(共20张PPT)
5．1.1 变化率问题
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.从物理角度理解变化率，体会平均速度和瞬时速度的关系，并能求解平均速度和瞬时速度．
2．从几何角度理解变化率，体会曲线上割线和切线的关系，并能求解曲线上一点的切线斜率．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 平均速度与瞬时速度
1．平均速度 ：物体的位移与所用时间的比值，通常指物体在某一时间段的速度．
若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，函数f(t)在t0与t0＋Δt之
间的平均速度是 _______________．
2．瞬时速度：做变速运动的物体在不同的时刻，速度是不同的．我们把物体在____________的速度称为瞬时速度．
若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt 趋近于0时函数f(t)在t0与t0＋Δt之间的平均变化率趋近于某个常数，我们
把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度即：
＝____________________．
某一时刻
批注 平均速度反映了物体在某一段时间内运动的快慢程度．
批注 Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
要点二 抛物线的切线的斜率
当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0.( )
(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．( )
(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．( )
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝ . ( )
×
√
√
√
2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
答案：D
解析：Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0).故选D.
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
答案：B
解析：＝＝＝＝4.1.故选B.
4．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为________．
4
解析： ＝ ＝4.
题型探究·课堂解透
题型1 求平均速度与瞬时速度
例1 已知自由落体运动的方程为s＝gt2(g为常数)，求：
(1)落体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度；
(2)落体在t＝10 s这一时刻的瞬时速度．
解析：(1)落体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度是＝＝gt0＋gd.
(2)落体在[10，10＋Δt]这段时间的平均速度是＝＝10g＋gΔt，
当Δt无限趋近于0时，平均速度趋近于10g，
所以落体在t＝10 s这一时刻的瞬时速度为10g.
【方法总结】
求运动物体瞬时速度的三个步骤
巩固训练1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示．
(1)求物体在t＝1 s时的瞬时速度；
(2)试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解析：(1)∵＝＝＝3＋Δt，
∴ ＝ ＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
(2)设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ ＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
题型2 求抛物线在某一点处切线的方程
例2 求抛物线y＝2x2＋4x在点(3，30)处的切线方程．
解析：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.
∴＝＝2Δx＋16.
∴k ＝ ＝＝16.
∴在点(3，30)处的切线方程为：
y－30＝16(x－3)
即：16x－y－18＝0.
【方法总结】
求抛物线在某点处的切线方程的一般步骤
巩固训练2 求抛物线y＝x2＋3在点(2，7)处的切线方程．
解析：Δy＝[(2＋Δx)2＋3]－(22＋3)＝4Δx＋(Δx)2，
∴＝4＋Δx，∴k＝ ＝4.
∴在点(2，7)处的切线方程为：y－7＝4(x－2)，
即：4x－y－1＝0.(共25张PPT)
5．1.2 导数的概念及其几何意义
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 导数的概念
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处________，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数 (也称为__________)，记作f′(x0)或________，即f′(x0)＝＝.
批注 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；
(3)导数的实质是一个极限值．
可导
瞬时变化率
y′|x＝x0
要点二 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线 的斜率是________．相应地，切线方程为_________________．
批注 (1)函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．
(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导．
f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
要点三 导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)就是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝.
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．( )
(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．( )
(3)函数f(x)＝0没有导数．( )
(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( )
√
√
×
×
2．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
答案：C
解析：由题意可知，f′(x0)＝－2＜0.
故选C.
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(1) 与f′(3)的大小关系是( )
A．f′(1)
C．f′(1)>f′(3) D．f′(1)＋f′(3)>0
答案：A
解析：由图可知f′(1)<0，f′(3)<0且f′(1)故选A.
4．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是____________．
x＋y－3＝0
解析：切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
题型探究·课堂解透
题型1 求函数在某点处的导数
例1 求函数y＝x－在x＝2处的导数．
解析：f′(2)＝ ＝ ＝(1+)＝2.
【方法总结】
求函数在某一点处的导数的方法
巩固训练1
已知函数f(x)＝x2－x.
(1)求f′(x)；
(2)求f(x)在x＝1处的导数．
解析：(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－，
∴f′(x)＝ ＝2x－.
(2)f′(1)＝2×1－＝.
题型2 导数几何意义的应用
例2 (1)[2022·湖北武汉高二期末]函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是( )
A．0B．0C．0D．0答案：C
解析：(1)如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，
f′(3)表示切线l3斜率k3>0，
又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，
结合图象，可得0故选C.
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )
答案：B
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．
故选B.
【方法总结】
导数几何意义应用的两个提醒
巩固训练2 [2022·北京顺义高二期末]已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )
A．f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)
B．f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)
C．f′(x3)>f′(x1)>f′(x2)
D．f′(x1)>f′(x3)>f′(x2)
答案：B
解析：由图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′(x1)<0，
在B点的切线斜率等于0，即f′(x2)＝0，
在C点的切线斜率大于0，即f′(x3)>0，
所以f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)．故选B.
题型3 求切线方程
例3 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
解析：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1).
y′|x＝1＝＝
＝［3+3Δx+(Δx)2］＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知＝，由题意可知kPQ＝ ，
即＝又y0＝，所以＝，即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为(－，－)，相应的切线方程为y＋＝(x＋)，即3x－4y＋1＝0.
综上，所求切线为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
【方法总结】
利用导数的几何意义求切线方程的策略
巩固训练3 (1)曲线f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为____________．
x＋2y＋4＝0
解析：k＝ ＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0.
(2)求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
解析：设切点为Q(a，a2＋1)，
k＝ ＝ (2a+Δx)＝2a.
∴在Q点处的切线方程为
y－(a2＋1)＝2a(x－a)(*)．
把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．
解得a＝1±.
