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人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.1.2事件的关系和运算
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB100102ZD（A）
学习目标
理解、掌握事件间的包含关系和相等关系.
1
1
掌握事件的交、并运算，理解互斥事件和对立事件的概念及关系．
2
2
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.
这些事件有的简单，有的复杂. 我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件, 从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法. 下面我们按照这一思路展开研究.
探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
= “点数为 "； = l, 2, 3, 4, 5, 6；
=“点数不大于3"； = "点数大于3"；
=“点数为1或2"； = “点数为2或3"；
= “点数为偶数"； = “点数为奇数"；
你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件. 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
1.用集合的形式表示事件 =”点数为1”和事件G= "点数为奇数”,它们分别是 = {1}和G={1, 3, 5}.
显然，如果事件 发生，那么事件G一定发生. 事件之间的 这种关系用集合的形式表示，就是{1} {1, 3, 5},即 . 这时我们说事件G包含事件 .
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件 B包含事件A （或事件A包含于事件B）,记作B A (或A B).可以用图表示.
A
B
Ω
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B,
即 则称事件A与事件B相等，记作A=B.
2. 用集合的形式表示事件 =“点数不大于3”、事件
“点数为1或2”和事件 = “点数为2或3”,它们分别是 ={1, 2, 3}, ={1, 2}和 ={2, 3}.
可以发现，事件 和事件 至少有一个发生，相当于事件 发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}∪{2,3} = {1, 2, 3）,即 ，这时我们称事件 为事件 和事件 并事件.
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件 中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作AUB
（或A + B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
A
B
Ω
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样 本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B (或AB).
3.事件 “点数为2”可以用集合的形式表示为 = {2}.
可以发现，事件 “点数为1或2”和事件 =“点数为2或3”同时发生，相当于事件 发生, 事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1, 2}∩{2, 3} = {2}, 即
我们称事件 为事件 和 的交事件.
可以用图中的蓝色区域表示这个交事件.
A
B
Ω
可以用图表示这两个事件互斥.
4.用集合的形式表示事件 = “点数为3”和事件 = "点数为4”，它们分别是 = {3}, = {4}.
显然，事件 与事件 不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是 即
这时我们称事件 与事件 互斥.
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B = ,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）.
A
B
Ω
5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G = “点数为奇数”，它们分别是F = {2, 4, 6}, G={1, 3, 5}.
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一. 事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为{2, 4, 6}U{1,3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6},即 FUG=Ω, 且{2, 4, 6}∩{1, 3, 5}= ,即 F∩G =
此时我们称事件F与事件G互为对立事件.
事件 与 也有这种关系.
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生，即AUB=Ω，且A∩B= ，
那么称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记为 ，可以用图表示.
A
A
Ω
综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下:
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如，对于三个事件A, B, C , AUBUC(或A+B+C)发生
当且仅当A, B, C中至少一个发生，A∩B∩C (或 ABC)发生当且仅当A, B, C同时发生，等等.
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件（和事件） A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B 或 AB
互斥（互不相容） A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= , AUB=Ω
解：(1)用 分别表示甲、乙两个元件的状态，
则可以用( )表示这个并联电路的状态.
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路, 每个元件可能正常或失效. 设事件A=”甲元件正常”，
B =”乙元件正常”
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组（ ）表示样本点. 这样，确定事件A, B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.
以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0, 0),(0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
甲
乙
(3)
解：(2)根据题意，可得
例5 设事件A=”甲元件正常”，B =”乙元件正常”
(2)用集合的形式表示事件A, B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件AUB和事件 ,
并说明它们的含义及关系.
A∪B 表示电路工作正常， 表示电路工作不正常；AUB和 互为对立事件.
甲
乙
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2), 2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
设事件 “第一次摸到红球”， "第二次摸到红球”， R=“两次都摸到红球”, G= “两次都摸到绿球”,
M= “两个球颜色相同”，N= “两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与 ,R与G, M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
事件 与事件 的交事件与事件R有什么关系？
事件 = “第二次摸到红球”，即 = 1或2,于是
解：(1)所有的试验结果如图所示. 用数组( )表示可能的结果， 是第一次摸到的球的标号， 是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
事件 =“第一次摸到红球”，
即 =1或2,于是
同理，有
1
2
2
1
3
1
4
1
1
3
2
3
3
2
4
2
1
4
2
4
3
4
4
3
例6 事件 “第一次摸到红球”， "第二次摸到红球”， R=“两次都摸到红球”, G= “两次都摸到绿球”,
M= “两个球颜色相同”，N= “两个球颜色不同”.
(2)事件R与 ,R与G, M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
事件 与事件 的交事件与事件R有什么关系？
解：(2)因为 ,所以事件 包含事件R;
因为R∩G= ,所以事件R与事件G互斥；
因为MUN=Ω, M∩N= ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为RUG=M, 所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为 ，所以事件R是事件 与事件 的交事件.
课堂小结
1
1
判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．
2
判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.1.2事件的关系和运算
1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A．M N
B．M N
C．M＝N
D．M2.抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝（ ）
A．向上的点数是1
B．向上的点数是3
C．向上的点数是4
D．向上的点数是1或3或4
在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是（ ）
A．3件都是二级品
B．至少有一件是二级品
C．3件都不是一级品
D.至少有一件是一级品
4.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
5.某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．两次都中靶
B．至少有一次不中靶
C．两次都不中靶
D．至多有一次不中靶
6.从装有数十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
7.已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．B与C互斥
B．A、B、C任意两个事件均互斥
C．A与C互斥
D．A、B、C任意两个事件均不互斥
一个射击手进行一次射击．
事件A：命中的环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中的环数小于6环；
事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环．
上述事件A与C是（ ）事件
互斥
既不互斥也不对立
对立
不确定
9.在第8题中上述事件C与D是（ ）事件
A.互斥
B．既不互斥也不对立
C．对立
D．不确定
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列说法正确的是（ ）
①A与C是互斥事件；
②B与E是对立事件．
③B与D不是互斥事件．
④B与C是互斥事件.
⑤C与E不是互斥事件.
②③④
①②③
②③
②③⑤
答案解析：
1． A
解析：事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有M N.
故选：A.
2. D
解析：P∪Q＝{向上的点数是1或3或4}.
故选：D.
3. B
解析：“3件都是一级品”的对立事件是“3件不都是一级品”即至少有一件是二级品.
故选：B.
4. B
解析：对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．
故选：B.
5. C
解析：事件“至少有一次中靶”的互斥事件是两次都不中靶，两事件没有交集.
故选：C.
6. B
解析：对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
故选：B.
7. C
解析：本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件.
故选：C.
8. A
解析：是互斥事件，但不是对立事件．
理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1、2、3、4、5、8、9、10环}≠I(I为全集)．
故选：A.
9. C
解析：是对立事件．
理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环不可能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10环}＝I(I为全集)．
故选：C.
10. D
解析：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
故选：D.
