2023 级高一月考统一检测
数学试题 2024.01
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．命题“ x R,sin x 1”的否定为（ ）
A． x R, sin x 1 B． x R, sin x 1 C． x R, sin x 1 D． x R,sin x 1
2．记 cos( 800 ) k，那么 tan1000
1 k 2 1 k 2 k k
A． B． C． D．
k k 1 k 2 1 k 2
3．函数 f (x) log 1(x 1) 的定义域为（ ）
2
A． (1, ) B．[2, ) C． (1, 2) D． (1, 2]
4．在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于 1 ，点 P从初始位置 0,1 开始，在圆
2
C上按逆时针方向，以角速度 rad / s均速旋转3s后到达 点，则 的坐标为（ ）
9 P P
1 , 3
3 1 1 3 3 1
A． , , ,
2 2
B．
2 2
C．
2 2
D．
2 2
5．2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳
14 年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的55.2%，碳 14 的半衰期为 5730 年，
lg0.5
1.1665
lg0.552 ，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（ ）
A．3500 年 B．2900 年 C．2600 年 D．2000 年
f (x) 1 lg1 x6．已知函数 ，若 f (a)
1
，则 f ( a) （ ）
1 x 2
1
1
3 3
A． B． 2 C． D．2 2 2
| ln(1 x) ，x 1
7．已知函数 f (x) f (x) m 0(x 2)2 , x 1 ，若方程 有 4个不相同的解，则实数 m的
取值范围为（ ）
A． (0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．[0,1]
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x 1 1 22 22
8．已知函数 f x
x2
， x 2,2 ，记 a f log
8 1 3
,b f sin , c f cos3 , d f tan ， 2 5 7
则 a,b,c,d的大小关系为（ ）.
A． c d b a B．b d a c C． a b d c D． c d a b
二、多项选择题：本大题共 4小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题要求.全部选对的得 5 分,选对但不全的得 2 分,有选错的得 0分.
9．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
1
A． f (x) x 3 B． f (x) tan x C． f (x) 3
x 3 x D． f (x) x cos x
10．已知 为第一象限角，下述正确的是（ ）
1
A．0 B． 为第一或第三象限角 C． sin tan D． cos sin
2 2 2
11．已知函数 f x 2sin 2x 3 ，下述正确的是（ ）
y f x A．函数
为偶函数
12
B．函数 y f x 的最小正周期为
y f x C．函数 在区间 ,4 4 上的最大值为 1
y f x k , k 5 D．函数 的单调递增区间为 k Z 12 12
12．已知定义在 R上的函数 f (x)同时满足下列三个条件：① f (x)是奇函数；②
x R,f x
f (x)
；③当 x
0, ，时， f (x) 2
x 1
2 4 ；则下列结论正确的是（ ）
A． f (x)的最小正周期T B． f (x)在 ,4 4 上单调递增
f (x) k C． 的图象关于直线 x 对称D．当 x (k Z )时， f (x) 0
2 2
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.
lg5 1 3
13．若 a a 1 3，则（1） lg23 23a 2a ；（2）a2 a 2 31 log3 2 .
3
3
14．已知 为第二象限角，cos 2sin( ) cos
2 4
，则 .
15．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为 6000 份，每一份
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叫做 1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的
密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百
位数字与十位数字之间画一条短线，如：469 密位写成“ 4 69”1周角等于 6000 密位，记
作“60 00 5”.如果一个扇形的半径为 2 ，面积为 π，则其圆心角可以用密位制表示
6
为 .
16．已知函数 f x ax2 bx c，满足不等式 f x 0的解集为 , 2 t, ，且 f x 1
为偶函数，则实数 t .
四、解答题：（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演
算步骤。）
17．（本小题 10 分）
已知全集U R，集合 A y∣y 2 2sinx, x R 9，集合 B y∣y x 1, x A ，集合
4
C y∣y 2 x 1, x R .
(1)求集合 A B；
(2)求集合 RA C .
18．（本小题 12 分）
sinx cosx
已知函数 f x .
3cosx sinx
(1)若 f 3，求 tan 的值；
(2)若 0, ，且 sin sin 3 1 2 ，求 f 5 的值.
19．（本小题 12 分）
f (x) ln 2 2x已知函数 ln 2 2 x .
（1）求函数 f (x)的定义域；
（2）判断函数 f (x)的奇偶性，并说明理由；
（3）若 f (x) m恒成立，求实数m 的取值范围.
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20．（本小题 12 分）
设 x R ，函数 f (x) cos( x )
0,
0 f 3
2 的最小正周期为 ，且 4
．
2
(1)求 和 的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 f x 在 0, 上的图像；
2
(3)若 f x ，求 x的取值范围．
2
21．（本小题 12 分）
已知函数 f x acos x sin2 x 2a 9 ， x 0, 2 .
