四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期数学试卷
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023高三上·武侯期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·武侯期中）若，则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·武侯期中）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·房山期末）已知数列是等差数列，，则的值为（ ）
A．15 B．-15 C．10 D．-10
5．已知空间两不同直线m、n，两不同平面、β，下列命题正确的是（ ）
A．若/且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若m不垂直于，且，则m不垂直于n
6．（2023高三上·武侯期中）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线对称
B．周期为π，图象关于点对称
C．在上单调递增，为偶函数
D．在上单调递减，为奇函数
7．如图，在中，，，，D是BC边一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD．四面体的顶点在一个球自上，则该球的不积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·武侯期中）已知函数有有一个极值点，则k的取值此围是（ ）
A． B．
C． D．
11．在矩形ABCD中，，动点P在以点C为圆心与BD相切的同上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．（2023高三上·武侯期中）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点．P为C一点，且轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心当为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大期共4小题，每小题5分，共20分．）
13．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
14．点到双曲线的一条渐近线的距离为 ．
15．数列满足：，，，数列的前n项和记为，则 ．
16．（2023高三上·武侯期中）已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）．
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐其外接圆半径为1，，．
（1）求；
（2）求的面积．
18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水 （一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
20．已知抛物线：的焦点为F，过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，直线l是的角平分线．
（1）求直线l与抛物线交点的个数；
（2）直线l与抛物线的准线相交于点N，过N作抛物线的切线，切点为Q（不与P点重合），求面积的最小值．
21．已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
22．（2023高三上·武侯期中）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线：（t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于两点A，B，点P是曲线上异于点A，B的任意一点，求的面积S的最大值．
23．[选修4－5：坐标系与参数方程]
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，则所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合指数函数的单调性，进而得出集合B，再利用集合间的包含关系，进而得出集合A和集合B的包含关系。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：利用，则则复数z的共轭复数。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，从而得出复数z的共轭复数。
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则再利用所以或，所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式，再利用同角三角函数关系式和三角函数值在各象限的符号，进而得出角的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式，进而得出的值。
4．【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】，故可得：，所以公差，
因此
故答案为：D
【分析】由等差数列的项的性质，整理化简即可得出公差的取值，然后由等差数的通项公式计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为且，则m和n的位置关系可能平行、可能相交、可能异面，所以A错；
因为且，则或，所以B错；
因为且，所以直线m可以作平行线到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知，所以C对；
因为m不垂直于，且，则m不垂直于n或m垂直于n，所以D错。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线与直线的位置关系判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的选项。
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
所以，
再利用函数g(x)的值域为，所以函数g(x)的最大值为1，
因为所以是最大值，进而判断出函数g(x)的图象关于直线对称，所以A对；
利用余弦型函数的最小正周期公式
因为所以函数g(x)的图象不关于点对称，所以B错；
当时，则，所以函数g(x)在上既有单调递增的部分又有单调递减的部分，所以函数g(x)在不单调，所以C错；
当时，则，所以函数g(x)在上单调递减，
对任意，所以所以D错。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角型函数f(x)的图象变换得出函数g(x)的图象，进而得出函数g(x)的解析式，再利用余弦型函数的图象求出其最大值和对称轴以及对称中心，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出余弦型函数g(x)的最小正周期，再结合三角型函数单调性的判断方法和奇、偶函数的定义，进而找出说法正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，，，D是BC边一点，，则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理、两角互补的关系、数量积的定义和运算法则，进而得出的值。
8．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，则
所以，
因为，又因为，
所以，
综上，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则、指数幂的运算法则、二倍角的余弦公式，再结合不等式比较大小的方法，进而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：在平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，
使平面平面BCD，
因为，所以平面，所以
又易得又因为所以平面，所以
因为四面体的顶点在一个球面上，和都是直角三角形，
所以BC的中点就是球心，所以，所以球的半径长为，
则该球的体积为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理证出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，从而由圆的直径所对圆周角为直角的性质，进而得出圆心和半径长，最后由球的体积公式得出四面体外接球的体积。
10．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：根据题意，可得
由题意在有一个极值点，
设，则，
当k=0时，在上没有极值点；
当k不等于0时，对于时，
（1）恒成立，g(x)单调递减，时，
因此所以；
(2)恒成立，g(x)单调递增，时，
因此所以；
(3)恒成立，g(x)单调递增，当时，g(x)单调递减，
所以时，且
因此，若则g(x)在上至多只有一个不变号零点，所以且
由且，可知此时满足题意，
综上所述，k的取值范围为
故答案为：.
