2.1.1 倾斜角与斜率
[课标解读] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
教材要点
要点一 直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，取______作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
直线的倾斜角α的取值范围是________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°.
状元随笔 任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
要点二 直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________．
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．
状元随笔 在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则过这两点的直线与x轴垂直，即直线的倾斜角为，斜率不存在；若不相等，则直接代入斜率公式计算即可．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.( )
(2)若k是直线的斜率，则k∈R.( )
(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．( )
(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．( )
2．直线y＝x－的倾斜角为( )
A．120° B．135°
C．45° D．60°
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B．
C．1 D．
4．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A．0° B．45°
C．60° D．90°
5．已知直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为________．
题型 1 直线的倾斜角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．直线x＝1的倾斜角不存在
B．直线x＝的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D．若直线l经过原点和点(－1，1)，则直线l的倾斜角为135°
(2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
方法归纳
求直线倾斜角的方法
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)注意倾斜角的范围．
巩固训练1
(1)如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
(2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
题型 2 直线的斜率
例2 (1)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(4，3)，那么直线l的斜率为( )
A．－3 B．－
C． D．3
(2)在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(－2，－1)，若过点P(－1，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围是________．
方法归纳
求直线斜率的3种方法
巩固训练2 (1)已知直线l的倾斜角为α，且sin α＝，则直线l的斜率为( )
A． B．
C．± D．±
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[0，2]
题型 3 斜率与倾斜角的变化关系
例3 (1)若右图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
(2)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
①当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
②当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
③直线MN的倾斜角可能为直角吗？
方法归纳
斜率与倾斜角的变化关系
当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率为正且越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率为负且越大．
巩固训练3 已知两点A(－1，2)，B(m，3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．
易错辨析 忽略直线的斜率不存在致误
例4 已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为________．
解析：当t＝2时，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在；
当t≠2时，直线l的斜率k＝＝.
综上所述，当t＝2时，直线l的斜率不存在；当t≠2时，直线l的斜率k＝.
答案：不存在或
易错警示
出错原因 纠错心得
漏掉了t＝2的情况． 在利用斜率公式求直线的斜率时，一定要注意两点横坐标相等的情况．
2.1.1 倾斜角与斜率
新知初探·课前预习
要点一
x轴 正向 向上 0°≤α＜180°
要点二
正切 tan α
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由y＝x－可得直线的斜率为k＝1，设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，因为0°≤θ＜180°，所以θ＝45°.
答案：C
3．解析：由题意可知，k＝tan 30°＝.
答案：A
4．解析：∵k＝＝0，∴θ＝0°.
答案：A
5．解析：因为直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，
所以直线l的倾斜角为60°，
所以直线的倾斜角为k＝tan 60°＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)对于A，直线x＝1与x轴垂直，其倾斜角为90°，故选项错误；
对于B，因为直线x＝垂直于x轴，故倾斜角为90°，故选项错误；
对于C，因为0°≤α＜180°，所以sin α≥0，故选项正确；
对于D，画图可知，直线l的倾斜角为135°，故选项正确．
(2)根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.
答案：(1)CD (2)D
巩固训练1 解析：(1)由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
答案：(1)D (2)D
例2 解析：(1)依题意，直线l的斜率为＝.
(2)如图
可得kPA＝＝1，
kPB＝＝－，
所以直线l斜率的取值范围是
(－∞，－
答案：(1)C (2)(－∞，－
巩固训练2 解析：(1)∵sin α＝且0°≤α＜180°，
∴cos α＝±＝±，
∴k＝tan α＝＝±.
(2)由作图可知当直线位于右图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
答案：(1)D (2)D
例3 解析：(1)直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
(2)①若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝＞0，解得m＞－2.
②若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝＜0，解得m＜－2.
