本记为 其平均数记为 ，方差记为 ；把女生样本记为 其平均数记为 ，方差记为 ；把总样本数据的平均数记为 ，方差记为 .
根据方差的定义，总样本方差为
由 可得
同理可得
因此，
则有
由 可得
同理可得
由 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
已知
可得
我们可以计算出总样本的方差为51.4862, 并据此估计高一年级学生身高的总体方差为 51.4862.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，
平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.
把这些数据在图中标出来
例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数 =8.79,样本标准差 ≈6.20.
如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间 [ ]=[2.59, 14.99]内，
在区间[ ]=[-3.61, 21.19]外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在[ ]内.
频率/组距
月均用水量/t
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
课堂小结
2
1
1
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!
