第1课时 数列的概念
【课标解读】
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法．
2．掌握数列的分类，了解数列的单调性．
3．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项．
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点一 数列的概念
1．数列的定义：
按照________排列的一列数称为数列 .
2．数列的项 ：
数列中的________叫做这个数列的项，排在第一个位置上的数叫做数列的________或叫做数列的________，排在第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，……，排在第n个位置上的数叫做这个数列的________．
批注 (1)如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列；
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
批注 数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．
要点二 数列的分类
分类标准 名称 含义
根据项 的个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
根据项 的大小 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数数列 各项都________的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
要点三 数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么________________构成了一个数列{f(n)}．
批注 数列是一种特殊的函数．
要点四 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个式子表示，那么这个式子就称为数列{an}的通项公式 .数列的通项公式就是数列的函数解析式．
批注 (1)并不是所有数列都能写出其通项公式；
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的．
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．( )
(2)数列中的项互换次序后还是原来的数列．( )
(3)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．( )
(4){an}与an的意义一样，都表示数列．( )
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是( )
A.递增数列 B．递减数列
C.摆动数列 D．常数列
3．若数列的通项公式为an＝，则该数列的第5项为( )
A. B． C． D．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，从第________项起各项均大于10.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 数列的概念及分类
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，－1，2，－3，4，－5，….
[听课记录]
【方法总结】
1.有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．
巩固训练1 下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是( )
A．1，2，3，…，20
B．－1，－2，－3，7
C．1，2，3，2，5，6
D．－1，0，1，2，…，100，…
题型2 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下面各数列的一个通项公式：
(1)－1，，－；
(2)，3，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
[听课记录]
【方法总结】
观察法写出数列的通项公式的策略
巩固训练2 数列1，－，－，…的通项公式可能是( )
A．an＝(－1)n－1
B．an＝(－1)n
C．an＝(－1)n－1
D．an＝(－1)n
题型3 数列的函数特性
例3 在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出{an}的图象；
(2)根据图象写出数列{an}的增减性.
[听课记录]
【方法总结】
画数列的图象的方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
巩固训练3 若数列{an}的通项公式为an＝4n－5，则关于此数列的图象叙述不正确的是( )
A．此数列不能用图象表示
B．此数列的图象仅在第一象限
C．此数列的图象为直线y＝4x－5
D．此数列的图象为直线y＝4x－5上满足x∈N*的一系列孤立的点
第四章 数列
4．1 数列的概念
第1课时 数列的概念
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．确定的顺序
2．每一个数 首项 第1项 第n项
要点二
有限 无限 大于 小于 相等
要点三
f(1)，f(2)，…，f(n)，…
[夯实双基]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列an是递减数列．故选B.
答案：B
3．解析：∵a5＝＝，故选C.
答案：C
4．解析：令n＋>10，即n2－10n＋16>0，解得：n<2或n>8，又n∈N*，∴从第9项起，各项均大于10.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1 解析：(5)是有穷数列；
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；
(2)是递增数列；
(1)(4)(5)是递减数列；
(3)是常数列．
巩固训练1 解析：根据数列的分类方法可知D正确．故选D.
答案：D
例2 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
巩固训练2 解析：将数列1，－，－，…变为，－，－，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，再结合正负的调节，可知其通项为an＝n－1.故选C.
答案：C
例3 解析：(1)列表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，….
图象如图所示．
(2)数列{an}在n＝1，2，3，4时是递减的，在n＝5，6，7，…时是递增的．
巩固训练3 解析：数列{an}的通项公式为an＝4n－5，它的图象就是直线y＝4x－5上满足x∈N*的一系列孤立的点．
故选：D.
答案：D第2课时 数列的递推公式
【课标解读】
1.判断一个实数是否为某个数列的项．
2．理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题．
3．会用数列的前n项和与通项关系求通项公式．
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点一 数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 .