③当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角．
答案：(1)D (2)见解析
巩固训练3 解析：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，
当m≠－1时，直线AB的斜率k＝＝，
(2)当m＝－1时，α＝，
当m≠－1时，k＝，
因为m∈，且m≠－1，
所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，
所以≤－或，即tan α≤－或tan α≥，
所以α∈，
综上，直线AB的倾斜角α∈.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
[课标解读] 1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．
教材要点
要点一 两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠________ α1＝α2＝________
对应关系 l1∥l2 ________ l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
状元随笔 若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2 用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．
要点二 两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 ________ l1与l2中的一条斜率________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.
图示
状元随笔 “两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件．因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.( )
(2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.( )
(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．( )
(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3 B．3
C．－ D．
3．如果直线l1的斜率为2，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－ B．2
C．D．－2
4．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
5．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
题型 1 两条直线平行的判定
例1 (1)(多选)下列直线l1与直线l2平行的有( )
A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B.l1的斜率为2，l2经过点A(1，1)，B(2，2)
C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)
D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5)
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行．
方法归纳
判断两直线是否平行的方法
巩固训练1 (1)(多选)下列各组直线平行的有( )
A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0
B．y＝x＋2与x－y－2＝0
C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0
D．＝1与3x＋2y－2＝0
(2)已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．
题型 2 两条直线垂直的判定
例2 (1)(多选)下列各对直线互相垂直的是( )
A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)
B.l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q(0，－)
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)
(2)已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则m的值为________．
方法归纳
利用斜率公式判定直线垂直的步骤
巩固训练2 (1)若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A． B．a
C．－D．－或不存在
(2)若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
题型 3 直线平行与垂直的综合应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0且t≠.试判断四边形OPQR的形状．
方法归纳
利用直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
巩固训练3 已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
易错辨析 忽视直线斜率不存在的情况致错
例4 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
解析：当直线l1的斜率存在时，
则由l1⊥l2知k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0，
当直线l1的斜率不存在时，
则a－2＝3，得a＝5，
此时k2＝0，故l1⊥l2.
综上a的值为0或5.
答案：0或5
易错警示
易错原因 纠错心得
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在． 已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答．
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
新知初探·课前预习
要点一
90° 90° k1＝k2
要点二
k1·k2＝－1 不存在
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.
答案：B
3．解析：由于直线l1的斜率为2且l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－.
答案：A
4．解析：由题意，点A(2，5)和点B(－4，5)，可得kAB＝＝0，所以AB的方程为y＝5，
又由直线y＝3的斜率为0，且两直线不重合，
所以两直线平行．
答案：B
5．解析：＝＝－1，l1∥l2，
＝＝－1，∴m＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
B中，k2＝＝1≠k1＝2，
∴l1不平行l2.
C中，k1＝tan 30°＝，k2＝＝.
∴k1≠k2，∴l1不平行l2.
D中，l1的斜率不存在，
l2的斜率也不存在，∴l1∥l2.
(2)由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．
kAB＝＝，kCD＝＝，
由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.
经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
答案：(1)AD (2)见解析
巩固训练1 解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得B、D选项正确．
(2)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB，
∴kEF＝kAB＝＝－2.故直线EF的斜率为－2.
答案：(1)BD (2)－2
例2 解析：(1)设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
对于A，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两直线垂直．
对于B，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两条直线垂直．
对于C，因为k1＝，k2＝，所以l1与l2不垂直．
对于D，因为k1＝－，k2＝，所以k1·k2＝－1，故两条直线垂直．
(2)若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
答案：(1)ABD (2)－7或3或±2
巩固训练2 解析：(1)若a≠0，则l2的斜率为－；若a＝0，则l2的斜率不存在．
(2)由题意可知kl＝，又因为kl＝，
所以＝，解得m＝.
答案：(1)D (2)
例3 解析：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－，
kOQ＝，kPR＝.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR.