再把a＝1±代入到(*)式中．即得
y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．这就是所求的切线方程．(共22张PPT)
5．2.1 基本初等函数的导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.能根据导数的定义推导常用函数的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式．
3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
0
1
2x
要点二 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ln x f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
0
αxα－1
cos x
－sin x
ex
批注 基本初等函数的求导公式分为四类：
(1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．
(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．
(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax ln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例．
(4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝，当a＝e时，ln x的导数也是(logax)′的一个特例．
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若y＝，则y′＝×2＝1.( )
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( )
(3)若f(x)＝，则f′(x)＝.( )
(4)因为(ln x)′＝，所以()′＝ln x．( )
×
×
×
×
2．函数y＝x－1的导函数是( )
A．y′＝－x－1 B．y′＝－x－2
C．y′＝x－2 D．y′＝x－1
答案：B
解析：由(x－1)′＝－x－1－1＝－x－2得y′＝－x－2.
故选B.
3．函数f(x)＝ex，则f′(0)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．e
答案：B
解析：因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，所以f′(0)＝e0＝1.
故选B.
4．已知函数f(x)＝x3，则曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为_________．
y＝3x－2
解析：f′(x)＝3x2，
则f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的方程为y－1＝3(x－1)，
即y＝3x－2.
题型探究·课堂解透
题型1 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝4x；
(4)y＝1－2sin 2.
解析：(1)由y＝，得y＝x－3，
所以y′＝－3x－4＝－.
(2)由y＝，得y＝，
所以y′＝.
(3)由y＝4x，得y′＝4x ln 4＝2·4x ln 2＝22x＋1ln 2.
(4)因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝－sin x．
【方法总结】
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1 (多选)[2022·山东日照青山学校高二期中]下列求导数运算正确的有( )
A．(sin x)′＝cos x B．()′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
答案：AD
解析：A：(sin x)′＝cos x，故正确；
B：()′＝－，故错误；
C：(log3x)′＝，故错误；
D：(ln x)′＝，故正确．
故选AD.
题型2 求函数在某点处的导数
例2 (1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos x在()处的导数．
解析：(1)f′(x)＝()′＝)′＝，∴f′(1)＝.
(2)f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′()＝－sin ＝－.
【方法总结】
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤
巩固训练2 [2022·广东肇庆高二期末]已知函数f(x)＝sin x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′()＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．
答案：A
解析：因为f′(x)＝cos x，所以f′()＝cos ＝0.
故选A.
题型3 利用导数公式求切线方程
例3 已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解析：∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝e＝，即切线斜率为.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
【方法总结】
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
巩固训练3 已知曲线f(x)＝，
(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程．
解析：(1)由题意，函数f(x)＝，可得f′(x)＝－，
所以f′(1)＝－1，即曲线在点P(1，1)处的切线的斜率为k＝－1，
所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设切点坐标为A(x0，y0)，则切线的斜率为k＝，
所以切线的方程为y－＝(x－x0)，
因为点Q(1，0)在切线上，可得－＝(1－x0)，解得x0＝，
所以所求切线的方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.(共21张PPT)
5．2.2 导数的四则运算法则
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点 导数的和差积商运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则
(1)[cf(x)]′＝________；
(2)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)′＝________．
(5)′＝(g(x)≠0)．
cf′(x)
－
批注 可推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
批注 可推广到任意有限个可导函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．
批注 切记[]′≠.
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知函数y＝sin x－cos x，则y′＝cos x－sin x．( )
(2)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
(3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(4)当g(x)≠0时，′＝.( )
×
×
√
√
2．已知函数f(x)＝x3－x，则f′(1)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：C
解析：由题意得，f′(x)＝3x2－1，
故f′(1)＝3－1＝2.
故选C.
3．函数f(x)＝x－sin x的导函数为( )
A．f′(x)＝x－cos x B．f′(x)＝1－cos x
C．f′(x)＝x＋cos x D．f′(x)＝1＋cos x
答案：B
解析：f′(x)＝1－cos x.
故选B.
4．函数f(x)＝在x＝1处的瞬时变化率为________．
1
解析：因为函数f(x)的图象上各点的瞬时变化率为f′(x)，f′(x)＝，
所以函数f(x)＝在x＝1处的瞬时变化率为f′(1)＝＝1.
题型探究·课堂解透
题型1 利用导数的四则运算法则求导
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝；
(5)y＝x－sin cos .
解析：(1)y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3.
(2)y′＝
＝＝.
(3)f′(x)＝＝.
(4)f′(x)＝＝
＝＝.
(5)∵y＝x－sin cos ＝x－ sin x，
∴y′＝(x－sin x)′＝x′－(sin x)′＝1－cos x．
【方法总结】
利用导数的四则运算法则求导的策略
巩固训练1 求下列函数的导数．
(1)y＝x5＋x3；
(2)y＝ex cos x；
(3)y＝；
(4)y＝.
解析：(1)y′＝(x5)′＋(x3)′＝x4＋2x2.
(2)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝ex(cos x－sin x)．
(3)方法一：y′＝()′
＝
＝＝.
方法二：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
(4)y′＝()′＝＝＝.
题型2 利用导数运算法则解决与切线有关的问题
例2 [2022·湖南郴州高二期末]已知函数f(x)＝＋b在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值．
解析：(1)∵函数f(x)＝＋b，
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
∴f(x)在x＝1处切线的斜率为k＝f′(1)＝a＝2，
由切线方程可知切点为(1，0)，而切点也在函数f(x)图象上，解得b＝0，
∴f(x)的解析式为f(x)＝.
(2)由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－2＝0与函数f(x)＝在(1，0)处相切，
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝＝，
故函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为.