(1)若 a<0，求 f x 的最小值 g a ；
(2)若关于 x的方程 f x a在 0, 2 上有解，求
a的取值范围．
x ax x
22．（本小题 12 分） 已知函数 f x 3 且 f (a 2) 18，函数 g x 3 4 .
(1)求 g x 的解析式；
(2)若关于 x的方程 g x m 8x 0在区间 2,2 上有实数根，求实数m的取值范围；
(3)设 f x 3x的反函数为 p x ,h x [p x ]2 p x log3x， x x 2 1，若对任意的
x1 3,9 ，均存在 x2 1,1 ，满足 h x1 x2 ，求实数 的取值范围.
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参考答案： 2024.01
1．A 2．B 3．D 4．D
t
5．B 1【详解】根据题意设原来的量为 1，经过 t年后则变成1 55.2% 0.552，可得1 ( )5730 0.552，
2
t
两边取对数，可得 log0.5 0.552，即 t 5730 log0.5 0.552
lg0.552
5730 4912
5730 lg 0.5 ，
又由 4912 2010 1 2903，所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前 2900年.故选：B.
1 x
6．D【详解】函数 f (x) 1 lg 中，定义域为 1,1 ，
1 x
g(x) 1 x 1 x 1 x 1 x设 lg ，则 g( x) lg ，故 g(x) g( x) lg lg lg1 0，
1 x 1 x 1 x 1 x
g(a) g( a) 0 f (x) 1 lg 1 x故 .由 1 g(x)知， f (a) 1 g(a), f ( a) 1 g( a)，故
1 x
f (a) f ( a) 2 g(a) g( a) 2 0 2，而 f (a) 1 ，故 f ( a) 2 1 3 .故选：D.
2 2 2
| ln(1 x) ,x 1
7．A【详解】在一个坐标系内分别作出 f (x) 和 y m的图像如上图示:
(x 2)
2 , x 1 2
要使方程 f (x) m 0有 4个不相同的解，只需 y1 f (x)和
y2 m的图像有 4个交点，
所以 08．A
x 1 x 1 x 1 x 21 2 8 x 1 x 2 8 2 x x 2 f x f x 1 2 2 1 解：任取 1 2 ， 1 2 2 x1 8 x 22 8 x 21 8 x 22 8
x1 x 2 x1 x2 8 x1x2
2 2 ，因为 2 x1 x2 2 ，所以 x1 x2 0， 4 x1 x2 4 4 x xx 8 x 8 ， 1 2 4，则1 2
x1 x2 8 x1x2 0，所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，所以函数 f x 在区间 2,2 上为增函数；
1
对于 a f log
1
1 ，由 log 1 log2 3
1
，则1 log 2 3 2，即1 log 1 2，
2 3 2 3 2 3
b f sin 22 sin 22 sin 2 3 sin sin 2 1 3 sin 22 对于 ，由 ，则 ，即 1，
5 5 5 2 3 5 2 5
c f cos3 3 d f tan 22 tan 22 对于 ，由 ，得 1 cos3 0，对于 ，由 tan ，2 7 7 7
0 tan tan 3 3 0 tan 22 3则 ，即 ，
7 6 3 2 7 2
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所以 2 log
1
1 sin
22 tan 22 cos3 1
3 5 7 ，因为函数
f x 在区间 2,2 上为增函数，
2
所以 c d b a .
9．AC
10．BCD【详解】解：因为 为第一象限角，所以 2k 2k ,k Z，故 A错误；
2
k k ,k Z k 0 0 ，当 时， ，为第一象限角，
2 4 2 4
5
当 k 1时， ，为第三象限角，所以 为第一或第三象限角，故 B正确；
2 4 2
0 sin 1,0 cos 1 tan sin sin cos sin cos1 cos 1，所以 ，故 C正确； ，故 D正确.
cos 3 2
故选：BCD.
11．ACD【详解】解：因为 f x 2sin 2x
，所以
3
对于 A， y f x 2sin
2 x 2cos 2x，又cos 2x cos2x
，所以函数 y f x 为
12 12 3
12
偶函数，故 A正确；
对于 B，函数 f x 2sin 2 2x 的最小正周期为 ，所以函数 y f x 的最小正周期为 ，故 B
3 2 2
不正确；
对于 C，当 x
,
5 1
时， 2x , ，所以 sin 2x 1, ，所以 2sin 2x
2,1 ，
4 4 3 6 6 3 2 3
所以函数 y f x 在区间 , 4 4 上的最大值为 1，故 C正确；
对于 D，令 +2k 2x
+2k 5 ，解得 +k x +k ，所以函数 y f x 的单调递增区间为
2 3 2 12 12
k
, k 5 k Z ，故 D正确，故选：ACD. 12 12
12．ABD【详解】定义在 R上的函数 f (x)是奇函数，则 f x f (x)， f (0) 0 .