批注 用递推公式给出一个数列，必须给出：(1)“基础”—数列的第1项(或前几项)；(2)递推关系—数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．
要点二 数列的前n项和Sn与an的关系
1．数列{an}的前n项和Sn：指数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，通常用________表示，即Sn＝________________；
2．an 与Sn的关系
当n＝1时a1＝________；当n≥2时，an＝________；故an＝
批注 (1)已知数列{an}的前n项和Sn求an，一般使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*)．
(2)由Sn－Sn－1求得的an，若当n＝1时an的值不等于S1的值，则数列的通项公式应采用分段表示．
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法．( )
(2)所有数列都有递推公式．( )
(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.( )
(4)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．( )
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A．－3 B．－11 C．－5 D．19
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＝1＋，则a3＝( )
A．2 B．
C． D．
4．数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a3＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 数列通项公式的简单应用
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项．
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[听课记录]
【方法总结】
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
巩固训练1 在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
题型2 数列的递推公式
例2 根据下列条件，写出各数列的前5项．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N，n≥1)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N，n≥1)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N，n≥1)．
[听课记录]
【方法总结】
由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
巩固训练2 已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前5项．
题型3 已知Sn求an
例3 已知数列{an}的前n项和Sn，满足关系lg (Sn－1)＝n(n∈N，n≥1)，求{an}的通项公式．
[听课记录]
【方法总结】
已知Sn求an的一般步骤
巩固训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n∈N*)．
(1)求S2，S3，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
第2课时 数列的递推公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
一个式子
要点二
1．Sn a1＋a2＋a3＋…＋an
2．S1 Sn－Sn－1 S1 Sn－Sn－1
[夯实双基]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.
答案：D
3．解析：根据题意，a1＝2，a2＝1＋＝，a3＝1＋＝.故选C.
答案：C
4．解析：a3＝S3－S2＝(23-1)-(22-1)＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)根据an＝3n2－28n，
得a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍)，
∴－49是该数列的第7项．
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝，均不是正整数，
∴68不是该数列的项．
巩固训练1 解析：(1)令an＝－107，即－2n2＋9n＋3＝－107，2n2－9n－110＝0，
解得n＝10或n＝－(舍去)．所以a10＝－107.
(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋，
由于n∈N*，所以最大项为a2＝13.
例2 解析：(1)a1＝0，∴a2＝a1＋2×1－1＝1，a3＝a2＋2×2－1＝4，a4＝a3＋2×3－1＝9，
a5＝a4＋2×4－1＝16.
(2)∵a1＝1，∴a2＝a1＋＝，a3＝a2＋＝2，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝3.
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝5，a4＝3a3－2a2＝15－6＝9，
a5＝3a4－2a3＝27－10＝17.
巩固训练2 解析：由题意，得a2＝3a1＋，而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.
同理a3＝3a2＋＝10，
a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
例3 解析：由lg (Sn－1)＝n得Sn＝10n＋1，
则n＝1时，a1＝S1＝11；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝9·10n－1，
当n＝1时，9·10n－1＝9≠a1，
∴an＝
巩固训练3 解析：(1)S2＝3，S3＝6，a3＝S3－S2＝6－3＝3.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝n，
a1＝1满足上式，所以an＝n.第1课时 等差数列的概念和通项公式
【课标解读】
1.理解等差数列、等差中项的概念．
2．掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．
3．掌握等差数列的判断与证明方法．
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点一 等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 ，那么这个数列称为等差数列，这个________叫做等差数列的________，公差通常用字母________表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
要点二 等差中项
在两个数a，b之间插入数A，使a，A，b成等差数列，则A称为a与b的等差中项 ，即2A＝________．
批注 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．
批注 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．
反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N*均成立，则数列{an}是等差数列．
要点三 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝____________．
要点四 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上．
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}满足an＋1－an＝1(n>1)，则数列{an}是等差数列．( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
(4)一个无穷等差数列{an}中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( )
2．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
3．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
A． B．±
C．3 D．±3
4．已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等差数列的通项公式及应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
[听课记录]
【方法总结】
求等差数列通项公式的方法
巩固训练1 (1)[2022·山东枣庄高二期末]已知等差数列{an}，若a3＝4，a5＝10，则a1＝( )
A．1 B．－1
C．－2 D．3
(2)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
题型2 等差中项及其应用
例2 (1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是__________．
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
[听课记录]
【方法总结】
(1)涉及等差数列中相邻三项的问题可用等差中项求解；
(2)若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．
巩固训练2 已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝____________．
题型3 等差数列的判定与证明
例3 已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[听课记录]
【方法总结】
证明一个数列是等差数列的2种常用方法
巩固训练3 已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：数列是等差数列．
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念和通项公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
2 常数 公差 d
要点二
a＋b
要点三
a1＋(n－1)d
[夯实双基]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
故选A.
