四川省成都市郫都区重点中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含解析）

四川省成都市郫都四中2023-2024学年第一学期第三次月考
高二数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 双曲线 的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
2. 在空间直角坐标系 中, 点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3. 已知直线 , 下列说法正确的是( )
A.倾斜角为 B.倾斜角为
C.方向向量可以是 D.方向向量可以是
4. 在平面内, 已知两定点 间的距离为 2 , 动点满足. 若, 则的面积为( )
A. B.
C. D.
5. 某种心脏手术, 成功率为 0.6 , 现采用随机模拟方法估计“ 3 例心脏手术全部成功”的概率: 先利用计算器或计算机产生 之间取整数值的随机数, 由于成功率是 0.6 , 我们用表示手术不成功, 4,5 ,表示手术成功; 再以每 3 个随机数为一组, 作为 3 例手术的结果, 经随机模拟产生如下 10 组随机数:
由此估计“ 3 例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
6. 已知圆 和直线. 若圆与圆关于直线对称, 则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7. 设点 , 抛物线的焦点为为抛物线上与直线不共线的一点, 则周长的最小值为( )
A.18 B.13 C.12 D.7
8. 正方体 的棱长为分别为的中点, 则( )
A.
B.直线 与直线夹角是
C.点 到平面的距离为
D.直线 与平面平行
二、多项选择题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知一组数据 的平均数为 5 , 则此组数据的( )
A.众数为 2 B.上四分位数为 4
C.极差为 3 D.方差为
10. 将一枚质地均匀的股子抛郑一次, 记下骰子面朝上的点数, 设事件 “记下的点数为 3 ” , 事件“记下的点数为偶数” , 事件“记下的点数小于 3 ” , 事件“记下的点数大于 2 ”, 则( )
A.事件 与互斥 B.事件 与互斥
C.事件 与对立 D.事件 与对立
11. 已知圆 , 点, 下列说法正确的是( )
A.直线 过定点
B.圆 上存在两个点到直线的距离为 2
C.过点 A 作圆 的切线, 则的方程为
D.若点 是圆上一点,, 当最小时,
12. 过抛物线 的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点, 则下列说法正确的是( )
A.当线段 垂直于轴时,
B.以线段 为直径的圆与直线相切
C.点 的轨迹方程为
D.当 时,
三、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．
13.准线方程为 的抛物线的标准方程为_____________.
14.已知向量 , 且, 则实数______________.
15.甲、乙两人进行象棋比赛, 已知甲胜乙的概率为 0.5 , 乙胜甲的概率为 0.3 , 甲乙两人平局的概率为 0.2 若甲乙两人比赛两局, 且两局比赛的结果互不影响, 则乙至少贏甲一局的概率为_______.
16.已知椭圆 的左右焦点为. 直线与椭圆相交于两点, 若, 且, 则椭圆的离心率为__________.
四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）已知点 , 直线.
(1) 求经过点 且与直线垂直的直线的方程;
(2) 过点 作直线的平行线, 求与的距离.
18. （本题满分12分）已知双曲线 的两个焦点为, 且过点
(1) 求双曲线 的虚半轴长;
(2) 求与求双曲线 有相同的渐近线, 且过点的双曲线的标准方程.
19. （本题满分12分）为了普及“宪法”知识, 梓潼社区针对本社区中青年人举办了一次“究法”知识竞赛, 满分 100 分 (95 分及以上为认知程度高), 结果认知程度高的有 人, 按年齡分成 5 组, 其中第一组:, 第二组:,第三组:, 第四组:, 第五组:, 得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这 m 人的平均年龄和第 80 百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任本校的“宪法”宣传使者.现计划从第四组 和第五组被抽到的使者中，随机抽取 2 名作为组长，求两位组长来自不同组的概率.
20. （本题满分12分）已知圆 内有一点, 过的直线交圆于两点.
(1) 当 为弦的中点时, 求直线的方程;
(2) 若圆 与圆相交于两点, 求直线的方程及.
21. （本题满分12分）如图四边形 是平行四边形,, 四边形是梯形,, 且,, 沿将四边形翻折后使得平面平面.
(1) 求证: 平面;
(2) 求二面角 的正弦值.
22. （本题满分12分）如图, 在圆 上任取一点, 过点作轴的垂线段为垂足.
(1) 当点 在圆上运动时, 求线段的中点的轨迹方程:
(2) 过点 作圆的切线与动点的轨迹相交于两点, 求面积的最大值.
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】由双曲线 的渐近线方程为，
可得双曲线 的渐近线方程为.
2. 【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中, 某点关于 平面的对称点在轴、轴上的坐标均不变,
轴上的坐标变为对应的相反数即可,
所以 关于平面的对称点的坐标为.
3. 【答案】A
【解析】因为直线 的方程为, 所以直线的
斜率 ,
又 , 所以直线的倾斜角为,
故A正确, B错误;
对于 C, 若直线 l的方向向量为 , 则斜率为, 与题意矛盾, 故C错误;
4. 【答案】B
【解析】设 .动点 满足，
动点的轨迹为椭圆，
方程为 .又 ,
故选 B.
5. 【答案】A
【解析】由题意 10 组随机数： , 989, 730,537, 925, 907,
表示“ 3 例心脏手术全部成功”的有: 569,989 , 有 2 个,
所以 “ 3 例心脏手术全部成功” 的概率约为
6. 【答案】B
【解析】圆 与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称，
可得 , 化简得, 解得,
又两圆半径相等, 故圆 的方程为.
故选: B.
7. 【答案】C
【解析】如图所示, 过 作准线的垂线, 垂足为,由题意可得：,
周长:
,
周长最小即最小,
当三点在一条直线上时取得最小值,
周长最小值为:,
故选: C.