A
选项 中， x R,f x f (x)，将 x 代换 x，则 f x f x 2 2
f (x)，即
2 2 2
f x f (x)，故 f (x)的最小正周期T ，正确；
选项 B中，结合 f (0) 0知，当 x
x 0, 时， f (x) 2 1，易见 f (x)
在 0, 上单调递增，又由函数 f (x) 4 4
f (x) 是奇函数，图象关于原点中心对称可知， 在 ，0 上也是单调递增，即 f (x)在 4
, 上单调递增，
4 4
B正确；
选项 C中， x R ,f x f (x) f ( x)，则将 x
f x f x x 代入得 ，即 是函数的
2 4 4 4 4
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k
对称轴，又 f (x)在 , 上单调递增，T ，故函数的对称轴为 x ,k Z，故 x 不是对称 4 4 4 2 2
轴，故 C错误；
f (x) k D
选项 中， 是奇函数，对称轴为 x ,k Z， f (0) 0，可知 f f (0) f 0，对称中
4 2 2 2
k
心为 ,0
， k Z x
k
，即当 (k Z )时， f (x) 0，故 D正确.故选：ABD.
2 2
512
13． 1
3
lg5 1 33a 1 3(a a 1 ) 1 9 512
【详解】(1)由 a a 1 3，可得 lg23 2 2a (lg5 lg 2) 2 = 2 ；
3 3 3 3
1 2 2 2 2 512（2）由 a a 3可得： a a 7，故 a a 31 log3 2 7 3 3log3 2 7 3 2 1，故答案是： ，13
14 15．
4
3 3 3
【详解】依题意 cos 2sin( ) 可得， cos 2sin ，即 sin 2sin ，解得
2 4 2 4 4
sin 1 ，
4
又 为第二象限角， sin2 cos2 1，则 cos 0， cos 15 15 1 sin2 .故答案为： .
4 4
15．12 50
【详解】设圆心角为 ，则扇形面积公式 S
1 5 5
R2，其中 R 2，S π，代入公式得： π，其中
2 6 12
2π π 5 π
1密位= ，故 π 1250，所以其圆心角可以用密位制表示为12 50 .
6000 3000 12 3000
故答案为：12 50 .
16．0
【详解】根据解集易知： a<0 ， f x 1 为偶函数，可得：
f x 1 a x 1 2 b x 1 c ax 2 b 2a x a b 则有：b 2a 0
b
易知 ax2 bx c 0的两根为 t, 2，则根据韦达定理可得： t 2 解得： t 0 故答案为： 0
a
17．【详解】（1）∵ x R,sinx 1,1 ，
∴ y 2 2sinx 0, 4 ，即 A 0,4 ， ………………2分
B y y 9∴ ∣ x 1,x A
8,1 ， ………………4分
4
∴ AI B 0,1 ； ………………5分
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（2）∵ x R, x 0 ,∴ 2 x 1,2 x 1 2 ，
∴C y∣y 2 x 1,x R [2, ) ，又 A 0,4 ，………………8分
∴ RA x x 0或 x 4 ，………………9分
∴ RA C ( ,0) [2, ) .………………10分
sinx cosx tan x 1
18【详解】（1）由 f x 得; f x ,………………2分
3cosx sinx 3 tan x
所以 f 3 tan 1，即 3，解得 tan 2 ； ………………4分
3 tan
（2）由 sin sin
3
1
1
得： sin cos ①，………………5分
2 5 5
所以 (sin cos )2 1 2sin cos
1
，则 2sin cos
24
0
25 ，………………7分25
所以 (
, ) ，………………8分
2
则 (sin cos )2
49
1 2sin cos ，
25
而 sin 0,cos 0
7
，所以sin cos ②，………………10分
5
由①②联立可得 sin
4
,cos 3 4 ，故 tan ，………………11分
5 5 3
4
1
所以 f ( )
tan 1
3 1 .………………12分
3 tan 3 4 13
3
19．【详解】（1）由题意知：2 2x 0且2 2 x 0解得： 1 x 1所以 f (x)的定义域为 ( 1,1)，…3分
（2）因为 x ( 1,1)， x ( 1,1)，
且 f ( x) ln 2 2 x ln 2 2x f (x) 所以 f (x)是偶函数………………7分
x x
（3）因为 f (x) ln 2 2 ln 2 2
f x ln 2 2x 2 2 x所以 ln 5 2 2x 2 x ………………9分
因为 2x 2 x 2x 1 1 xx 2 2 2 (当且仅当 x 0时等号成立)2 2x
x
所以5 2 2 2 x 1， f (x) ln 5 2 2 x 2 x 0 ………………11分
因为 f (x) m恒成立，所以实数 m的取值范围为m 0 .………………12分