【方法总结】
利用导数的四则运算法则求曲线切线的策略
巩固训练2 设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f′(x)；
(2)求函数f(x)的解析式．
解析：(1)因为f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，
则f′(x)＝a－，
由已知可得，解得，因此，f(x)＝x＋.
所以f′(x)＝1－.
(2)由(1)可知f(x)＝x＋.(共22张PPT)
5．2.3 简单复合函数的导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数．
2．会用复合函数的导数求解相关问题．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝________．
要点二 复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的______．
f(g(x))
y′u·u′x
乘积
批注 应处理好以下环节
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)＝2x2－ 是复合函数．( )
(2)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．( )
(3)设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.( )
(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.( )
×
√
×
√
2．函数y＝cosnx可由( )
A．y＝un和u＝cosxn复合而成
B．y＝u和u＝cosnx复合而成
C．y＝un和u＝cosx复合而成
D．y＝cos u和u＝xn复合而成
答案：C
解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.
故选C.
3．函数y＝sin (－x)的导函数为( )
A．y＝sin x B．y＝－cos (－x)
C．y＝cos x D．y＝cos (－x)
答案：B
解析：∵y＝sin (－x)，
∴y′＝－cos (－x).
故选B.
4．已知函数f(x)＝ln 2x，其导函数为f′(x)，则f′(e)＝________．
解析：f′(x)＝2×＝，f′(e)＝.
题型探究·课堂解透
题型1 求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数
(1)y＝ecos x＋1； (2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝2sin (3x－)； (4)y＝.
解析：(1)设y＝eu，u＝cos x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·(－sin x)＝－ecos x＋1·sin x.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，y′x＝y′u·u′x＝＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos (3x－)．
(4)设y＝，u＝1－2x，y′x＝y′u·u′x＝)′·(1－2x)′＝×(－2)＝.
【方法总结】
复合函数求导的步骤
巩固训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；
(2)y＝102x＋3.
解析：(1)令u＝2x－1，则y＝u4，
∴y′x＝y′u·u′x＝4u3·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3.
题型2 复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝x cos (2x＋)sin (2x＋)．
解析：(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＝.
(3)∵y＝x cos (2x＋)sin (2x＋)
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x，
∴y′＝(－x sin 4x)′＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2x cos 4x.
【方法总结】
复合函数与导数的运算法则的综合求导的策略
巩固训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋1)2ln (3x)；
(2)y＝3xe－3x.
解析：(1)y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2(ln (3x))′＝2·(3x＋1)·3ln (3x)＋(3x＋1)2·＝6(3x＋1)ln (3x)＋.
(2)y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3x ln 3·e－3x＋3xe－3x·(－3)＝3xe－3xln 3－3x＋1e－3x＝(ln 3－3)3xe－3x.
题型3 复合函数的导数与切线有关的问题
例3 [2022·湖北荆门龙泉中学高二期中]已知函数f(x)＝sin2x＋sin(2x)．
(1)求f′(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解析：(1)f′(x)＝2sin x cos x＋2cos (2x)＝sin (2x)＋2cos (2x)；
(2)由(1)知f′()＝1，f()＝，
得切线方程为y＝x－，
所围成的三角形的面积S＝＝.
【方法总结】
正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
巩固训练3 (1)若曲线y＝x ln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
答案：C
解析：因为y′＝(x ln x)′＝ln x＋1，所以曲线y＝x ln x在点(e，e)处的切线的斜率k＝y′|x＝e＝ln e＋1＝2，而切线与直线x＋ay＝1垂直，所以2·(－)＝－1，解得a＝2.
故选A.
(2)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________．
5x＋y－3＝0
解析：y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.(共29张PPT)
5．3.1 函数的单调性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.通过数形结合感受导数与函数单调性的关系．
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
3．能利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调________；
在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调________．
批注 f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势．
批注 f′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势．
递增
递减
要点二 利用导数判断函数单调性的一般步骤
第1步，确定函数y＝f(x)的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
要点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 ________ 比较“________”(向上或向下)
越小 ________ 比较“________”(向上或向下)
较快
陡峭
较慢
平缓
批注 函数值增加得越来越快f′(x)>0越来越大；函数值减少得越来越快f′(x)<0越来越小．
批注 函数值增加得越来越慢f′(x)>0越来越小；函数值减少得越来越慢f′(x)<0越来越大．
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( )
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( )
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．( )
×
×
√
√
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A.f′(3)>0 B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
答案：B
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0. 故选B.
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
答案：A
解析：∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
故选A.
4．函数f(x)＝的单调递减区间为__________________．
(－∞，0)，(0，＋∞)
解析：易知f′(x)＝－，由f′(x)＜0得x＜0或x＞0，所以单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).
题型探究·课堂解透
题型1 导数与函数图象的关系
例1 [2022·广东广州高二期末]已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)图象是( )
答案：A
解析：设导函数与横轴的交点为x1，x2，设－1由导函数的图象可知：当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0 f(x)单调递减，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0 f(x)单调递增，
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0 f(x)单调递减，由此可以确定选项A符合，
故选A.
【方法总结】
判断函数与其导函数图象关系的方法
要抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致．
巩固训练1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时，f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；
当x>0时，f(x)先减少，后增加，最后减少，所以f′(x)先负后正，最后为负．
故选B.
