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人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.2事件的相互独立性
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2100201ZD（A）
学习目标
了解两个事件相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能利用公式解决简单的问题．
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通过本节的学习，体会相互独立事件的概率在实际生活中的应用．
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前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法. 对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A, B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B,你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=第一枚硬币正面朝上，B=第二枚硬币反面朝上
试验2：—个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=第一次摸到球的标号小于 3，B=第二次摸到球的标号小于3.
分别计算P(A), P(B) ,P(AB),你有什么发现？
显然，对于试验1, 因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2, 因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
探究：
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=第一枚硬币正面朝上，B=第二枚硬币反面朝上
分别计算P(A)， P(B) ，P(AB)你有什么发现？
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”则样本空间为Ω={(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)},包含 4 个等可能的样本点.
而 A ={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，所以AB={(1, 0)}.
于是 P(AB)=P(A)P(B) .
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
由古典概型概率计算公式，得 P(A)=P(B)= , P(AB)= .
试验2：—个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=第一次摸到球的标号小于 3，B=第二次摸到球的标号小于3.
分别计算P(A), P(B) ,P(AB)你有什么发现？
在试验2中，样本空间Ω= {(m,n) | m,n∈{1, 2, 3, 4}}, 而
A={(1,1) ,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}
B={(1,1) ,(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
AB={(1,1) ,(1,2),(2,1),(2,2)}
得 P(A)=P(B)= , P(AB)= .
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
于是也有 P(AB)=P(A)P(B) .
从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：
由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. 这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.
当然，它们也不影响其他事件是否发生.
对任意两个事件A与B ,如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，
则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证
A与 , 与B , 与 是否独立，你有什么发现？
对于A与 ,因为 而且AB与 互斥，所以
所以
由事件的独立性定义，A与 相互独立.
类似地，可以证明事件 与B , 与 也都相互独立.
例1 一个袋子中有标号分别为1,2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=第一次摸出球的标号小于3，事件B=第二次摸出球的标号小于3，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：因为样本空间Ω= {(m,n) | m,n∈{1, 2, 3, 4} 且m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
此时P(AB)≠P(A)P(B) ,因此，事件A与事件B不独立.
所以P(A)=P(B)= , P(AB)= .
AB={(1,2),(2,1)}
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为 0.9, 求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9 =0.72.
由已知可得P(A)=0.8, P(B)=0.9, P( )=0.2, P( )=0.1.
分析：设A=甲中靶，B=乙中靶. 从要求的概率可知，需要先分别求A, B的对立事件 的概率，并利用
构建相应的事件.
解：设A=甲中靶，B=乙中靶，则 =甲脱靶， =乙脱靶,
由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与 , 与B, 与 都相互独立.
(1)AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为 0.9, 求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
由已知可得P(A)=0.8, P(B)=0.9, P( )=0.2, P( )=0.1.
解：
(2)“恰好有一人中靶”= ,且 与 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
(3)事件“两人都脱靶”= ,所以
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为 0.9, 求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
由已知可得P(A)=0.8, P(B)=0.9, P( )=0.2, P( )=0.1.
解：
(4)方法1: 事件“至少有一人中靶”= ,
且 两两互斥，所以
方法2: 由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个"的和事件发生.
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动. 每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ,在每轮活动中，甲和乙猜对与否互 不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是
解：设 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， 用 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.
根据独立性假定，得
设A=两轮活动'星队'猜对3个成语，则
且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，所以
方法规律总结
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
(1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步骤：
①判定各事件是否相互独立；
②求每个事件发生的概率；
③求相互独立事件同时发生的概率．
课堂小结
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相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
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判定相互独立事件的方法
(1)用定义． (2)用性质．
(3)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.2事件的相互独立性
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )
A．0.56
B．0.48
C．0.75
D．0.6
2.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9
B．0.2
C．0.7
D．0.5
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
5．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为( )
A．p＋q－pq
B．p＋q－2pq
C．p＋q
D．Pq
6．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球中恰好有1个白球
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝( )
A．0.45
B．0.65
C．0.75
D．0.5
8．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．
B．
C．
D．
9．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为( )
A.
B.
C.
D.
10．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )
A.
B.
C.
D.
答案解析：
A
解析：由题意知，射击一次，甲中靶的概率是0.8，乙中靶的概率是0.7，故两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是0.8×0.7=0.56．
故选：A.
2. D
解析：设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为
P(A＋B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
故选：D.
3． C
解析：由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝.
故选：C.
4． A
解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示；“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
故选：A.
5． B
解析：恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq.
故选：B.
6． C
解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝.
故选：C.
7． B
解析：∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
故选：B.
8． B
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
故选：B.
9． D
解析：甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝.
乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
故选：D.
10． A
解析：本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．设加工出来的零件为次品为事件A，则 为加工出来的零件为正品．P(A)＝1－P()＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
故选：A.