【分析】先对函数求导，再根据k的取值范围加以分类讨论，分别解关于k的不等式，再结合并集的运算法则得出k的取值范围。
11．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，动点P在以点C为圆心与BD相切的同上，
所以以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如下图：
所以A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，
再利用两点式转化得出直线BD的一般式方程为：2x+y-2=0，
因为圆心C到直线BD的距离为，所以圆的半径为，
所以圆C的标准方程为，
因为点P在圆C上，所以可设点
易知，
所以所以其中满足
所以的最大值为3
故答案为：3.
【分析】利用已知条件建系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合点到直线的距离公式得出圆的半径，从而得出圆的标准方程，进而得出点P关于的坐标，再结合平面向量基本定理和向量运算的坐标表示得出点P的坐标与的关系，进而将转化为三角型函数，再利用三角型函数的图象求最值的方法，从而得出的最大值。
12．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设E(0，n)，由题意得出A(-a，0)，B(a，0)，则直线AE的方程为
由题意可知，OE的中点N坐标为根据题意，这三点共线，
所以，所以化简得出a=3c，则椭圆C的离心率为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两点求直线方程和代入法以及中点坐标公式，从而得出M，OE中点和B的坐标，再结合三点共线斜率相等，进而得出a，c的关系式，从而由椭圆离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值。
13．【答案】135°
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，
设切线的倾斜角为，
因为，又因为，
所以曲线在点处的切线的倾斜角为135°
故答案为：135°.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而结合直线的倾斜角的取值范围得出曲线的切线的倾斜角的值。
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以点到双曲线的一条渐近线的距离为
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程得出渐近线方程，再结合点到直线的距离公式，进而得出点到双曲线的一条渐近线的距离。
15．【答案】2191
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足：，，，所以数列的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为1，公比为2的等比数列，
因为数列的前n项和记为，
则
故答案为：2191.
【分析】利用已知条件结合等差数列和等比数列的定义，从而判断出数列的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为1，公比为2的等比数列，再利用分组求和的方法得出数列的前23 项的和。
16．【答案】②③
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：对于①，取满足，但是不满足，则成立推不出，由于，，则所以
所以而，所以，
当且仅当a=b=1时取等号，即成立可推出成立，所以不是的必要不充分条件；
对于②，作出函数的图象，即将函数的图象向右平移1个单位得到，如下图所示：
则表示的几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴），则中相应的点(a，b)所在区域，即上述区域；而表示的几何意义为直角三角形AOB区域部分（不含坐标轴），显然直角三角形AOB区域部分（不含坐标轴），对应的集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，所以能作为“”的必要不充分条件；
对于③，由得出所以
设则
则在（0，2）上单调递减，且
则存在使得
即时，使得，f(a)在上单调递增，
当时，使得，f(a)在上单调递减，
所以f(a)的最大值为，所以
取满足，但是不满足，
所以能作为“”的必要不充分条件；
对于④，取a=b=1时，满足，但是不满足，
所以是“”的不必要条件，所以不能作为“”的必要不充分条件。
故答案为：②③.
【分析】利用基本不等式结合特殊值法判断①；利用数形结合结合图象的平移变换作出函数的图象，再结合不等式的几何意义判断②；利用得出再利用构造法得出函数，再结合导数的单调性求最值的方法判断③，利用特殊值法判断④，从而找出满足要求的序号。
17．【答案】（1）解：，根据正弦定理得，即，代入，
即，由于，即，
解得．
（2）解：根据正弦定理得，即，由（Ⅰ）知．由余弦定理得，解得．
又因为，所以．．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，从而解一元二次方程得出角B的余弦值。
（2）利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值，再利用余弦定理得出ac的值，再由（1）中角B的余弦值和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。
18．【答案】（1）解：频率分布直方图如图所示：
（2）解：根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0.48；
（3）解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
该家庭使用了节水龙头后天50日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合，从而画出频率分布直方图。
（2）利用已知条件结合小矩形的面积等于频率，从而求和估计出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该家庭使用节水龙头后，一年能节省的水量。
19．【答案】（1）解：证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和余弦定理以及勾股定理，进而证出线线垂直，再结合线线垂直和线面垂直的判定定理，进而证出平面PAB.