题型2 利用导数求函数的单调区间
例2 (1)已知函数f(x)＝x ln x－x，求f(x)的单调区间；
(2)已知函数f(x)＝(x＋1)eax，a∈R，求函数f(x)的单调区间．
解析：(1)函数的定义域为x∈(0，＋∞)，
由f(x)＝x ln x－x，得f′(x)＝1＋ln x－1＝ln x，
由f′(x)>0，得ln x>0，解得x>1，
由f′(x)<0，得ln x<0，解得0所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)∵f(x)＝(x＋1)eax，x∈R，所以f′(x)＝eax(ax＋a＋1)，
当a＝0时，f′(x)＝1>0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，
当a>0时，令f′(x)＝0，∴x＝，
当x>时f′(x)>0，当x<时f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)，
当a<0时，令f′(x)＝0，∴x＝，
当x>时f′(x)<0，当x<时f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，)，单调递减区间为(，＋∞)．
综上所述，当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)，
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，)，单调递减区间为(，＋∞)．
【方法总结】
利用导数求函数单调区间的三点提醒
巩固训练2 (1)[2022·山东淄博高二期末]函数y＝的递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：∵y′＝＝，
令y′>0，则x<1，
∴函数y＝的递增区间为(－∞，1)．
故选A.
(2)求函数f(x)＝a ln x－4x－2(a∈R)的单调区间．
解析：因为f(x)＝a ln x－4x－2的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－4＝，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)>0，得0，
所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
题型3 已知函数的单调性求参数的范围
例3 (1)[2022·山东济南高二期末]函数f(x)＝ex－ln (x＋m)在[0，1]上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，1] D．(－∞，－1]
答案：A
解析：因为f(x)＝ex－ln (x＋m)，所以f′(x)＝ex－.
因为函数f(x)＝ex－ln (x＋m)在[0，1]上单调递增，
所以f′(x)＝ex－≥0在[0，1]上恒成立，
所以m≥－x在[0，1]上恒成立，即m≥(－x)max，x∈[0，1]即可．
令g(x)＝－x，x∈[0，1]
则由函数单调性的性质知，g(x)在[0，1]上是减函数，
g(x)max＝g(0)＝－0＝1，即m≥1.
所以实数m的取值范围为[1，＋∞)．
故选A.
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解析：f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
因为函数在区间(1，4)内为减函数，
所以当x∈(1，4)时，f′(x)≤0.
又函数在区间(6，＋∞)上为增函数，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，
所以4≤a－1≤6，
所以5≤a≤7.
即实数a的取值范围为[5，7].
【方法总结】
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 (1)[2022·福建厦门外国语学校高二期末]若函数f(x)＝(x2－ax－a)ex在区间(－2，0)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案：B
解析：∵f(x)＝(x2－ax－a)ex，∴f′(x)＝ex·[x2＋(2－a)x－2a]＝ex(x－a)(x＋2)，
∵x∈(－2，0)时，ex(x＋2)>0，
∴若f(x)在(－2，0)内单调递减，则x－a≤0在(－2，0)上恒成立，
即得a≥x在(－2，0)恒成立，∴a≥0.
故选B.
(2)若函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的范围为__________．
[1，＋∞)
解析：由题意可知y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立．
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1.(共32张PPT)
第1课时 函数的极值
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.了解极大值、极小值的概念．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求函数的极大值、极小值．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 函数极值 的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝______，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧_______，就把______叫做函数y＝f(x)的极小值点，_______叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝_______，而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧_______，就把______叫做函数y＝f(x)的极大值点，_______叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点 ；极大值、极小值统称为________．
0
f′(x)<0
f′(x)>0
a
f(a)
0
f′(x)<0
f′(x)>0
b
f(a)
极值
批注 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
批注 可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件．
要点二 求函数y＝f(x)极值的方法
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________．
极大值
极小值
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的极大值一定大于其极小值．( )
(2)导数为0的点一定是极值点．( )
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( )
(4)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( )
×
×
×
√
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：A
解析：由导函数f′(x)在区间(a，b)内的图象可知，
函数f′(x)在(a，b)内的图象与x轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有1个．
故选A.
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝－2为f(x)的极大值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：A
解析：由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－2)和(，2)上单调递减，在(－2，)和(2，＋∞)上单调递增，
所以x＝为f(x)的极大值点，x＝－2和x＝2为f(x)的极小值点，x＝0不是函数的极值点．
故选A.
4．已知函数 f (x) ＝ x3－3x2＋2 ，则函数 f (x) 的极大值为________．
2
解析：∵f(x)＝x3－3x2＋2，∴f′(x)＝3x2－6x，
令f′(x)＝0，解得：x1＝0，x2＝6.
所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值为f(0)＝2.
x (－∞，0) 0 (0，6) 6 (6，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值 ↘ 极小值 ?↗
题型探究·课堂解透
题型1 极值的图象特征
例1 (多选)[2022·河北邢台·高二期末]若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则( )
A．x1是f(x)的一个极大值点
B．x2是f(x)的一个极小值点
C．x3是f(x)的一个极大值点
D．x4是f(x)的一个极小值点
答案：AB
解析：对于A选项，由图可知，在x1左右两侧，函数f(x)左增右减，x1是f(x)的一个极大值点，A正确．
对于B选项，由图可知，在x2左右两侧，函数f(x)左减右增，x2是f(x)的一个极小值点，B正确．
对于C选项，由图可知，在x3左右两侧，函数f(x)单调递增，x3不是f(x)的一个极值点，C错误．
对于D选项，由图可知，在x4左右两侧，函数f(x)左增右减，x4是f(x)的一个极大值点，D错误．
故选AB.
