(共26张PPT)
人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.1.3古典概型
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2100103ZD（A）
学习目标
理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型．
1
1
会求古典概型的概率．
2
2
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计. 但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.
能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的 概率呢？
思考：在10. 1. 1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.
它们的共同特征有哪些？
考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性. 可以发现，它们具有如下共同特征；
下面我们就来研究古典概型.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，
其数学模型称为古典概率模型 ，简称古典概型.
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生. 采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=”抽到男生 ”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，
事件B= ”恰好一次正面朝上“
对于问题(1),班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量. 显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点, 而事件A= “抽到男生”包含18个样本点.因此，事件A发生的可能性大小为
思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生. 采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=”抽到男生”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，
事件B= ”恰好一次正面朝上“
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
对于问题(2)，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间
思考：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生. 采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=”抽到男生”;
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，
事件B= ”恰好一次正面朝上“
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中 所占的比例大小.
因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量. 因为B={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},所以事件B发生的可能性大小为
一般地, 设试验E是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件A的概率
其中， 和 分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A, B, C, D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考査的内容，他可以选择唯一正确的答案. 假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A, B, C, D}.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.
设M= “选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M) =1.
所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
思考：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A, B, C, D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）. 你认为单选题和多选题哪种更难选对？
为什么？
而多选题试验的样本空间可以表示为Ω={A, B, C, D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}.
单选题考生随机选择一个答案，答对的概率
因为正确答案是唯一的，所以
例8 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），
观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解：抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I 号骰子的每一个结果都可与 II 号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字 m 表示 I 号骰子出现的点数是m,
数字 n 表示 II 号骰子出现的点数是 n, 则数组（m, n）表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
其中共有36个样本点.
例8 (2)求下列事件的概率：A= “两个点数之和是5”;
B = “两个点数相等”;
C= “ I 号骰子的点数大于 II 号骰子的点数”.
解：(2)因为A={(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}，所以n(A)=4，
从而
因为B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}，所以n(B)=6，从而
因为C={(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (3, 2),(4, 2), (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (5, 4), (6, 4), (6, 5)}，所以n(C)=15，从而
思考：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样,(1, 2)和(2, 1)的结果将无法区别.
其中，事件A= “两个点数之和是5”的结果变为 A={(1, 4), (2, 3)}，这时P(A)=
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间
则
思考
同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1, 1)和(1, 2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，
因此P(A)= 是错误的.
归纳
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表 示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、
3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1) A =“第一次摸到红球”；
(2) B = "第二次摸到红球”；
(3) AB =“两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1, 2，三个黄球编号为3, 4, 5. 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示出来.
(1) 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1, 2行)，即
所以
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 X (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
2 (2, 1) X (2, 3) (2, 4) (2, 5)
3 (3, 1) (3, 2) X (3, 4) (3, 5)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X (4, 5)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) X
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1、2列). 即
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 X (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
2 (2, 1) X (2, 3) (2, 4) (2, 5)
3 (3, 1) (3, 2) X (3, 4) (3, 5)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X (4, 5)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) X
所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB ={(1, 2),(2, 1)}，所以
所以
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 X (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
2 (2, 1) X (2, 3) (2, 4) (2, 5)
3 (3, 1) (3, 2) X (3, 4) (3, 5)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) X (4, 5)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) X
例10 从两名男生(记为 和 )、两名女生(记为 和 )中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的 样本空间.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
(1)根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
解：设第一次抽取的人记为 ，第二次抽取的人记为了 ，则可用数组( ) 表示样本点.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
不放回简单随机抽样的样本空间
例10 从两名男生(记为 和 )、两名女生(记为 和 )中任意抽取两人.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
对于有放回简单随机抽样，
解：(2)设事件A= “抽到两名男生”，则
因为抽中样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，
所以这是一个古典概型. 因此
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，
对于不放回简单随机抽样，
因为抽中样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，
所以这是一个古典概型. 因此
所以A= ，因此P(A)=0.
例10表明，同一个事件A = "抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
课堂小结
1
1
如果一次试验中可能出现的结果有n(n为确定的数)个，而且所有结果出现的可能性相等，这就是古典概型，并且每一个基本事件的概率都是 .
2
解决古典概型问题的最基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，要更加注意采用合适的方法（列表法、树形图法等），按照一定的规律来列举，以做到不重不漏．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.1.3古典概型
1．下列试验中，是古典概型的有( )
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四位同学用抽签法选一人参加会议
D．运动员投篮，观察是否投中
2．下列试验中，是古典概型的为( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1、2、3、4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
3．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(女，女)
D．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
4．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A．
B．
C．
D．
5．袋子中有大小相同的四个小球，分别涂以红、白、黑、黄颜色．
从中任取1球，取出白球的概率为（ ）
6．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2015年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是( )
A．
B．
C．
D．
7．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是( )
A．
B．
C．
D．
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A．
B．
C．
D．
9．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A．
B．
C．
D．
10．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m、n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A．
B．
C．
D．
答案解析：
1． C
解析：A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不等，所以D不是古典概型．
故选：C.
2． C
解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性.
故选：C.
3． D
解析：两个孩子有先后出生之分．
故选：D.
4． B
解析：从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1，2}、{1，3}、{1，4}、{2，3}、{2，4}、{3，4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝.
故选：B.
5． C
解析：任取一球有4种等可能结果，而取出的是白球只有一个结果，∴P＝.
故选：C.
6． A
解析：事件可能的结果有四个，“济南被选入”的结果有3个，所以“济南被选入”的概率为P＝.
故选：A.
7． B
解析：若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，设中心为G，四个顶点为A，B，C，D，基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，…，(D，G)，共10个，所求事件包含的基本事件有：(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4个，所求概率为＝.
故选：B.
8． C
解析：从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10种等可能发生的结果，其中金克木、木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.
故选：C.
9． C
解析：从A，B中各任意取一个数记为(x，y)，则有(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)、(3,1)，共2个基本事件．又从A，B中各任意取一个数的可能性相同，故所求的概率为＝.
故选：C.
D
解析：由题意知(m，n)的取值情况有(1，1)，(1，2)，…，(1，6)；(2，1)，(2，2)，…，(2，6)；…；(6，1)，(6，2)，…，(6，6)．共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3种情况，故所求概率为＝.
故选：D.