8. 【答案】D
【解析】由题知，正方体 的棱长为 1 ,
分别为的中点，
对于
A错;
由 知，，
所以
,
又 ，,
所以直线 与直线夹角余弦值为，
B错；
根据已知作空间直角坐标系如图，则
设 是平面的一个法向量，
则 ，得，
令 ，则，即，
所以点 到平面的距离为C错；
由 C 知，平面 的一个法向量，
又 ，所以 ，
所以 与垂直，不在平面内,
即直线 与平面平行， D 正确.
9. 【答案】AD
【解析】由题意可得 , 所以A正确:
极差为 , 故C错误;
对于D：, D正确.
10. 【答案】ABD
【解析】依题意骰子面朝上的点数可能为1、2、3、4、5、6共6个基本事件
则事件B=“记下的点数为偶数包含24、6共3个基本事件
事件C=“记下的点数小于3”包含1、2共2个基本事件
事件D=“记下的点数大于2”包含3、4、5共4个基本事件，
所以事件4与B互斥，故A正确
事件4与C互斥，故B正确
事件B与D不互斥也不对立，故C错误事件C与D互斥且对立，故D正确
故选:ABD
11. 【答案】AB
【解析】对于 A, 直线 过定点, 故 A 正确;
对于 B, 圆心 到直线的距离,
所以直线与圆相交,所以圆上存在两个点到直线 的距离为 2 , 故 B正确;
对于 C, 当过点 的直线斜率不存在时, 直线方程为,
此时直线与圆相切, 当过点 的直线斜率存在时,
设切线方程为 , 即,
由圆心到切线的距离等于半径,得 , 解得,
所以切线方程为 .
综上,切线方程为 或, 故C错误;
对于 D, 当 PA与圆相切时, 最小,此时, 故 D错误.
12. 【答案】ABC
【解析】
由抛物线的方程为 ,
则该抛物线的焦点 的坐标为,
准线方程为 ,过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,
不妨设直线 的方程为,
联立 ,消 可得,
设 ,则 ,
对于选项 B, 分别过 作抛物线的准线的垂线, 垂足分别为,由抛物线的定义可得
又 ,则 ,
即以线段 为直径的圆与直线相切,即选项 B正确;
对于选项 D, 由 ,
过 作,
不妨设 ,则 ,则 ,
则 ,即直线 的倾斜角为,
则直线 的方程为,即 ,
则 ,
则 ,
即选项D错误;
13. 【答案】
【解析】设顶点在原点, 准线方程为 的抛物线的方程为,
准线方程为,, 解得,
顶点在原点, 准线方程为的抛物线的方程为
故答案为: .
14. 【答案】5
【解析】因为 , 所以存在实数, 使得,即 ,
所以 ,解得 所以
15. 【答案】0.51
【解析】甲、乙两人进行象棋比赛
甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2.
甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响由乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，
乙至少赢甲一局的概率为:.
16. 【答案】
【解析】
设椭圆的右焦点 , 连接,, 由根据平行四边形性质得到,
由余弦定理定理,
由三边关系得到 ,
则 ,
椭圆的离心率,
17. 【答案】(1)(2)5
【解析】(1) 由题意, 可得与直线 垂直的直线斜率为
经过点且与直线垂直的直线的点斜式方程为
化为一般式,得
(2) 过点 作直线的平行线与的距离也是点到直线的距离
与的距离为
18. 【答案】(1) (2).
【解析】(1) 由题意易知 , 且
在 Rt 中,.
由双曲线的定义可知, , 即.
双曲线的两个焦点分别为,
半焦距.
又 .
故双曲线 的虚半轴长为
(II) 由 (I) 知双曲线 的方程为.
设与双曲线 有相同浙近线的双曲线的方程为.
将点 的坐标代人上述方程, 得.
故所求双曲线的标准方程为 .
19. 【答案】(1)32.25 37.5(2)
【解析】(1) 设这 人的平均年龄为,
则 (岁).
设第 80 百分位数为 .由, 解得.
(2) 由题意, 因第四组的人数占比为 , 第五组的人数占比为,
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人, 则应在第四组抽取 4 人, 记为 ,应在第五组抽取 2 人, 记为 1,2 ,
计划随机抽取 2 名作为组长, 其对应的样本空间为:
共 15 个样本点. 设事件 “两位组长来自不同组”, 则共有 8 个样本点.
所以 .
20. 【答案】(1) ; (2)
【解析】(1) 因为 为弦中点, 由垂径定理得,
因为 ,
所以 ,
故直线 的方程为,
即 ;
(2) 与相减得,,
即直线 EF 的方程为 ,
圆心 0 到直线 的距离为,
由垂径定理得 的长度为
21. 【答案】(1)证明见详解(2)
【解析】(1)连接 , 由于,
所以 ,
由余弦定理得 ,
,
,
,
由于 ,
平面平面, 平面平面平面,
平面平面,
平面,
平面;
(2)以 为原点建立空间直角坐标系,,
设平面 和平面的法向量分别为,
, 取,
, 取,
,
设二面角的平面角为 ,
, 即二面角的正弦值为.
22. 【答案】(1)(2)1
【解析】(1) 设 , 则.
为线段的中点,即 .
又点 在圆上,
,即 故点的轨迹方程为
(2) 由题意, 可知 , 且直线的斜率一定存在且不为 0 .
不妨设直线 的方程为, 设.
由直线 与圆相切, 得, 即.
由 ,得 .
恒成立.
则 .
.
将 代入上式, 得.
又原点 到直线的距离等于圆的半径 1 ,
面积=.
当且仅当 , 即时等号成立. 此时, 满足题意.
综上所述, 面积的最大值为 1 .