（2）因为四面体PMND的体积为二棱锥的体积，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面ABCD，作交AB于H，且平面平面，再利用面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用三角形的面积相等性质得出三棱锥的高，再利用直角三角形求面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式，进而得出四面体PMND的体积.
20．【答案】（1）解：设，，则M坐标为，∴MF中点经标为，，
又∵，∴为等反角形，∴的角平分线围为MF中垂线
∴l的方程为
联立，得
∴l抛物线只有一个交点分
（2）解：设点，由题意可知，NP，NQ为抛物线的两条切线．
先计过抛物线上一点且与抛物线相切的方程为，
证明：因为在抛物线上，所以，不实设，，因此，
所以切线方程为，所以，化简得：．
因此，设，，则根据上述结论可知：NP：，NQ：，
因为NP、NQ的过点，带入上式得：，所以可知点P，Q都在直线上，因此直线PQ的方程为．
联立，得，
∴
点N到直线PQ距离
∴，∴当时，面积有最小值4．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的坐标公式得出线段MF的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合中垂线求解方法得出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，从而结合判别式法求出直线l与抛物线交点的个数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再联立方程结合判别式法和弦长公式，从而得出PQ与m的关系式，再利用点到直线的距离公式得出d与m的关系式，再结合三角形的面积公式和函数求最值的方法，进而得出三角形面积的最小值。
21．【答案】（1）解：，，
∵的定义域为．
∵，则，∴，有（舍去），，
在上递减，在上递增，
，无极大值．
（2）解：设，，
设，则，，，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，∴，适合条件．
②当时，∵﹐∴不适合条件．
③当时，对于，，
令，，存在，使得时，，
∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件．
综上，a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数f(x)和g(x)的解析式，进而得出函数F(x)的解析式，再利用函数的定义域和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值。
（2）利用已知条件结合构造法得出函数h(x)，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得到函数的值域，再结合分类讨论的方法和导数求最值的方法以及不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：消去参数t，得曲线的直角坐标方程为，即．
把代入，曲线的直角坐标方程为．
（2）解：圆心到直线AB的距离为
圆上动点P到弦AB的距离的最大值为
解法1：弦长
∴的面积S的最大值为．
解法2：设圆上动点，P到直线的距离
化的参数方程为代入得，
则， 则
∴的面积S的最大值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法以及极坐标和直角坐标的互化公式，进而得出曲线的普通方程和的直角坐标方程。
（2）利用点到直线的距离公式得出圆心到直线AB的距离，再结合几何法得出圆上动点P到弦AB的距离的最大值。再由两种方法求解：解法一：利用已知条件结合弦长公式得出AB的长，再结合三角形的面积公式和几何法得出三角形的面积S的最大值；解法二：利用已知条件结合点到直线的距离公式和三角函数的图象求最值的方法，进而得出点P到直线的距离的最大值，再结合参数方程与普通方程的转化方法和直线与圆联立求交点的方法，从而由韦达定理和弦长公式得出AB的长，再利用三角形的面积公式和几何法得出三角形的面积S的最大值。
23．【答案】（1）解：
当时，，解得：当时，，解得
综上，原不等式的解集为
（2）解：因为，，所以，
令，
若，则，
因为，，所以，所以；
若，则，
因为，，所以，所以综上所述，．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合绝对值的定义，从而将函数f(x)转化为分段函数，再利用分类讨论的方法和一元一次不等式求解方法，从而由并集得出不等式解集。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值不等式求解方法，进而证出不等式成立。
1 / 1四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期数学试卷
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023高三上·武侯期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，，则所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再结合指数函数的单调性，进而得出集合B，再利用集合间的包含关系，进而得出集合A和集合B的包含关系。
2．（2023高三上·武侯期中）若，则复数z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：利用，则则复数z的共轭复数。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，从而得出复数z的共轭复数。
3．（2023高三上·武侯期中）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则再利用所以或，所以。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与倾斜角的关系式，再利用同角三角函数关系式和三角函数值在各象限的符号，进而得出角的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式，进而得出的值。
