高一第二次阶段检测数学学科试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得：，解得，
函数的定义域为.
3．若为奇函数，则（ ）
A．1或 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】为奇函数，，
.
4．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以的定义域为．且关于原点对称.
又，
所以是奇函数，则排除A，D．
当时，，当时，，排除B，
5．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，
6.（2022上·河南焦作·高一校考期末）若函数且满足对任意，都有成立，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】因为对任意，都有成立，
所以在上单调递增，所以，解得，
7．已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】，可化为，
故单调增区间满足：，，
解得，.
令，，令，，
，
所以的单调递增区间是，.
故选：D
8．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，函数定义域为R，令，显然，
函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增，
显然，而当时，函数不满足条件②，因此，
由于函数在上的值域为，则，即，
于是是方程的两个不等实根，令，则方程有两个不等的正实根，
因此，解得，
所以t的取值范围是.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由不等式的同向可加性知选项A正确；
因为，，所以，，所以，故选项B正确；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，所以，，所以，故选项D正确．
故选：ABD．
10．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴
C．是的一个零点 D．在上单调递增
【答案】BC
【详解】因为，所以的最小正周期，A不正确；
当时，，故直线是图象的一条对称轴，B正确；
当时，，故是的一个零点，C正确；
当时，，由在上单调递减，上单调递增，
所以在上不单调递增，D不正确.
故选：BC.
11．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
1 2 3 4 5 6
A．在区间上不一定单调 B．在区间内可能存在零点
C．在区间内一定不存在零点 D．至少有个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知，，，，
所以，，，
又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点，
即至少有个零点，故D正确；
对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，
所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误；
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则（ ）
A．函数的值域是 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根
【答案】ABD
【详解】由题得函数的定义域为,
，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
……
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；
由函数的图象得到关于轴对称，所以是偶函数，故选项B正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，当时，，方程有一个实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．已知sin＝，则cos＝ ．
【答案】
【分析】根据，利用诱导公式计算即可.
【详解】sin,
故答案为：
14．函数的单调增区间是 .
【答案】
【分析】求出函数定义域，再利用复合函数单调性求出单调增区间即得.
【详解】函数的意义，则，即，解得或，
即函数的定义域为，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
15．已知的终边上有一点，则的值为 .
【答案】/
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
16．定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数.（1）已知，，比较大小：a b（填＞，＜，≥，≤）；（2）若对一切实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵为偶函数，∴函数的图象关于直线对称，
又在上单调递增，∴在上单调递减，
∵，，且，
∴.
∵，∴，
∵对一切实数，不等式恒成立，
∴或，即或，
∴或，
∴实数的取值范围是，
故答案为：，．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．已知集合．
(1)若，求;
(2)求实数a的取值范围，使___________成立．
从①，②，③ 中选择一个填入横线处并解答．
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）解不等式化简集合A，B，结合并集的概念和运算求解即得.
（2）由（1）求出和，选择条件，利用集合间的包含关系和交并补的运算求出参数范围.
【详解】（1）依题意，，
，
当时，，所以.
（2）由（1）知，，，
则有或，或，
选①，，则或，解得或，
所以的取值范围为或；
选②，，则或，解得或，
所以的取值范围为或；
选③，，则，解得，
所以的取值范围为.
18．已知函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，，
由正弦函数的单调性可令，
解之得，即的单调递增区间为；
（2）当时，，
由正弦函数的单调性可知：
当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值，
故当时，的最大值为，最小值为.
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设．
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)；
(2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为，
阴影部分的面积，
又，
由图可知：，
海报纸的周长为.
（2）由（1）知，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.
20．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)是奇函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）设，得，则.
再设，有，
再设，有，所以，所以.
（2）是奇函数，证明如下：
因为定义域为，关于原点对称，
设，代入可得，
所以，所以是奇函数.
（3）函数是定义在上的单调函数，且，
所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数，
所以，
所以即恒成立，
当时，，此时，不符合题意，
当时，有，即，解得，
所以的取值范围是
21．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
22．对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为若a=1时证明：存在，使得在上有4046个零点，且．
【答案】(1)①否；②是
(2)，．
(3)，证明见解析
【详解】（1），则；，则，故①否；②是.