f x 2 20．【详解】（1）∵函数 的最小正周期T ，∴ 2．………………2分
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f cos 2 3∵
cos sin ，
4 4 2 2
且 0
，∴ ．………………
3 4分2
（2）由（1）知 f (x) cos
2x ，列表如下：
3
x 5 2 11 0
6 12 3 12
2x 0 3 5π
3 3 2 2 3
f x 1 1
2 1 0 －1 0 2
f x 在 0, 上的图像如图所示：
………………8分
3 f (x) 2 cos
2
（ ）∵ ，即 2x
，
2 3 2
7 7
∴ 2k 2x 2k (k Z)，则 2k 2x 2k (k Z)，即 k x k (k Z)．
4 3 4 12 12 24 24
∴ x的取值范围是{x | k
7
x k ,k Z}………………12分
24 24
21．【详解】（1）解：因为函数
2 2
f x acos x sin2 x 2a 9 cos2 x acos x 2a 10 cos x
a a
2a 10，………………1分
2 4
因为 x
0, ，所以 cos x 0,1 ，令 t cos x，则 t 0,1 ． 2
2 2
则 f x h t a a t 2 2a 10． 4
又因为 a<0
a
，所以 >0．
2
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0 a
a a
当 1
，即 2 a 0时，则 h t 在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，2 2 2
2
故 h t 在 0,1 上的最小值为 g a h a a 2a 10；………………3分
2 4
a
当 1，即 a 2时， h t 在 0,1 上单调递减，
2
故 h t 在 0,1 上的最小值为 g a h 1 a 9． ………………5分
a2
g a 2a 10, 2 a 0综上所述， 4 .………………6分
a 9,a 2
（2）解：因为关于 x的方程 f x a在[0, ]上有解，
2
即关于 x的方程 cos2
x acos x 10 3a 0 在 0, 上有解， 2
cos2
所以 a
x 10
在 0, 上有解．………………8分3 cos x 2
x 0,
2
因为 ，所以 cos x 0,1 ，令 p 3 cos x 2,3
3 p 10 1
，则 ，
2
a p 6
p p
H p 1 p 6 2,3 H p 9 , 10因为函数 在 上单调递增，则
p ，………………11分 2 3
9 10
故 a的取值范围是 , ．………………12分 2 3
22．【详解】（1）由 f (a 2) 18，可得：3a 2 18解得：3a 2
g x 2x 4x g x g x 2x x则有： 故 的解析式为： 4 ………………2分
（2）由 g x m 8x 0，可得：m 2 2x 2 x
1 2 1
不妨设 2 x t则有：m t 2 t t
2 4
1
又 2 x 2则有： t 4
4
故当 t 1 m 1 m 1时， 取得最小值为 ；当 t 4时， 取得最大值为12 故 m 12
4 4
1
故实数m的取值范围为： ,12 ………………5分 4
x
（3） f x 3 的反函数为： p x log3 x
若对任意的 x 1 3,9 ，均存在 x2 1,1 ，满足 h x1 x2
则只需： h x1 x2 max 恒成立 ………………6分
h x [p x ]2 p x log3x
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不妨设 log3 x b，则设 s b b2 1 b
x1 3,9
1
，则 b 22
x x 2 1在 x2 1,1 上可分如下情况讨论：
当 0时， x 1，此时 s b b2 b，不满足 h x1 x2 max 恒成立………………7分
2当 0时， x1 1 1，此时只需： b 1 b 1
1
max 在 b 2上恒成立2
2
则只需：b 1 b 1 0 b 1 , 2 在 上恒成立
2
b 1则只需： 2时，不等式b 1 b 1 0成立
2
5
解得： ，与 0矛盾；………………9分
2
当 0时， x1 1 3 1 b2 1 b 3 1max ，此时，只需保证：
b2则只需： 1 1 b 3 1 0 b 在 , 2
上恒成立 2
1 2 1 2当 时，只需保证：当b 时，b 1 b 3 1 0成立
2 2
则有： 2 10 5 0解得：5 2 5 5 2 5
1
又 2，故有：
2 5 2 5 3
1
当 2 2时，只需保证：当b 2时，b 1 b 3 1 0成立此时解得： 1
2
1
又 2故有： 3 故当 0时， 5 2 5 ………………11分2
综上所述，解得：实数 的取值范围为： 5 2 5, ………………12分
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