4．（2022高二下·房山期末）已知数列是等差数列，，则的值为（ ）
A．15 B．-15 C．10 D．-10
【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】，故可得：，所以公差，
因此
故答案为：D
【分析】由等差数列的项的性质，整理化简即可得出公差的取值，然后由等差数的通项公式计算出结果即可。
5．已知空间两不同直线m、n，两不同平面、β，下列命题正确的是（ ）
A．若/且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若m不垂直于，且，则m不垂直于n
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为且，则m和n的位置关系可能平行、可能相交、可能异面，所以A错；
因为且，则或，所以B错；
因为且，所以直线m可以作平行线到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知，所以C对；
因为m不垂直于，且，则m不垂直于n或m垂直于n，所以D错。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合直线与直线的位置关系判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出真命题的选项。
6．（2023高三上·武侯期中）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A．最大值为1，图象关于直线对称
B．周期为π，图象关于点对称
C．在上单调递增，为偶函数
D．在上单调递减，为奇函数
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
所以，
再利用函数g(x)的值域为，所以函数g(x)的最大值为1，
因为所以是最大值，进而判断出函数g(x)的图象关于直线对称，所以A对；
利用余弦型函数的最小正周期公式
因为所以函数g(x)的图象不关于点对称，所以B错；
当时，则，所以函数g(x)在上既有单调递增的部分又有单调递减的部分，所以函数g(x)在不单调，所以C错；
当时，则，所以函数g(x)在上单调递减，
对任意，所以所以D错。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角型函数f(x)的图象变换得出函数g(x)的图象，进而得出函数g(x)的解析式，再利用余弦型函数的图象求出其最大值和对称轴以及对称中心，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出余弦型函数g(x)的最小正周期，再结合三角型函数单调性的判断方法和奇、偶函数的定义，进而找出说法正确的选项。
7．如图，在中，，，，D是BC边一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，，，D是BC边一点，，则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理、两角互补的关系、数量积的定义和运算法则，进而得出的值。
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，则
所以，
因为，又因为，
所以，
综上，
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则、指数幂的运算法则、二倍角的余弦公式，再结合不等式比较大小的方法，进而比较出a，b，c的大小。
9．如图，平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD．四面体的顶点在一个球自上，则该球的不积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：在平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，
使平面平面BCD，
因为，所以平面，所以
又易得又因为所以平面，所以
因为四面体的顶点在一个球面上，和都是直角三角形，
所以BC的中点就是球心，所以，所以球的半径长为，
则该球的体积为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理证出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，从而由圆的直径所对圆周角为直角的性质，进而得出圆心和半径长，最后由球的体积公式得出四面体外接球的体积。
10．（2023高三上·武侯期中）已知函数有有一个极值点，则k的取值此围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：根据题意，可得
由题意在有一个极值点，
设，则，
当k=0时，在上没有极值点；
当k不等于0时，对于时，
（1）恒成立，g(x)单调递减，时，
因此所以；
(2)恒成立，g(x)单调递增，时，
因此所以；
(3)恒成立，g(x)单调递增，当时，g(x)单调递减，
所以时，且
因此，若则g(x)在上至多只有一个不变号零点，所以且
由且，可知此时满足题意，
综上所述，k的取值范围为
故答案为：.
【分析】先对函数求导，再根据k的取值范围加以分类讨论，分别解关于k的不等式，再结合并集的运算法则得出k的取值范围。
11．在矩形ABCD中，，动点P在以点C为圆心与BD相切的同上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，动点P在以点C为圆心与BD相切的同上，
所以以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如下图：
所以A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，
再利用两点式转化得出直线BD的一般式方程为：2x+y-2=0，
因为圆心C到直线BD的距离为，所以圆的半径为，
所以圆C的标准方程为，
因为点P在圆C上，所以可设点
易知，
所以所以其中满足
所以的最大值为3
故答案为：3.
