江西省宜春市万载县2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(A卷)（含解析）

万载县2023-2024学年高二上学期第二次月考
数学试卷（A卷）
考试时间 120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若直线与垂直，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
3．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．5
4．如图，四面体的所有棱长都是2，则（ ）
A． B． C．2 D．1
5．如图，正六边形的顶点是正六边形的对角线的交点.在正六边形内部任取一点，则该点取自正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 B．24 C．32 D．64
8．疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种 B．362种 C．120种 D．240种
二、多选题
9．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等
C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平
10．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的展开式中一共有项 D．
12．对于二项式（为常数且），以下正确的是（ ）
A．展开式有常数项 B．展开式第六项的二项式系数最大
C．若，则展开式的二项式系数和为 D．在上恒成立，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．直线与上任意两点最小距离为 .
14．化简： ．
15．某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的，男性占近期购车车主总数的，女性购车车主有购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 .
16．设，若.则 .
四、解答题
17．已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求的值；
(2)求的展开式的中间两项.
18．3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
19．甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为，乙同学答对每道题的概率都为，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为，两人都答对的概率为．
(1)求和的值；
(2)求本次知识竞赛甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
20．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.
21．甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．
22．如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．

(1)求证：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
参考答案：
1．A
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得，
2．B
【详解】椭圆,则，，，
如图，椭圆的右焦点为，

则,,
由图结合三角形两边之差小于第三边，则，
则当点在射线与椭圆的交点（）时，取最大值，
的最大值为.
3．B【详解】设，由得，又，得，
所以，.
4．C
【详解】四面体的所有棱长都是2，故，
.
5．C
【详解】设正六边形的边长为1，在正六边形中，，
则易得，所以，，
，所以所求概率为.
6．B
【详解】记事件“甲与乙站在同一排”，事件“甲与乙不相邻”，
则，.
由条件概率公式，得.
7．A
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有种，
所以总的方法数有种.
8．D
【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有，
所以不同安排方法有种．
9．BCD
【详解】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
10．AC
【详解】对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确；
对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.
故选：AC
11．AD
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C, 的展开式中一共有项，C错误，
对于D，，D正确，
12．AB
【详解】对于A中，由二项式的展开式的通项为，
令，可得，此时展开式的第6项为常数项，所以A正确；
对于B中，由二项式的展开式，结合二项式系数的性质，
可得展开式的第6项的二项式系数最大，所以B正确；
对于C中，当时，展开式的二项式系数和是，所以C错误；
对于D中，由在上恒成立，
可得或在上恒成立，
即或在上恒成立，
又由在上单调递减，所以，
函数在上单调递减，所以，
所以或，所以D错误.
13．
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以两直线相交，故最小距离为0.
故答案为：
14．
【详解】
，
故答案为：
15．0.7/
【详解】设男性中有购买了新能源车，则，解得，
所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7.
故答案为：0.7
16．4
【详解】展开式的通项公式为：，分别令，，，
则，即，解得：.
故答案为：4.
17．(1)7 (2)，
【详解】（1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，.
（2）由（1）可知，，
的展开式的通项为.
二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
，.
的展开式的中间两项分别为，.
18．(1)288 (2)144 (3)1440
【详解】（1）将男生和女生分别进行捆绑，则分别有和种方案，
再将男生组和女生组进行全排列，故共有种方案；
（2）先将男生进行排列，有种方案，再将女生进行插空，刚好有种方案，
故男、女生间隔排列，共有种方案；
（3）先将女生进行排列，有种方案，再将男生进行插空，有种选择，
故男生互不相邻，共有种方案.
19．(1), (2)
【详解】（1）设“甲同学答对该题”，“乙甲同学答对该题”，
则．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以，，
即，解得．
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为 ．
20．(1)椭圆方程为，离心率为 (2)
【详解】（1）由题意得，，解得，
故，
故椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线方程为，联立得，
，解得，故，
不妨设，
故，
点到直线的距离为，
故.
21．(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，
则甲获胜的概率为
（2）所有可能取值为，，，，，，
，
，，
，，
，
其分布列如下表
.
22．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为，
取中点M，连接CM，则，
,,所以,
即,又平面ABCD，平面ABCD，所以，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC；
（2）以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，
因为E是PB的中点,则
所以．

设平面EAC的法向量为，
则即，令，则
所以平面EAC的法向量为，
显然，平面PDC的法向量为.
设平面PDC和平面EAC的夹角为，为锐角
则．
故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．