又kOQ·kPR≠－1，∴OQ与PR不垂直，
∴四边形OPQR为矩形．
巩固训练3 解析：(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1，6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形．2.2.1 直线的点斜式方程
[课标解读] 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
教材要点
要点一 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式 y－y0＝________ y＝kx＋b
适用条件 斜率存在 斜率存在
状元随笔
(1)斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
(2)直线方程的斜截式y＝kx ＋b，当k≠0时就是一次函数的标准形式．
要点二 直线l的截距
1．直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的________．
2．直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a，0)的________．
状元随笔
截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．
要点三 直线平行、垂直的判断
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2 ________________；
(2)l1⊥l2 ________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．( )
(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.( )
(3)对点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.( )
(4)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．( )
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
4．经过点(1，2)，且倾斜角为90°的直线方程是( )
A．y＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．x＝2
5．将直线l1：y＝x＋绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后得到直线l2，则l2在y轴上的截距为________.
题型 1 直线的点斜式方程
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
方法归纳
求直线的点斜式方程的步骤
特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
巩固训练1 (1)经过点(1，2)，且倾斜角为45°的直线方程是( )
A．y＝x－3 B．y＝x＋1
C．y＝－x－3 D．y＝－x＋3
(2)已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程是________．
题型 2 直线的斜截式方程
例2 求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3.
方法归纳
求直线的斜截式方程的策略
巩固训练2 (1)已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
(2)斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m＝________时，直线过点(1，1)．
题型 3 点斜式方程和斜截式方程的应用
例3 (1)求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点；
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
方法归纳
(1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明．
(2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．
巩固训练3 (1)过点(－1，3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为( )
A．y＋3＝(x＋1) B．y＋3＝(x－1)
C．y－3＝(x＋1) D．y－3＝(x－1)
(2)求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
易错辨析 忽视倾斜角的范围出错
例4 一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
解析：∵直线l与x轴的夹角为45°，
∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.
∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x－1或y＝－x＋3.
答案：y＝x－1或y＝－x＋3
易错警示
易错原因 纠错心得
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形． 在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解．
2.2.1 直线的点斜式方程
新知初探·课前预习
要点一
k(x－x0)
要点二
纵坐标b 横坐标a
要点三
k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．
答案：D
3．解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.
答案：D
4．解析：∵直线倾斜角为90°，∴直线斜率不存在，又直线过点(1，2)，∴所以直线方程为x＝1.
答案：C
5．解析：易知l1的倾斜角为60°，所以l2的倾斜角为90°＋60°＝150°，又由题意知l2过点(－1，0)，所以l2的方程为y－0＝tan 150°·(x＋1)，即y＝－x－，从而可知l2在y轴上的截距为－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵经过点A(2，5)，斜率是4，
∴所求直线方程为y－5＝4(x－2)．
(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2.
(3)∵经过点C(－1，－1)，与x轴平行，
∴斜率为0，∴方程为y＋1＝0.
巩固训练1 解析：(1)k＝tan 45°＝1，直线方程为y＝x－1＋2＝x＋1.
(2)∵直线y＝x的斜率为，
∴直线y＝x的倾斜角为60°，
∵直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，
∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan 120°＝－，
∵直线l过点P(，－1)，
∴直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2.
答案：(1)B (2)y＝－x＋2
例2 解析：(1)直线的斜率k＝－4，在y轴上的截距b＝7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率k＝0，在y轴上的截距b＝2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－.因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
巩固训练2 解析：(1)直线的斜率为tan 60°＝，由题意可知，所求直线的方程为y＝x－2.