【分析】利用已知条件建系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合点到直线的距离公式得出圆的半径，从而得出圆的标准方程，进而得出点P关于的坐标，再结合平面向量基本定理和向量运算的坐标表示得出点P的坐标与的关系，进而将转化为三角型函数，再利用三角型函数的图象求最值的方法，从而得出的最大值。
12．（2023高三上·武侯期中）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点．P为C一点，且轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心当为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：设E(0，n)，由题意得出A(-a，0)，B(a，0)，则直线AE的方程为
由题意可知，OE的中点N坐标为根据题意，这三点共线，
所以，所以化简得出a=3c，则椭圆C的离心率为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合两点求直线方程和代入法以及中点坐标公式，从而得出M，OE中点和B的坐标，再结合三点共线斜率相等，进而得出a，c的关系式，从而由椭圆离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值。
二、填空题：（本大期共4小题，每小题5分，共20分．）
13．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
【答案】135°
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，
设切线的倾斜角为，
因为，又因为，
所以曲线在点处的切线的倾斜角为135°
故答案为：135°.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而结合直线的倾斜角的取值范围得出曲线的切线的倾斜角的值。
14．点到双曲线的一条渐近线的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以点到双曲线的一条渐近线的距离为
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程得出渐近线方程，再结合点到直线的距离公式，进而得出点到双曲线的一条渐近线的距离。
15．数列满足：，，，数列的前n项和记为，则 ．
【答案】2191
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足：，，，所以数列的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为1，公比为2的等比数列，
因为数列的前n项和记为，
则
故答案为：2191.
【分析】利用已知条件结合等差数列和等比数列的定义，从而判断出数列的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为1，公比为2的等比数列，再利用分组求和的方法得出数列的前23 项的和。
16．（2023高三上·武侯期中）已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）．
【答案】②③
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：对于①，取满足，但是不满足，则成立推不出，由于，，则所以
所以而，所以，
当且仅当a=b=1时取等号，即成立可推出成立，所以不是的必要不充分条件；
对于②，作出函数的图象，即将函数的图象向右平移1个单位得到，如下图所示：
则表示的几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴），则中相应的点(a，b)所在区域，即上述区域；而表示的几何意义为直角三角形AOB区域部分（不含坐标轴），显然直角三角形AOB区域部分（不含坐标轴），对应的集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，所以能作为“”的必要不充分条件；
对于③，由得出所以
设则
则在（0，2）上单调递减，且
则存在使得
即时，使得，f(a)在上单调递增，
当时，使得，f(a)在上单调递减，
所以f(a)的最大值为，所以
取满足，但是不满足，
所以能作为“”的必要不充分条件；
对于④，取a=b=1时，满足，但是不满足，
所以是“”的不必要条件，所以不能作为“”的必要不充分条件。
故答案为：②③.
【分析】利用基本不等式结合特殊值法判断①；利用数形结合结合图象的平移变换作出函数的图象，再结合不等式的几何意义判断②；利用得出再利用构造法得出函数，再结合导数的单调性求最值的方法判断③，利用特殊值法判断④，从而找出满足要求的序号。
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐其外接圆半径为1，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，根据正弦定理得，即，代入，
即，由于，即，
解得．
（2）解：根据正弦定理得，即，由（Ⅰ）知．由余弦定理得，解得．
又因为，所以．．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式，从而解一元二次方程得出角B的余弦值。
（2）利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值，再利用余弦定理得出ac的值，再由（1）中角B的余弦值和同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。
18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水 （一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）解：频率分布直方图如图所示：
（2）解：根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为0.48；
（3）解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
该家庭使用了节水龙头后天50日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合，从而画出频率分布直方图。
（2）利用已知条件结合小矩形的面积等于频率，从而求和估计出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率。
（3）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该家庭使用节水龙头后，一年能节省的水量。
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
【答案】（1）解：证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和余弦定理以及勾股定理，进而证出线线垂直，再结合线线垂直和线面垂直的判定定理，进而证出平面PAB.