【方法总结】
根据导函数图象判断极值点、极值的方法
严格按照极值点、极值的定义，观察图象与x轴的交点，若在交点的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则交点是极大值点，函数值是极大值；若在交点的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则交点是极小值点，函数值是极小值；若不符合以上两点就不是极值点，也就没有极值．
巩固训练1 [2022·山东济宁高二期中]如图是函数y＝f(x)(x∈R)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是( )
A．x＝2是函数y＝f(x)的极大值点
B．x＝－2是函数y＝f(x)的零点
C．函数y＝f(x)在区间(－2，－1)上单调递减
D．函数y＝f(x)在区间[－2，2]上存在极小值
答案：A
解析：由f′(x)的图象可知，当x＝－1，x＝2时，f′(x)＝0，
又因为当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，
当x∈[2，＋∞)时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)在x＝2处取得极大值，无极小值，故A正确；
对于B，由f′(x)图象无法判断零点的个数，x＝－2不一定是零点，故B错误；
对于C，函数y＝f(x)在(－2，－1)上单调递增，故C错误；
对于D，函数f(x)在x＝2处取得极大值，无极小值，故函数f(x)在[－2，2]上无极小值，故D错误．
故选A.
题型2 求函数的极值
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝.
解析：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值．
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 单调递减
【方法总结】
求可导函数f(x)极值的一般步骤
巩固训练2 求下列函数的极值：
(1)y＝2x＋；
(2)y＝x3(x－5)2.
解析：(1)函数的定义域为x∈R且x≠0，
又y′＝2－.令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′，y的变化情况如表：
因此当x＝－2时，y极大值＝－8，
当x＝2时，y极小值＝8.
x (－∞，－2) －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
y′ ＋ 0 － － 0 ＋
y ↗ 极大值 ?↘ ↘ 极小值 ↗
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值108 ↘ 极小值0 ↗
题型3 已知函数的极值求参数值或范围
例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝( )
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
答案：C
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
故选C.
(2)[2022·山东聊城高二期中]设函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)的一个极值点，则下列结论一定正确的是( )
A．2a＋b＝0 B．a－c＝0
C．2a－b＝0 D．b≠0
答案：B
解析：∵f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex，∴f′(x)＝[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c]ex，
∵x＝－1为函数f(x)的一个极值点，∴f′(－1)＝0，
即：[a·(－1)2＋(2a＋b)·(－1)＋b＋c]e－1＝0，
∵e－1≠0，∴a－c＝0.
故选B.
(3)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，
则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．
因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.
解得a≥， 故实数a的取值范围是[，＋∞)．
(3)函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值，求实数a的取值范围．
解析：若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，
则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立．
因为a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.
解得a≥， 故实数a的取值范围是[，＋∞)．
【方法总结】
已知函数极值求参数的方法
巩固训练3 (1)[2022·河北石家庄二中高二期中]若函数y＝－x3＋3x2＋m的极大值等于9，则实数m等于( )
A．5 B．9
C．－5 D．9
答案：A
解析：y′＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，当00，当x<0或x>2时，y′<0，
即函数y＝－x3＋3x2＋m在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，即函数y＝－x3＋3x2＋m在x＝2处取得极大值，即－8＋12＋m＝9，m＝5.
故选A.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，则实数m的取值范围为________．
(3，＋∞)
解析：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．(共26张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
【课标解读】
1.理解函数最值的概念．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
新知初探·课前预习
【教 材 要 点】
要点一 最值的概念
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
批注 (1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．
连续不断
要点二 函数在区间[a，b]上最值的求法
一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值 的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；
(2)将函数y＝f(x)的各________与端点处的函数值________，________比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
批注 函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
极值
极值
f(a)
f(b)
最大值
最小值
【夯 实 双 基】
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值．( )
(4)若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．( )
×
√
×
√
2．函数y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为( )
A.32 B．27
C．16 D．40
答案：A
解析：因为y′＝－3x(x－4)，所以当0≤x≤4时，y′≥0；
当x>4时，y′<0.
所以函数在[0，4]上单调递增；在(4，＋∞)上单调递减，
因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值为－43＋6×42＝32.
故选A.
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案：D
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
故选D.
4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是_______．
－
解析：由题设，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，
∴[0，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减；(1，2]上f′(x)>0，f(x)单调递增；
∴f(x)在[0，2]上的最小值为f(1)＝－7＝－.
题型探究·课堂解透
题型1 求函数的最值
例1 (1)求函数f(x)＝x2(x－2)在区间[－1，3]上的最大值和最小值；
(2)求函数f(x)＝ln x－在区间[1，e]上的最值．
解析：(1)∵f(x)＝x2(x－2)＝x3－2x2，所以，f′(x)＝3x2－4x.
由f′(x)＝3x2－4x>0，解得x<0或x>；
由f′(x)＝3x2－2x<0，解得0所以f(x)在[－1，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，在(，3]上单调递增，
所以，f(x)极大值＝f(0)＝0，f(x)极小值＝f()＝－，
又因为f(－1)＝－3，f(3)＝9，所以f(x)max＝9，f(x)min＝－3.
(2)由题意知：f′(x)＝(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝2.
x＝2把f(x)定义域划分成两个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表所示：
所以f(x)在区间[1，e]上的最小值是ln 2，最大值是1.
x 1 (1，2) 2 (2，＋∞) e
f′(x) － 0 ＋
f(x) 1 单调递减 ln 2 单调递增
【方法总结】
利用导数求函数最值的方法
巩固训练1 求函数f(x)＝(x－1)ex在区间[－1，2]上的最大值和最小值．
解析：f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，
x>0时，f′(x)>0；x<0时，f′(x)<0.
所以f(x)在[－1，0)上递减，在(0，2]上递增，
所以f(x)极小值＝f(0)＝－1，无极大值．
又f(0)＝－1，f(－1)＝－，f(2)＝e2.
所以最大值为e2，最小值为－1.