(2)由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．
答案：(1)D (2)－1
例3 解析：(1)证明：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
(2)由题意可知＝＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
巩固训练3 解析：(1)由直线y＝(x＋3)，得所求直线的斜率为，其方程为y－3＝(x＋1)．
(2)证明：方法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
方法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令，解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
答案：(1)C (2)见解析2.2.2 直线的两点式方程
[课标解读] 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
教材要点
要点一 直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2， y1≠y2 ＝ 斜率存在 且不为0
状元随笔 两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写出方程．
要点二 直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ________ 斜率存在且不为0，不过原点
状元随笔 不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－y1)的适用范围相同．( )
(3)截距相等的直线都可以用方程＝1表示.( )
(4)不经过原点的直线都可以用＝1表示．( )
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A.可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
3．过(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4．如图，直线l的截距式方程是＝1，则( )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
5．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
题型 1 直线的两点式方程
例1 如图，已知A(1，2)，B(－1，4)，C(5，2)．
(1)求线段AB中点D的坐标；
(2)求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程．
方法归纳
求直线的两点式方程的策略
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断两点的连线是否垂直于坐标轴，再考虑是否用两点式求方程．
巩固训练1 (1)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程是( )
A．x－y－5＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－5＝0 D．x＋y－1＝0
(2)已知点P(x，2)在过M(－2，1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是________．
题型 2 直线的截距式方程
例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
方法归纳
用直线的截距式求直线方程时的两个策略
巩固训练2 求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
题型 3 直线方程的灵活应用
例3 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)．求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的中线AD所在直线的方程．
方法归纳
求直线方程时方程形式的选择技巧
巩固训练3 已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8)．
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
易错辨析 忽视截距为零引发的错误
例4 求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
解析：当在x、y轴上的截距均为零时，
所求直线的方程为：y＝x.
当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＝1，
把点M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.
综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y＝5.
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了截距为零的情况，直接由＝1得直线方程产生了漏解． “截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论．
2.2.2 直线的两点式方程
新知初探·课前预习
要点二
＝1
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
答案：B
3．解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，
所以＝，即＝.
答案：B
4．解析：M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
答案：B
5．解析：直线方程为＝，化为截距式为＝1，则在x轴上的截距为－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为A(1，2)，B(－1，4)，所以线段AB中点D的坐标为()，即D(0，3)．
(2)△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5，2)，D(0，3).所以线段CD所在的直线方程为＝，化简可得x＋5y－15＝0.
巩固训练1 解析：(1)由已知得直线的两点式方程为＝，即x＋y－1＝0.
(2)过M，N两点的直线的方程为＝，
又P(x，2)在此直线上，所以当y＝2时，x＝－3.
答案：(1)D (2)－3
例2 解析：方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1.
∵点(4，－3)在直线上，
∴＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝||，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
巩固训练2 解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为＝1，
将点(5，2)代入方程得＝1，解得a＝，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
例3 解析：(1)∵B(2，1)，C(－2，3)，
∴由两点式得BC所在直线的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)易得BC边的中点D的坐标为(0，2)．
∵BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)，
∴由截距式得AD所在直线的方程为＝1，
即2x－3y＋6＝0.
巩固训练3 解析：(1)由已知得直线l的两点式方程为＝，所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＝1.
(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为×4×8＝16.2.2.3 直线的一般式方程
[课标解读] 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
教材要点
要点一 直线方程的一般式
1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)都表示一条直线，把它叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
状元随笔 ①x的系数为正；②x，y的系数及常数项一般不出现分数；③按含x项，含y项、常数项顺序排列．
要点二 直线各种形式方程的互化
状元随笔 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式．( )
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )
(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( )
(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( )
2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为( )
A． B．
C．－ D．－
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
题型 1 直线方程的一般式
例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是、－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
方法归纳
求直线的一般式方程的策略
巩固训练1 (1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0
C．x－y－5＝0
D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0
(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为________．
题型 2 一般式下直线的平行与垂直的问题
例2 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；
(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．
方法归纳
一般式在直线平行、垂直中的应用
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)平行：①A2，B2，C2均不为0，l1∥l2 ＝≠；
②A2，B2中有一个为0，则根据A1，B1是否为0判断位置关系；
③若C2为0，则根据①只需判断A1，B1与A2，B2的关系．
(2)垂直：l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
巩固训练2 (1)已知直线l1：(m＋2)x－(m－2)y＋2＝0，直线l2：3x＋(m＋2)y－5＝0，若l1⊥l2，则m＝( )
A．2或－5 B．－2或－5
C．2或5 D．－2或5
(2)若过点O(0，0)和M(1，3)的直线与直线ax－y－2＝0平行，则a＝________．
题型 3 含参数的一般式方程
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
方法归纳
已知含参数的直线的一般式方程
求参数的值或取值范围的步骤
巩固训练3 若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
易错辨析 忽视特殊情形，转化不等价致错
例4 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．
解析：由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
两直线显然不重合，即l1∥l2.
