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人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.1.1有限样本空间与随机事件
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2100101ZD（A）
学习目标
理解样本空间、随机实验和有限样本空间的概念.
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理解必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件的概念，能对事件进行分类.
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在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.
本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.
1
研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.
例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；
在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
从一批发芽的水稻种子中随机选取一 些，观察分蘖数；
记录某地区7月份的降雨量；等等.
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母 E 表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
思考：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0, 1, 2,…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
观察球的号码，共有10种可能结果.
用数字 m 表示“摇出的球的号码为m”这一结果，
那么所有可能结果可用集合表示为
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点， 全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.
一般地，我们用Ω表示样本空间，用 表示样本点.
在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况.
如果一个随机试验有n个可能结果
则称样本空间 为有限样本空间
例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，
写出试验的样本空间.
解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}.如果用h表示“正面朝上"，t 表示"反面朝上”，
则样本空间Ω={h，t}.
例2 抛掷一枚骰子(touzi), 观察它落地时朝上的面的点数， 写出试验的样本空间.
解：用 i 表示朝上面的“点数为i ”.
因为落地时朝上面的点数有1, 2, 3, 4, 5, 6 共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，
写出试验的样本空间.
解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用 x 表示，
第二枚硬币可能的基本结果用 y 表示，那么试验的样本点可用(x, y)表示. 于是，试验的样本空间
Ω= {(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，
(反面，反面)}
如果我们用1表示硬币“正面朝上"，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为
Ω={(1, 1), (1, 0), (0,1), (0, 0)}.
例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，
写出试验的样本空间.
如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
第一枚 第二枚
思考：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数"是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”
都是随机事件.
我们用A表示随机事件"球的号码为奇数"，则A发生，当且仅当摇出的号码为1, 3, 5, 7, 9之一, 即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1, 3, 5, 7, 9}. 因此可以用样本空间Ω= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}的子集{1, 3, 5, 7, 9)表示随机事件A. 类似地, 可以用样本空间的子集{0, 3, 6, 9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.
在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,
简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
随机事件一般用大写字母 A, B, C,…表示.
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称Ω为必然事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性. (是确定事件)
为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形. 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
而空集不包含任何样本点，在每次Ω试验中都不 会发生，我们称空集为不可能事件.
例4 如图, 一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写岀试验的样本空间；
进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
解：(1)分别用 表示元件A, B和C的可能状态, 则这个电路的工作状态可用( )表示.
Ω={(0，0，0),(1，0，0),(0，1，0),(0，0，1),(1，1，0),
(1，0，1),(0，1，1),(1，1，1),}
B
C
例4 如图, 一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写岀试验的样本空间；
如图,还可以借助树状图帮助我们列岀试验的所有可能结果.
B
C
0
1
0
1
0
1
0
1
000
001
0
1
010
011
0
1
100
101
0
1
110
111
(2)用集合表示下列事件：
M= “恰好两个元件正常”；
N= “电路是通路”；
T= “电路是断路”.
解：(2) “恰好两个元件正常”等价于( )∈Ω,且 中恰有两个为1， 所以
“电路是通路”等价于( )∈Ω, = 1,且 中至少有一个是1,所以
同理，“电路是断路”等价于( )∈Ω, =0,
或 =1， =0. 所以
B
C
课堂小结
1
1
判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2
如何不重不漏地列举试验的所有可能结果？
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树形图、列表等方法解决．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.1.1有限样本空间与随机事件
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．2014年世界杯足球赛期间不下雨
B．没有水，种子发芽
C．对任意x∈R，有x＋1>2x
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
2．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
3．下面的事件：①在标准大气压下，水加热90℃时会沸腾；②从标有1、2、3的小球中任取一球，得2号球；③a>1，则y＝ax是增函数，是必然事件的有( )
A．③
B．①
C．①③
D．②③
4．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为( )
①②
③④
①④
②③
5.指出下列事件不是随机事件的是（ ）
A. 函数f(x)=x2-2x+3的图象关于直线x＝1对称；
B. 某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
C. 直线y＝kx＋6是定义在R上的增函数；
D. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a、b同号．
6.指出下列事件中是不可能事件的是（ ）
A. 小张同学在公交车站等车，10分钟后公交车到达．
B. 宋代诗人叶绍翁《游园不值》：应怜屐齿印苍苔，小扣柴扉久不开．
C. 若x∈R，则＝x.
D. 同等体积的纯铁块和纯铜块质量相同．
7．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有一个是正品
C．3个都是次品
D．至少有一个是次品
观察某人射击两次的中靶情况，试验的可能结果有（ ）种
A．4
B．3
C．2
D．1
9.观察一天中，从北京站开往合肥站的3列列车，是否正点到达的情况；“只有2列列车正点”的情况有（ ）种
A．1
B．2
C．3
D．4
10．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，事件A对应的结果有（ ）种情况
A．2
B．3
C．4
D．8
答案解析：
1． B
解析：选项A，C，D均是随机事件，选项B是不可能事件，也是确定事件．
故选：B.
2． C
解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
故选：C.
3． A
解析：①为不可能事件，②为随机事件，③为必然事件
故选：A.
4． D
解析：①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
故选：D.
5. A
解析：必然事件有A；随机事件有B，C，D．对于D，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab＞0，另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
故选：A.
6. D
解析：小张在等公交车时，所等待的时间可能少于10分钟，也可能多于10分钟，也可能正好等于10分钟，所以事件“小张同学在公交车站等车，10分钟后公交车到达”可能发生，也可能不发生，即A为随机事件；B，C为随机事件；D是不可能事件．
故选：D.
7． B
解析：A、B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
故选：B.
8. A
解析：射击一次，就是一次试验，共有2次试验．试验的结果有“两次中靶”“第一次中靶，第二次中靶”“第一次未中靶，第二次中靶”“两次都未中靶”，共4种．
故选：A.
9. C
解析：一列列车开出，就是一次试验，共有3次试验．试验的结果有“只有1列列车正点”有3种，“只有2列列车正点”有3种，“全部正点”有1种，“全部晚点”有1种，共8种．
故选：C.
10． B
解析：试验所有结果：a1，a2；a1，b1；a2，b1；a2，a1；b1，a1；b1，a2.共6种．
事件A对应的结果为：a1，b1；a2，b1；b1，a1；b1，a2.
故选：B.