答案：A
3．解析：由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
故选C.
答案：C
4．解析：∵a7＝a1＋6d＝8，∴a1＝8－6×(－)＝10.
答案：10
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设{an}的公差为d，
因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项；
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
巩固训练1 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝4，a5＝10，
所以，解得.
故选C.
(2)∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
答案：(1)C (2)见解析
例2 解析：(1)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m与n的等差中项为＝＝3.
(2)因为－1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
则b＝＝3，
又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5.
所以该数列为－1，1，3，5，7.
答案：(1)3 (2)见解析
巩固训练2 解析：由题意知a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，
则a2＋a3－(a1＋a2)＝2，
即a3－a1＝2＝2d，
∴d＝1.
答案：1
例3 解析：(1)证明：∵bn＋1－bn＝
＝
＝
＝＝，
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
巩固训练3 解析：(1)若{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
是一个与n无关的常数，所以2p＝0，即p＝0.
所以p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)证明：因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p是一个与n无关的常数，
所以数列是等差数列．第2课时 等差数列的性质
【课标解读】
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点 等差数列的性质
1．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则________．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则__________．
2．等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
批注 熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.( )
(2)若数列{an}为等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差数列．( )
(3)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t，则am＋an＋ap＝3at.( )
2．已知{an}是等差数列，则下列数列中的{bn}也为等差数列的是( )
A．bn＝ B．bn＝
C．bn＝a3n D．bn＝|an|
3．在等差数列{an}中，a2＋a8＝3，则a4＋a6＝( )
A．6 B．3
C．2 D．1
4．已知等差数列{an}，a1＝3，a5＝7，则a3＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等差数列性质的应用
例1 (1)等差数列{an}中，若a3＝6，a1＋a11＝6，则a9＝( )
A．－1 B．0
C．－2 D．1
(2){an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝21，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．24 B．27
C．30 D．33
[听课记录]
【方法总结】
观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
巩固训练1 (1)在等差数列{an}中，若a4＋a7＋a10＝10，则a3＋a11＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝____________．
题型2 等差数列的实际应用
例2 某公司经销一种产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[听课记录]
【方法总结】
解答数列实际应用问题的基本步骤
巩固训练2 [2022·山东泰安高二期末]中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是( )
A．戊分得34文，己分得31文
B．戊分得31文，己分得34文
C．戊分得28文，己分得25文
D．戊分得25文，己分得28文
题型3 等差数列的综合问题
例3 (1)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．
(2)在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数．
[听课记录]
【方法总结】
(1)等差数列的设项技巧：
已知三个数成等差数列时，设为a－d，a，a＋d；
已知四个数成等差数列时，设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(2)两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．
巩固训练3 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；
(2)已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，它们有多少个共同项？
第2课时 等差数列的性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap
[夯实双基]
1．(1)× (2)√ (3)×
2．解析：{a3n}为等差数列，公差为原来的3倍．
故选C.
答案：C
3．解析：因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＝a2＋a8＝3，
故选B.
答案：B
4．解析：由题意2a3＝a1＋a5＝10，a3＝5.
答案：5
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)因为1＋11＝3＋9，
所以a1＋a11＝a3＋a9，所以a9＋6＝6，所以a9＝0；
故选B.
(2)因为{an}是等差数列，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×21－15＝27.
故选B.