当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.两直线重合．故m的值为－1.
易错警示
出错原因 纠错心得
易忽略检验截距是否相等 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1B2－A2B1＝0 l1∥l2或l1与l2重合． 所以，由A1B2－A2B1＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合．
2.2.3 直线的一般式方程
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：直线方程的斜截式为：y＝－x－3，斜率为－.
答案：D
3．解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
答案：B
4．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.
答案：D
5．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1 解析：选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
巩固训练1 解析：(1)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(k≠0)，
因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－，
所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；
若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1(a≠0)，
因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5，
所以直线方程为＝1，即x－y＋5＝0.
故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.
(2)设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，
因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝＝，
所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2，
所以直线的方程为：y－1＝－2(x＋2)，
所以直线的一般式方程为：2x＋y＋3＝0.
答案：(1)D (2)2x＋y＋3＝0
例2 解析：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3.
(2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
巩固训练2 解析：(1)根据题意，由l1⊥l2，则有：3(m＋2)－(m－2)(m＋2)＝0，解得：m＝－2或m＝5.
(2)因为过点O(0，0)和M(1，3)的直线与直线ax－y－2＝0平行，
所以k＝＝a，
解得a＝3.
答案：(1)D (2)3
例3 解析：(1)方法一 将直线l的方程整理为
y－＝a(x－)，
∴直线l的斜率为a，且过定点A()，
而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二 直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A()．以下同方法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．
巩固训练3 解析：(1)由解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
(2)由－＝1，解得m＝0.2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
[课标解读] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求两点间的距离公式．
教材要点
要点一 两直线的交点
已知两直线l1: A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l: Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
状元随笔
如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点．
要点二 两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 ________ 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 ____
状元随笔
(1)判断l1与l2相交还可以用A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)来判断．
(2)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则l1与l2相交 k1≠k2.
要点三 两点间的距离公式
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离公式：
|P1P2|＝________________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(2)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( )
(3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( )
(4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B．
C．3 D．
4．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
题型 1 两条直线的交点问题
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
方法归纳
解一元二次方程组的2种常用方法
巩固训练1 (1)若直线x＋by＋9＝0经过直线5x－6y－17＝0与直线4x＋3y＋2＝0的交点，则b等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(2，4)的直线方程为 ________．
题型 2 过两直线交点的直线系方程
例2 (1)求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
(2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点．
方法归纳
求过两条直线交点的直线方程的2种方法
巩固训练2 (1)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
(2)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是________．
题型 3 两点间距离公式的应用
例3 (1)求直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标．
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
巩固训练3 (1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
(2)已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
易错辨析 因考虑问题不全面而致误
例4 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为( )
A．a≠±1 B．a≠1且a≠－2
C．a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
解析：(1)若三条直线交于一点，由
解得将l2，l3的交点(－a－1，1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.①
(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1，②
当a＝1时，l1与l2重合．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，
当a＝1时，l2与l3重合．
(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点．
所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.
答案：D
易错警示
易错原因 纠错心得
易忽视了任意两条平行或重合及三条直线相交于一点的情况 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
新知初探·课前预习
要点二
无数个 平行
要点三
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：解方程组得故两条直线的交点坐标为(2，3)．
答案：B
3．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.
答案：B
4．解析：联立解得
∴交点(－1，1)在第二象限．
答案：B
5．解析：BC的中点坐标为(0，1)，
则BC边上的中线长为＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
巩固训练1 解析：(1)由题意知
解得代入x＋by＋9＝0，
即1－2b＋9＝0，解得b＝5.
(2)联立直线l1与l2，，解得：，直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1，1)，又直线的一个方向向量v＝(2，4)，所以直线的斜率为2，故该直线方程为：y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0
答案：(1)D (2)2x－y－1＝0
例2 解析：(1)方法一 解方程组
得所以两直线的交点坐标为(－，－)．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝，代入(*)式得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.
(2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.
