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人教版高中数学必修第2册
第十章 概率
10.3.1频率的稳定性
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2111010302RB2100301ZD（A）
学习目标
掌握概率和频率的定义以及它们的区别与联系.
1
1
会用频率来估计概率．
2
2
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.
在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率. 那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，
设事件A=“一个正面朝上，一 个反面朝上"，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.
你发现了什么规律？
把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0,
则这个试验的样本空间Ω={(1, 1), (1, 0),(0, 1), (0, 0) },
A ={(1, 0), (0, 1)}, 所以 P(A) =
下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加， 事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.
第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；
第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表中.
第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1 100
2 100
3 100
…
思考：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率.
(1)各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
(2)随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20, 100, 500时各做5组试验，得到事件A = “一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数 和频率
用折线图表示频率的波动情况：
序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0. 56 261 0. 522
2 9 0.45 50 0. 50 241 0.482
3 13 0. 65 48 0. 48 250 0.5
4 7 0. 35 55 0. 55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0. 506
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
1
2
3
4
5
n=20
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
1
2
3
4
5
n=500
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
1
2
3
4
5
n=100
我们发现：
(1)试验次数n相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动. 当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小. 但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随 机事件A发生的频率具有随机性.
注意：频率虽然不能很准确地反映出事件发生的可能性的大小，但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增多，频率就稳定于某一固定值．即频率具有稳定性，这时就把这一固定值称为概率．
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小, 即事件A发生的频率 会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).
我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
因此，我们可以用频率 估计概率P(A).
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014 年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88 和113.51.
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到 0.001）；
分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率; 由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,
2015年男婴出生率约为0.532.
解：(1) 2014年男婴出生的频率为
2015年男婴出生的频率为
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014 年、2015年出生的婴儿性别比分别为115. 88和113.51.
(2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的"这个判断可靠吗？
解: (2)由于调査新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.
因此, 我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
(注意:要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.)
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B ,规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了 10次时，双方各胜5次；但玩到1 000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的. 你更支持谁的结论？为什么？
解: 当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了 1 000次时，甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时, 甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.
因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
思考：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%. 如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？
又该如何评价预报的结果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的. 对“降水的概率为 90%"比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的天数要下雨.
思考：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%. 如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？
又该如何评价预报的结果是否准确呢？
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的； 如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.
课堂小结
1
1
频率本身是随机的，在试验前不能确定；概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验的次数无关．
2
概率是频率的稳定值: 随着试验次数的增多，频率越来越接近概率, 稳定于某一固定值．即频率具有稳定性，这时就把这一固定值称为概率．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修二
10.3.1频率的稳定性
1.对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是一个比值，但概率不是；④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有( )
A．①③⑤
B．①③④
C．①④⑤
D．②④⑤
2.某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是( )
A．0.3
B．0.6
C．0.5
D．0.9
3.从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的概率约为( )
A．0. 25
B．0.3
C．0.4
D．0.5
4．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
5．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了（ ）次试验
A．200
B．300
C．400
D．500
一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为（ ）
A．0.03
B．0. 025
C．0.04
D．0.05
某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是（ ）
A．0.2
B．0. 3
C．0.9
D．0.1
9.从标有数字1、2、6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为( )
A．
B．
C．
D．
从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
答案解析：
1. C
解析：频率是一个不确定的值，随试验次数的变化而变化，但具有相对的稳定性．而概率是一个确定的值，不随试验次数的变化而变化，但当试验次数无限增大时，频率趋向于概率．因此①④⑤是正确的．
故选：C.
2. D
解析：设击中目标为事件A，则n＝20，nA＝18，则f20(A)＝＝0.9.
故选：D.
3. A
解析：样本中白糖质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的频率为＝0.25，则概率约为0.25.
故选：A.
4． B
解析：抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.
故选：B.
B
解析：某人射击10次，击中靶心7次，∴他击不中靶心的概率是0.3.
故选：B.
6. D
解析：设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
故选：D.
7. A
解析：在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.
故选：A.
8. C
解析：打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9.
故选：C.
9. B
解析：标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2、6的号签，所以乘积12出现6次，频率为.
故选：B.
10. A
解析：取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
故选：A.