题型2 由函数的最值确定参数的值
例2 设解析：f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，
故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
x －1 (－1，0) 0 (0，a) a (a，1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ b ↘ ↗
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
【方法总结】
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
巩固训练2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
解析：∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，∴f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∵x∈[－1，2]，∴x＝0，
∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)取最大值f(x)max＝f(0)＝b，
∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值为3，∴f(x)max＝f(0)＝b＝3.
x (－1，0) 0 (0，2)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 最大值3 ↘
又∵f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3且a>0，∴f(2)∴当x＝2时，f(x)取最小值f(x)min＝f(2)＝－16a＋3，
∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最小值为－29，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
综上所述：a＝2，b＝3.
题型3 利用导数证明不等式
例3 已知函数f(x)＝ln x－x.
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：ln x0)．
解析：(1)设f(x)＝ln x－x，∴f′(x)＝－1＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1，
当0当x>1时，函数f(x)单调递减，∴当x＝1时，函数有最大值，最大值为f(1)＝－1.
(2)证明：由(1)可得f(x)再设g(x)＝ex－x，∴g′(x)＝ex－1，
∵g′(x)＝ex－1>0，在(0，＋∞)上恒成立，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)＝1>0，∴ex>x，
综上可得ln x【方法总结】
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
巩固训练3 求证：x>1时，x－1证明：要证x>1时，x－10即可，
设g(x)＝x ln x－x＋1，(x>1)，则g′(x)＝ln x＋1－1＝ln x，
故当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故当x>1时，g(x)>g(1)＝0，即x ln x－x＋1>0，∴x－1第3课时 函数极值与最值的综合应用
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 不等式恒成立问题
例1 [2022·福建宁德高二期末]已知函数f(x)＝(x>0)．
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若不等式f(x)≥x＋a ln x＋1对于x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝，
即f′(x)＝(x－e)，
当f′(x)<0，解得00，解得x>e，
f(x)的单调递减区间为(0，e)；单调递增区间为(e，＋∞)，
∴函数f(x)的最小值为f(e)＝1.
(2)解法一：(变量分离)整理得：a≤，
只需a≤()min，
先证明：ex≥x＋1，
构造g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1，
当x>0时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，g(x)≥g(0)＝0，
从而证明得ex≥x＋1.
∵－x－1＝ex－eln x－x－1≥x－eln x＋1－x－1＝－eln x，
当仅且当x－eln x＝0即x＝e处取得等号．
∴＝－e，
∴a≤－e.
解法二：(不分离)f(x)≥x＋a ln x＋1 －x－a ln x－1≥0 ex－eln x－(x＋a ln x)－1≥0，
ex－eln x－(x＋a ln x)－1≥x－eln x＋1－(x＋a ln x)－1≥0得a≤－e，
下面证明当a≤－e时，－x－a ln x－1≥0.
∵a≤e，∴－x－a ln x－1≥－x＋eln x－1，
∴只需证明－x＋eln x－1≥0，
设φ(x)＝－x＋eln x－1，
则φ′(x)＝(x－e)－(x－e)＝··(x－e)．
由(1)得－1≥0且只在x＝e取等号，
∴当0∴当x>e时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
∴φ(x)≥φ(e)＝0.
综上a≤－e.
【方法总结】
与最值有关的恒成立问题的解题策略
若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以避免分类讨论．
a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a巩固训练1 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意x∈[－1，2]，不等式f(x)解析：(1)由题设，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
又f′(－)＝a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2.
(2)由(1)，知f(x)＝x3－x2－2x＋c，即f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x∈[－1，2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x 1 (1，2]
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)在[－1，－)上单调递增，在(－，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴当x＝－时，f(－)＝＋c为极大值，又f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为f(x)在[－1，2]上的最大值，
要使f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2，
∴实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，+∞)．
题型2 利用导数研究方程根(函数零点)的个数问题
例2 [2022·福建三明高二期末]已知函数f(x)＝ex－1(2x－1)－ax＋a(a∈R)．
(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
解析：(1)f(x)的定义域为R，
当a＝0时，f(x)＝ex－1(2x－1)，
f′(x)＝ex－1(2x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－ ，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)有极小值，无极大值．
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 单调递增
(2)因为f(1)＝1，
当x≠1时，f(x)＝ex－1(2x－1)－ax＋a＝0 ＝a，
令g(x)＝＝ex－1(＋2)，
g′(x)＝ex－1[－＋2]＝－ex－1(－2)(＋1)，
当x<0或x>时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当0所以g(x)有极大值g(0)＝，极小值g()＝4，
令g(x)＝0，解得x＝.
当x<或x>1时，g(x)>0；当所以g(x)的图象经过特殊点A(0，)，B(，0)，C(，4)，
当x→1时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
根据以上信息，我们画出g(x)的大致图象如图所示．
f(x)的零点个数为函数y＝g(x)的图象与直线y＝a的交点个数．
所以，关于函数f(x)的零点个数有如下结论：
当a>4或0当a＝4或a＝或a≤0时，f(x)有1个零点；
当【方法总结】
利用导数研究方程根(函数零点)的个数问题的一般步骤
巩固训练2 [2022·山东烟台高二期末]已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．
解析：(1)f′(x)＝3x2－2x＝3x(x－)，
令f′(x)＝0得，x＝0或x＝，
x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)由(1)知，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，
当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝1，
当x＝时，f(x)有极小值f()＝，
当x→－∞，f(x)→－∞，当x→＋∞，f(x)→＋∞，
所以当a<或a>1，f(x)＝a的解有1个；
当a＝或a＝1，f(x)＝a的解有2个；
当题型3 导数在解决实际问题中的应用
例3 [2022·山东济宁高二期中]某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为4x[ln (x＋0.48)－0.125]万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30)
解析：(1)由题意知，需要新建的高压线塔为－1(0所以y＝2(－1)＋×4x[ln (x＋0.48)－0.125]，
即y＝＋64ln (x＋0.48)－10(0(2)由(1)，得y′＝－＝，
令y′＝0得x＝0.8或x＝－0.3(舍去)．
由y′<0，得00，得0.8所以函数y在区间(0，0.8)上单调递减；在区间(0.8，16)上单调递增．
所以当x＝0.8时，函数y取得最小值，
且ymin＝＋64ln 1.28－10＝30＋64(7ln 2－2ln 10)≈44.72，
此时应建高压线塔为－1＝19(座)．
故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．
【方法总结】
利用导数解决实际问题的策略
巩固训练3 将一块2 m×6 m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为ym3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，水箱的容积最大？
解析：(1)由水箱的高为x m，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为＝(3－x)m.