答案：(1)B (2)B
巩固训练1 解析：(1)因为10＝a4＋a7＋a10＝a7＋2a7，解得：a7＝4，所以a3＋a11＝2a7＝8.
故选D.
(2)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
答案：(1)D (2)35
例2 解析：设第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，
∴每年的利润可构成一个等差数列{an}，
且公差d＝－20，
∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
由an＝220－20n<0，得n>11.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
巩固训练2 解析：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，a＋3d，
则，解得，
所以戊分得a＋d＝28(文)，己分得a＋2d＝25(文)，
故选C.
答案：C
例3 解析：(1)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
解得或
∴这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2.
(2)记数列2，5，8，…，197为{an}，由已知，数列{an}的首项为2，公差为3，
∴通项公式为an＝3n－1.
记数列2，7，12，…，197为{bm}，则bm＝5m－3，
若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，
即an＝bm，∴3n－1＝5m－3，
∴n＝＝m＋.
又n∈N*，∴必须有m－1＝3k，
即m＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5m－3≤197，
∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40.
∴两数列的相同项为2，17，32，…，197.
记两数列的相同项构成的数列为{cn}，则{cn}的通项公式为cn＝15n－13，共有＋1＝14个相同项．
巩固训练3 解析：(1)设这三个数为a－d，a，a＋d.
解得或
∴这三个数为5，7，9或9，7，5.
(2)设两数列的共同项组成新数列{an}，则{an}是首项为11的等差数列．
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3与4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别为302与399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25.
∵n∈N*，∴所给两数列有25个共同项．第1课时 等差数列的前n项和
【课标解读】
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．
2．掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．
3．掌握等差数列的前n项和的简单性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点一 等差数列的前n项和公式
(1)Sn＝.
(2)Sn＝________________．
批注 两个公式均为等差数列的求和公式，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．通常已知其中三个，可求其余两个，而且方法就是解方程(组)，这也是等差数列的基本问题形式之一．
批注 用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如a1＋an＝ak＋an－k＋1，从而有Sn＝.
要点二 等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.( )
(2)知道等差数列的首项、公差与前n项和可求项数n.( )
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．( )
(4)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．( )
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9＝( )
A．45 B．52
C．108 D．54
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，则a5＝( )
A．10 B．13
C．15 D．18
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等差数列前n项和的基本计算
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
[听课记录]
【方法总结】
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差数列的性质解题
巩固训练1 (1)[2022·河北沧州高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－4，S5＝0，则a1＝( )
A．－8 B．－4
C．4 D．8
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝1，{an}的前n项和为Sn，若S7＝42，则公差d＝________．
题型2 等差数列前n项和性质的应用
例2 (1)[2022·山东淄博实验中学高二月考]等差数列{an}，的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则的值为____________．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1 220，求S30.
[听课记录]
【方法总结】
等差数列前n项和计算的三种方法
巩固训练2 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．
(2)[2022·河北邯郸高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝7，则S102＝( )
A．67 B．1 122
C．1 156 D．1 190
4．2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
na1＋d
[夯实双基]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：S9＝＝＝54.故选D.
答案：D
3．解析：由题意得解得所以a5＝a1＋4d＝13.
故选B.
答案：B
4．解析：∵数列{an}为等差数列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
解得：S12＝36.
答案：36
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
巩固训练1 解析：(1)设等差数列{an}公差为d，
由S5＝＝5a3＝0得：a3＝0；又a5＝S5－S4＝4，
∴2d＝a5－a3＝4，∴a1＝a3－2d＝0－4＝－4.故选B.
(2)由题意，数列{an}为等差数列，且a3＝1，S7＝42，
可得，即，解得d＝5.
答案：(1)B (2)5
例2 解析：(1)由题意得：S9＝＝9a5，同理可得：T9＝＝9b5，所以＝＝＝.
(2)方法一：设数列{an}的公差为d，
由已知，得
解得
∴S30＝30×4＋×30×29×6＝2 730.
方法二：∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
(方法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
由题意，得解得
∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.