（2）因为四面体PMND的体积为二棱锥的体积，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面ABCD，作交AB于H，且平面平面，再利用面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用三角形的面积相等性质得出三棱锥的高，再利用直角三角形求面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式，进而得出四面体PMND的体积.
20．已知抛物线：的焦点为F，过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，直线l是的角平分线．
（1）求直线l与抛物线交点的个数；
（2）直线l与抛物线的准线相交于点N，过N作抛物线的切线，切点为Q（不与P点重合），求面积的最小值．
【答案】（1）解：设，，则M坐标为，∴MF中点经标为，，
又∵，∴为等反角形，∴的角平分线围为MF中垂线
∴l的方程为
联立，得
∴l抛物线只有一个交点分
（2）解：设点，由题意可知，NP，NQ为抛物线的两条切线．
先计过抛物线上一点且与抛物线相切的方程为，
证明：因为在抛物线上，所以，不实设，，因此，
所以切线方程为，所以，化简得：．
因此，设，，则根据上述结论可知：NP：，NQ：，
因为NP、NQ的过点，带入上式得：，所以可知点P，Q都在直线上，因此直线PQ的方程为．
联立，得，
∴
点N到直线PQ距离
∴，∴当时，面积有最小值4．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的坐标公式得出线段MF的中点坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，再结合中垂线求解方法得出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，从而结合判别式法求出直线l与抛物线交点的个数。
（2）利用已知条件结合导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再联立方程结合判别式法和弦长公式，从而得出PQ与m的关系式，再利用点到直线的距离公式得出d与m的关系式，再结合三角形的面积公式和函数求最值的方法，进而得出三角形面积的最小值。
21．已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．
【答案】（1）解：，，
∵的定义域为．
∵，则，∴，有（舍去），，
在上递减，在上递增，
，无极大值．
（2）解：设，，
设，则，，，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，∴，适合条件．
②当时，∵﹐∴不适合条件．
③当时，对于，，
令，，存在，使得时，，
∴在上单调递减，∴，即在时，，∴不适合条件．
综上，a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数f(x)和g(x)的解析式，进而得出函数F(x)的解析式，再利用函数的定义域和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值。
（2）利用已知条件结合构造法得出函数h(x)，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得到函数的值域，再结合分类讨论的方法和导数求最值的方法以及不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
22．（2023高三上·武侯期中）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线：（t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于两点A，B，点P是曲线上异于点A，B的任意一点，求的面积S的最大值．
【答案】（1）解：消去参数t，得曲线的直角坐标方程为，即．
把代入，曲线的直角坐标方程为．
（2）解：圆心到直线AB的距离为
圆上动点P到弦AB的距离的最大值为
解法1：弦长
∴的面积S的最大值为．
解法2：设圆上动点，P到直线的距离
化的参数方程为代入得，
则， 则
∴的面积S的最大值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法以及极坐标和直角坐标的互化公式，进而得出曲线的普通方程和的直角坐标方程。
（2）利用点到直线的距离公式得出圆心到直线AB的距离，再结合几何法得出圆上动点P到弦AB的距离的最大值。再由两种方法求解：解法一：利用已知条件结合弦长公式得出AB的长，再结合三角形的面积公式和几何法得出三角形的面积S的最大值；解法二：利用已知条件结合点到直线的距离公式和三角函数的图象求最值的方法，进而得出点P到直线的距离的最大值，再结合参数方程与普通方程的转化方法和直线与圆联立求交点的方法，从而由韦达定理和弦长公式得出AB的长，再利用三角形的面积公式和几何法得出三角形的面积S的最大值。
23．[选修4－5：坐标系与参数方程]
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
【答案】（1）解：
当时，，解得：当时，，解得
综上，原不等式的解集为
（2）解：因为，，所以，
令，
若，则，
因为，，所以，所以；
若，则，
因为，，所以，所以综上所述，．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合绝对值的定义，从而将函数f(x)转化为分段函数，再利用分类讨论的方法和一元一次不等式求解方法，从而由并集得出不等式解集。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值不等式求解方法，进而证出不等式成立。
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