故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，
解得x＝(舍去)或x＝，
所以y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x＝时，水箱的容积最大．(共32张PPT)
专 项 培 优1 章末复习课
知识网络·形成体系
考点聚焦·分类突破
考点一 导数几何意义的应用
1．导数的几何意义的应用，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值等．
2．通过对导数几何意义的考查，提升学生的数学运算、数学抽象核心素养．
例1 (1)[2022·广东东莞高二期中]若函数f(x)＝ex＋x3＋a的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝kx＋2k，则a＝( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：因为f(x)＝ex＋x3＋a，则f′(x)＝ex＋3x2，则f′(0)＝1＝k，即切线方程为y＝x＋2，
所以，f(0)＝1＋a＝2，解得a＝1.
故选A.
答案：A
(2)(多选)[2022·河北石家庄高二期末]若两曲线y＝x2－1与y＝a ln x－1存在公切线，则正实数a的取值可能是( )
A．1.2 B．4
C．5.6 D．2e
答案：ABD
解析：由y＝x2－1，则y′＝2x，由y＝a ln x－1，则y′＝，
设切线与曲线y＝x2－1相切于点A(x1，y1)，则斜率为2x1，
所以切线方程为－1)＝2x1(x－x1)，即y＝，①
设切线与曲线y＝a ln x－1相切于点B(x2，y2)，则斜率为，
则切线方程为y－(a ln x2－1)＝(x－x2)，即y＝x＋a ln x2－a－1，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则，
所以a＝(ln x2－1)，令g(x)＝4x2－4x2ln x(x>0)，
则g′(x)＝4x(1－2ln x)，所以g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，g(x)max＝g()＝2e，由题意a∈(0，2e].
故选ABD.
(3)[2022·湖南衡阳高二期末]写出过点(2，1)与曲线y＝x3＋1相切的一条直线的方程：__________________．
解析：设切点为＋1)，因为＝，
所以切线方程为＋1)＝(x－x0)，
将点(2，1)代入得＝0，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝1；
当x0＝3时，切线方程为27x－y－53＝0.
故答案为y＝1或27x－y－53＝0.
y＝1或27x－y－53＝0
考点二 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
2．通过对用导数研究函数的单调性的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．
例2 (1)[2022·山东聊城高二期中]若函数f(x)＝ln (x＋1)－mx在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：f(x)＝ln (x＋1)－mx，f′(x)＝－m，则f′(x)＝－m≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m≥恒成立，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，故<1，
所以m≥1，当m＝1时，导数不恒为0，
故选D.
答案：D
(2)已知函数f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x(a>1)，讨论函数f(x)的单调性．
解析：f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x(a>1，x>0)，
f′(x)＝x－a＋＝＝，
当1由f′(x)>0得x>1或0则f(x)在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(a－1，1)上单调递减；
当a＝2时，a－1＝1，f′(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>2时，a－1>1，
由f′(x)>0得x>a－1或0则f(x)在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减．
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
1．利用导数研究函数的极值与最值，主要是以ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)为载体，研究函数的极值与最值问题.
2．通过对函数的极值与最值问题的考查，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养．
例3 (1)[2022·江苏盐城高二期末]已知函数f(x)＝＋ax＋1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4)
B．[0，4]
C．(－∞，0)∪(4，+∞)
D．(－∞，0]∪［4，+∞）
答案：C
解析：由题意知，f′(x)＝x2＋ax＋a，
由函数f(x)有极小值和极大值，
得方程f′(x)＝0有两个不同的实根，
所以Δ＝a2－4a>0 a<0或a>4，
即a的取值范围为(－∞，0)
故选C.
(2)[2022·辽宁实验中学高二期中]已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，若函数f(x)在(2a，a＋3)上存在最小值，则a的取值范围是________．
[－，1)
解析：f(x)＝x3－3x2＋2，
f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当02时，f(x)单调递增，
∴f(x)在x＝0取得极大值f(0)＝2，x＝2处取得极小值f(2)＝－2.
令f(x)＝－2，整理得(x－2)2(x＋1)＝0，解得：x＝2或－1，
∵函数f(x)在(2a，a＋3)上存在最小值，
∴－1≤2a<2例4 [2022·山东德州高二期末]已知函数f(x)＝x3－3ax＋1(a>)．
(1)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求实数a的值；
(2)当x∈[－2，1]时，求函数f(x)的最大值．
解析：(1)由题意可知f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝0，即3－3a＝0，解得a＝1，
经检验a＝1，符合题意．
所以a＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3a，
令f′(x)＝0，x＝±，
当0<<1且a>，即x －2 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －7＋6a 单调递增 单调递减 单调调增 2－3a
f(－)＝2a＋1>2－3a，
由上可知，f(x)的最大值为2a＋1.