(方法四)由Sn＝na1＋d，
得＝a1＋(n－1)，
∴是以a1为首项，为公差的等差数列，
∴成等差数列，
∴＝2×，
∴S30＝30()＝30×(122－31)＝2 730.
答案：(1) (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)因为＝，
所以＝＝＝＝＝2，
故选C.
(2)因为{an}为等差数列，
所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…构成等差数列{bn}，且b1＝1，b4＝7，∴d＝2.
∵S102－S99＝b34，
∴S102＝b1＋b2＋…＋b34＝34×1＋×2＝1 156.
故选C.
答案：(1)C (2)C第2课时 等差数列的前n项和公式
【课标解读】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2．会解等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
新知初探·课前预习——突出基础性
【教 材 要 点】
要点一 数列中an与Sn的关系
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝.
要点二 等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
批注 用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
【夯 实 双 基】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)对于数列{an}，一定有关系式an＝Sn－Sn－1.( )
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn一定同时存在最大值和最小值．( )
(4)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn一定有最小值，d<0，则该数列Sn一定有最大值．( )
2．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2＋2n，则a5＝( )
A．－21 B．11
C．27 D．35
3．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
4．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 an与Sn的关系的应用
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}是否为等差数列？
[听课记录]
【方法总结】
已知Sn求an的一般步骤
巩固训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
题型2 等差数列前n项和公式的实际应用
例2 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
[听课记录]
【方法总结】
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
巩固训练2 [2022·山东安丘高二期中]《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第1个孩子分得棉花的斤数为( )
A．48 B．65
C．82 D．99
题型3 等差数列前n项和的最值
例3 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为____________．
[听课记录]
变式探究1 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为____________．
变式探究2 将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2 022＋a2 023>0，a2 022·a2 023<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.
【方法总结】
1.在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法
2．寻求正、负项分界点的方法
巩固训练3 (1)(多选)[2022·江苏常州高二期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则( )
A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0
C．a7＝0 D．S11＜0
(2)已知等差数列5，4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．
第2课时 等差数列的前n项和公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
S1 Sn－Sn－1
要点二
(1)最大 最小
(2)最小 最大
[夯实双基]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：由Sn＝n2＋2n得S5＝52＋2×5＝35，S4＝42＋2×4＝24，所以a5＝S5－S4＝35－24＝11，
故选B.
答案：B
3．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N*，∴n＝14.故选B.
答案：B
4．解析：从下向上各层所放铅笔数依次为1，2，3，…，120，
从下向上各层所放铅笔数是首项为1，公差为1的等差数列，
所以共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝＝7 260(支)．
答案：7 260
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列．
巩固训练1 解析：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]
＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
例2 解析：(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)；
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列，所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人．
巩固训练2 解析：依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，
则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋＝996，解得a1＝65，即第1个孩子分得棉花的斤数为65斤．
故选B.
答案：B
例3 解析：解法一：函数法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝.从而Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.
故当n＝7时，Sn最大．
解法二：通项变号法
由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
答案：7
变式探究1 解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－)2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．
答案：12或13
变式探究2 解析：∵a1>0，a2 022＋a2 023>0，a2 022·a2 023<0，
∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．
∴a2 022>0，a2 023<0.
且|a2 022|>|a2 023|，
∴a2 022＋a2 023＝a1＋a4 044>0，
∴S4 044＝>0，
又∵a1＋a4 045＝2a2 023＜0，
∴S4 045＝＜0，
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 044.
巩固训练3 解析：(1)由S50, S6＝S7得S7－S6＝a7＝0，
由S7>S8得S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d<0，故选项B正确．
所以a1，a2，a3，a4，a5，a6为正，a7＝0，从第8项起均为负. 故选项C正确．
所以S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，故选项A不正确．
S11＝×11＝11a6>0，故选项D不正确．
故选BC.
(2)方法一：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，
所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋.
于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．
方法二：an＝a1＋(n－1)d
＝5＋(n－1)×(－)
＝－n＋.
令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.
故前n项和是从第9项开始减小又S7＝S8，
所以前7项或前8项和最大．
答案：(1)BC (2)见解析