所以，已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点．
解方程组得
所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2，1)．
巩固训练2 解析：(1)设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.
(2)直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0，
由题意，可得
所以x＝－2，y＝1，
所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点(－2，1)．
答案：(1)B (2)(－2，1)
例3 解析：(1)设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且 ＝，
两式联立解得或
所求点的坐标为(－3，4)，(－1，2)．
(2)证明：设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
巩固训练3 解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
[课标解读] 1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
教材要点
要点一 点到直线的距离
1．定义：点到直线的垂线段的长度．
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________．
状元随笔
给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离．
要点二 两条平行直线间的距离
1．定义：夹在两条平行直线间的共垂线段的长．
2．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________．
状元随笔
利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．( )
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B．
C．2 D．
3．直线y＝x与直线y＝x＋1间的距离等于( )
A． B．
C．1 D．
4．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
5．已知点A(6，m)到直线x－y＋2＝0的距离为，则m＝________．
题型 1 点到直线的距离
例1 (1)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为1，则m的值为( )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
(2)若直线l经过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(0，－5)到它的距离相等，则l的方程为( )
A．4x－y－2＝0
B．4x＋y－6＝0
C．4x－y－2＝0或x＝1
D．4x＋y－6＝0或x＝1
方法归纳
点到直线的距离的求解策略
巩固训练1 (1)点(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为( )
A．1 B． C． D．2
(2)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为( )
A． B．1 C． D．2
题型 2 两平行线间的距离
例2 (1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
方法归纳
解决两条平行直线间的距离问题的2种常用方法
巩固训练2 (1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( )
A.a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
(2)若斜率为2的直线m被直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0所截得的线段为AB，则线段AB的长为________．
题型 3 距离公式的综合应用
例3 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
方法归纳
利用直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
巩固训练3 已知坐标平面上三点A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，过点C作AB的平行线交x轴于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积．
易错辨析 选用直线方程的形式不当引发错误
例4 过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
易错警示
易错原因 纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错． 一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
新知初探·课前预习
要点一
(A，B不全为0)
要点二
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.
答案：D
3．解析：直线y＝x即为x－y＝0，直线y＝x＋1即为x－y＋1＝0，因为两直线平行，所以距离d＝＝.
答案：B
4．解析：点(5，－3)到直线x＋2＝0即x＝－2的距离为d＝5－(－2)＝7.
答案：A
5．解析：由题意＝，解得m＝6或10.
答案：6或10
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为1，
∴＝1，
解得：m＝15或5.
(2)当直线斜率不存在时，x＝1，显然A(2，3), B(0，－5)到它的距离相等，符合题设；
当直线斜率存在时，y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0，
根据题设，＝，即|k－1|＝|7－k|，可得k－1＝±(7－k)，解得k＝4，
∴l的方程为4x－y－2＝0.
综上，l的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
答案：(1)D (2)C
巩固训练1 解析：(1)(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为
d＝＝.
(2)最小值即为O到直线x＋y－1＝0的距离，即
d＝＝.
答案：(1)B (2)A
例2 解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1)C (2)2x－y＋1＝0
巩固训练2 解析：(1)∵两直线平行，∴2＝，解得a＝6，
将2x－y＋3＝0化为6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
(2)直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0得斜率为－，
直线m的斜率为2，故直线m与直线l1，l2垂直，
由两条平行直线的距离公式可得|AB|＝＝.
答案：(1)D (2)
例3 解析：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0),
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为
3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为
3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
巩固训练3 解析：(1)根据题意，A(5，1)，B(7，－3)，则kAB＝＝－2，又由AB∥CD知，kCD＝－2，则直线CD的方程为y＋8＝－2(x－2)，即2x＋y＋4＝0.
令y＝0，解得x＝－2，则D(－2，0)．
(2)因为|AB|＝2，|CD|＝4，AB∥CD，故四边形ABCD为梯形，点A(5，1)到直线CD：2x＋y＋4＝0的距离为＝3，所以四边形ABCD的面积S＝×(2＋4)×3＝45.