（2）因为为阶梯函数，所以对任意有：
．
所以，对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，．
（3）．
函数，则有：
，
．
取，则有：
，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：
在上有唯一零点，在上有唯一零点．
又由于，则对任意，有：
，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．
综上所述，存在，使得在上有4046个零点：
，，，，…，，，
其中，．高一级部第二次阶段检测数学学科试题
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．已知集合 A x Z x 1 0 ， B x x π ，则 A B （ ）
A． x Z x 1 B． x 1 x π
C． 1,0,1,2,3 D． 1,2,3
2．函数 y tan π 2x 3 的定义域是（ ）
x x 5π kπA． ,k
5π
Z B． x x kπ, k Z
C． x x
π kπ π
, k Z D． x x kπ,k Z
12 2 12 3 2 3
3 f x x a 1 x2．若 a 1 为奇函数，则a （ ）
A．1或 1 B．1 C．0 D． 1
3
4 x ln x．函数 f x x 的部分图像大致为（ ）e
A． B．
C． D．
1 1
5 0.2．已知 a log3 ,b log 1 ,c 2 ，则 a,b,c2 4 的大小关系是（ ）3
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
a a x , x 0 f a 0 a 1 x f x 6.若函数 f x 且 满足对任意 x1 x 1 2 03 a 1 x, x 0 2，都有 x x 成立，则
a
1 2
的值可以是（ ）
A 1． 3 B
2
． 3 C． 2 D．2
7．已知函数 f x 2cos π 3x
, x
π
,
π
，则 f x 4 2 2 的单调递增区间是（ ）
{#{QQABQYIQggAoABBAABhCUQHaCAKQkAACAAoOAEAIMAABgQNABAA=}#}
π , 5π π , π π , π π , 5π π πA
5π π
． 12 12 B．
4 12 C．
2 4 ，
, ,
12 12
D． ，
4 12 12 2
8．设函数 f x 的定义域为 D，若满足：① f x 在 D内是单调增函数；②存在 m,n D（n m），
使得 f x 在 m,n 上的值域为 m,n ，那么就称 y f x 是定义域为 D的“成功函数”.若函数
g x loga a2x t （a 0，a 1是定义域为 R 的“成功函数”，则 t的取值范围是（ ）
A．0 1 1 1 1 t B．0 t t 4 4 C． 4 D．
t
4
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.）
9．已知a b 0， c d 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A d c． a c b d B． ac bd C． D． a2 ab b2
a a
10．若函数 f (x) sin 3x
2π
3 ，则（ ）
A． f (x) π π的最小正周期为 B．直线 x 是 f (x)18 图象的一条对称轴3
C x 5π
7π
． 9 是
f (x)的一个零点 D． f (x)在 0, 上单调递增
18
11．已知函数 y f x 的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
x 1 2 3 4 5 6
y 202.301 52.013 10.581 3.273 10.733 156.314
A． f x 在区间 2,3 上不一定单调 B． f x 在区间 5,6 内可能存在零点
C． f x 在区间 5,6 内一定不存在零点 D． f x 至少有3个零点
12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛
顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R，用 x 表示不超过 x的最大
整数，则 y [x]称为高斯函数，例如[ 2.1] 3,[2.1] 2．已知函数 f (x) sin | x | | sin x |，函数
g(x) [ f (x)]，则（ ）
A．函数 g(x)的值域是{0,1,2} B．函数 g(x)是偶函数
C ．函数 g(x)的图象关于 x g(x) x2 对称 D．方程 2 只有一个实数根
三、填空题：（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2分，第二空 3
{#{QQABQYIQggAoABBAABhCUQHaCAKQkAACAAoOAEAIMAABgQNABAA=}#}
分.）
π
13．已知 sin a 1 3 ＝ 3，则 cos (
5π
a)＝ ．
6
14．函数 y log 20.5 x 2 的单调增区间是 .
sin π
sin( π )
15．已知 的终边上有一点P 1,3 2 ，则
cos 3π
的值为 .
2cos( π )
2
16．定义在 R上的函数 f (x)在 ( , 1)上单调递增，且 f (x 1)为偶函数.（1）已知 a f log 1 8 ，
2
1
b f 23 ，比较大小：a b（填＞，＜，≥，≤）；（2）若对一切实数 x，不等式
f (2sin x 1) f (sin x m)恒成立，则实数 m的取值范围是 .
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文
字说明 证明过程或演算步骤.）
17 2 2．已知集合 A x∣log2 (x 1) 2 ,B x∣x 2ax a 1 0 ．
(1)若 a 1，求 A B ;
(2)求实数 a的取值范围，使___________成立．
从① A CRB，② B CRA，③ CRA B 中选择一个填入横线处并解答．
18．已知函数 f x 2sin π 2x 6 ， x R ．
(1)求 f x 的单调递增区间；
(2)当 x
π , 5π 6 12 时，求
f x 的最大值和最小值．
19．为宣传 2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，如
图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且
GH 2EF），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 20000cm 2．为了美观，要求海报上所有水
平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留
空宽度也都是 10 cm)，设 EF xcm．
{#{QQABQYIQggAoABBAABhCUQHaCAKQkAACAAoOAEAIMAABgQNABAA=}#}
(1)当 x 50cm时，求海报纸（矩形 ABCD）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 ABCD的面积最小）？
20．已知函数 f (x)是定义在R上的单调函数，且对任意正数 x， y，都有 f (x y) f (x) f (y) .
且 f (3) 6 .
(1)求 f 0 ， f 1 的值；
(2)判断函数 f (x)的奇偶性并证明；
(3)若不等式 f (kx2 ) f (3x 4) 0 恒成立，求 k的取值范围.
21．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0且 f x log2 2x 1 kx， g x f x x．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若不等式 g 4x a 2x 1 g 3 恒成立，求实数 a取值范围；
(3) h x x2设 2mx 1，若对任意的 x1 0,3 ，存在 x2 1,3 ，使得 g x1 h x2 ，求实数 m取值范
围．
22．对于定义在R上的函数 f x 和正实数T若对任意 x R ，有 f x T f x T ，则 f x 为
T 阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为1 阶梯函数（直接写出结论）：
f x x2① ；② f x x 1．
(2)若 f x x sin x为T 阶梯函数，求T的所有可能取值；
T
(3) 已知 f x 为T 阶梯函数，满足： f x 在 ,T2 上单调递减，且对任意 x R ，有
f T x f x T 2x．若函数 F x f x ax b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依
次为 x1, x2 , x3, 若 a=1时证明：存在b R，使得 F x 在 0, 2023T 上有 4046个零点，且
x2 x1 x3 x2 x4046 x4045．
{#{QQABQYIQggAoABBAABhCUQHaCAKQkAACAAoOAEAIMAABgQNABAA=}#}