当1≤<2即1≤a<4时，f(x)和f′(x)随x的变化情况如下表：
f(－)＝2a＋1，
由上可知，f(x)的最大值为2a＋1.
当≥2即a≥4时，f′(x)＝3x2－3a≤0恒成立，即f(x)在[－2，1]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(－2)＝－7＋6a，
综上所述，当当a≥4时，f(x)的最大值为－7＋6a.
x －2 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7＋6a 单调递增 单调递减 2－3a
考点四 利用导数研究函数的零点(或方程的根)
1．利用导数研究函数的零点(或方程的根)实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
2．通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．
例5 (1)[2022·湖北孝感高二期末]方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：设f(x)＝(x＋1)ex，所以f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
当x>－2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以f(x)min＝－e－2＝－<0，
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0.
因为a>0，
所以方程(x＋1)ex＝a(a>0)解的个数为1.
故选C.
答案：C
(2)[2022·江苏镇江高二期末]函数f(x)＝x3－x2－x－a仅有一个零点，则实数a的取值范围是_____________________．
(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析：由题意可得：函数f(x)＝x3－x2－x－a，
所以f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)>0，则x>1或x<－，
令f′(x)<0，则－所以函数的单调增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，减区间为(－，1) ，
所以当x＝－时函数有极大值，f(－)＝－a.
当x＝1时函数有极小值，f(1)＝－a－1，
因为函数f(x)＝x3－x2－x－a仅有一个零点，
所以f(－)＝－a<0或f(1)＝－a－1>0，
解得a>或a<－1.
所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪，＋∞)．
例6 [2022·湖北部分学校高二期中联考]已知函数f(x)＝(x－1)ex，
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)设g(x)＝f(x)－a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数．
解析：(1)函数的定义域为R. f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex＝0，解得x＝0，
所以，当x∈(－∞，0)时f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以，当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1，f(x)没有极大值．
(2)根据题意，函数g(x)的零点问题转化为直线y＝a与函数f(x)的图象公共点问题．
由(1)知，x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增．
当x趋近于－∞时，f(x)趋近于0，x趋近于＋∞时，f(x)趋近于＋∞，
所以，f(x)的大致图象如图，
情形1: a＝－1或a≥0时，直线y＝a与函数f(x)的图象有一个公共点，函数g(x)的零点个数为1.
情形2: －1情形3：a<－1时，直线y＝a与函数f(x)的图象没有公共点，函数g(x)的零点个数为0.
考点五 利用导数研究不等式
1．利用导数研究不等式，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行求解．这种构造转换的过程与方法，体现了深刻的化归思想．
2．通过对利用导数研究不等式的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
例7 [2022·山东淄博高二期末]设a＝，b＝ln 1.1，c＝，则( )
A．aC．b答案：D
解析：因为y＝ex在R上为增函数，且－1<－，
所以，
因为令f(x)＝x－ln (1＋x)(x>0)，得f′(x)＝1－＝>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)>f(0)＝0，所以x>ln (1＋x)，
令x＝0.1，则0.1>ln 1.1，即>ln 1.1，即a>b，
所以b故选D.
例8 [2022·河北张家口高二期末]已知函数f(x)＝x－(x＋1)ln (x＋1)．
(1)证明：f(x)≤0；
(2)若x≥0时，f(x)≥ax2恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)证明：由题意，函数f(x)＝x－(x＋1)ln (x＋1)，可得x>－1，且f′(x)＝－ln (x＋1)，
当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，
所以当x∈(－1，0)时，函数f(x)单调递增，
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(0)＝0.
(2)由f(x)≥ax2，可得ax2－x＋(x＋1)ln (x＋1)≤0.
设g(x)＝ax2－x＋(x＋1)ln (x＋1)，x≥0，显然g(0)＝0，
又由g′(x)＝2ax＋ln (x＋1)，
设h(x)＝g′(x)＝2ax＋ln (x＋1)，则h′(x)＝2a＋.
当2a≥0时，h′(x)>0，故h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(0)＝0，故g(x)也单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝0，与题设矛盾；
当2a<0时，令h′(x)＝0 x＝－1－，
(ⅰ)当a≤－时，－1－≤0，在区间[0，＋∞)上h′(x)≤0，故h(x)单调递减，
又h(x)≤h(0)＝0，故g(x)也单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0恒成立；
(ⅱ)当a>－时，－1－>0，当x∈(0，－1－)时，h′(x)>0，
当x∈(－1－，＋∞)时，h′(x)<0，
此时函数h(x)在区间(0，－1－)上单调递增，在区间(－1－，＋∞)上单调递减，
又由于h(0)＝0，所以在x∈(0，－1－)上，h(x)>h(0)＝0，
故在区间(0，－1－)上g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，与题设矛盾，
综上，实数a的取值范围为(－∞，－].
考点六 利用导数解决优化问题
1．利用导数解决实际问题中的最大、最小值问题，是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而也是高考命题的热点之一.
2．通过对利用导数解决实际问题的考查，提升学生的数学建模、逻辑推理及数学运算核心素养．
例9 [2022·福建龙岩高二期中]请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当x为多少时，包装盒的容积V(cm3)最大？最大容积是多少？
解析：(1)设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
则a＝x，h＝(30－x)，0所以V(x)＝a2h＝2(－x3＋30x2)＝－2x3＋60x2，x∈(0，30)．
(2)由V(x)＝－2x3＋60x2，
可得V′(x)＝6x(20－x)，
当x∈(0，20)时，V′(x)>0；当x∈(20，30)时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在(0，20)上递增，在(20，30)上递减，
∴当x＝20时，V(x)取得极大值也是最大值：8000.
所以当x＝20 cm时，包装盒的容积最大是8000 cm3.