江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·常熟期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解： 在等差数列中，
.
故答案为：C.
【分析】根据等差中项、等差数列求和公式代入即可.
2．（2023高二上·常熟期中）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由得 ，则圆心为（1，0），所以圆心到直线的距离
.
故答案为：D.
【分析】将圆的一般方程配方转化为标准方程，找到圆心，代入点到直线距离公式即可.
3．（2023高二上·常熟期中）数列中，，，则（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解： 在数列中，因为，
所以 ，
所以所以n=80 .
故答案为：D.
【分析】通过分母有理化分析通项公式，用裂项求和法代入等式，解方程即可.
4．（2023高二上·常熟期中）直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．或3
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：显然， ，a=3
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的条件即可求解.
5．（2023高二上·常熟期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线l：kx-y-1=0恒过（0，-1）曲线即，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆位于x=1的右侧部分.
设直线l在圆下方相切时斜率为k1，直线l过点（1，0）、（0，-1）与圆有两个交点时斜率为k2.
因此 直线与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足
，又直线l在圆下方相切时， ， ，.
故答案为：A.
【分析】直线x=0时与k无关，可得直线恒过（0，-1），将曲线整理可得，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆位于x=1的右侧部分，作出图形观察，直线与曲线两个交点时，直线斜率变化区域，结合计算即可得到斜率取值范围.
6．（2023高二上·常熟期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为 的顶点为，，，所以重心G为，
即G，设三角形外心为D ，则，.解得y=，所以D点坐标为，则该三角形的欧拉线方程为，
即x+2y-5=0.
故答案为：A.
【分析】根据 的顶点为，，，可得重心G的坐标，设的外心为D，根据外心性质得，求得D坐标，代入点斜式即可求得该三角形的欧拉线方程.
7．（2023高二上·常熟期中）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由 （，）可得，，
因为 ，，所以，
则是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 ，即，
所以
故答案为：B.
【分析】根据递推关系构造得是以3为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列通项公式得，逐项列出可找到规律，利用等比数列的前n项和公式即可求出.
8．（2023高二上·常熟期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，直线CB、CD所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，则C（0，0），B（2，0）D（0，2），取点E，设，则当时，
，即，所以点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.
因为点在以为圆心，1为半径的圆上 ，所以，所以所以 的最小值为.
故答案为：D.
【分析】以C为坐标原点，直线CB、CD所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，取点E，探究
时点的轨迹，即M轨迹，将 转化为，
求最小值即可.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·常熟期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线与直线之间的距离是
D．直线，，，则
【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线垂直的判定；直线的截距式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对于A，可化为 ，斜率 ，
所以倾斜角，故A正确.
对于B， 在，轴上截距互为相反数 ，可以都为0，也就是过O（0，0），P（2，1）的直线也满足条件，应求出两个直线方程，故B错误.
对于C，将x+2y-4=0转化为2x+4y-8=0 ，则两直线距离为，故C正确.
对于D，因为，则a(a-1)-2a(a+1)=0，解得a=0或-3，由因为，所以a=-3.故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】把直线方程一般式化成斜截式，即可求出斜率，根据斜率定义即可求出倾斜角，故A正确.
符合截距 在，轴上截距互为相反数 的直线方程应为两个，可判断B错误.先统一A、B，根据两平行线间距离公式求出距离，即可判断C正确.根据两直线垂直的条件求出参数a，即可判断D正确.
10．（2023高二上·常熟期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B．数列的通项为，若为单调递增数列，则
C．等比数列中，，是方程的两根，则
D．等差数列，的前项和分别为，，若，则
【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：对于A，是公比为2的等比数列，则有，而，当=0，数列不是等比数列，所以是是公比为2的等比数列的必要不充分条件，故A正确；
对于B，为单调递增数列，则，，即，而数列单调递减，即-4n-2-6，因此，故B错误；
对于C，在等比数列中公比为q，则，所以>0，因此，C错误；
对于D，因为等差数列的前n项和分别为，
所以，D正确
故答案为：A、D.
【分析】利用反例等比数列每一项不为0，及充分必要条件的意义，可判断A正确；利用递增数列列出不等式求解，可判断B错误；利用等比中项意义求出，可判断C错误；根据等差数列性质，结合前n项和公式计算，可判断D正确.
11．（2023高二上·常熟期中）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
【答案】A,C,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；两条直线平行的判定；恒过定点的直线；圆的切线方程
【解析】【解答】解：对于A，当MPl于P时， 四边形的面积取得最小值，又圆，
所以圆心M（-1，0），半径 ，M到直线x-y-3=0的距离 ，
所以 ，所以四边形的面积取得最小值
为2 ，故A正确.
对于B，当MPl于P时，最短，此时于N，则MA2=MNMP ，即， 所以，所以，故B错误.
对于C，当MPl于P时，最短，此时，所以ABl ，设AB的方程为x-y+c=0，
所以， 所以c=0或2，所以AB的方程为x-y=0或x-y+2=0，当x-y+2=0时与x轴交点为（-2，0），在M左侧，故舍去，所以 最短时，弦直线方程为 .故C正确.
对于D，设A（xA，yA）B(xB，yB)，P(xP，yP)，则，
所以
同理所以AB方程为
因为P在直线x-y-3=0上，所以，所以
将代入得成立，故直线过定点 ，故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】对于A，当MPl于P时， 根据切线长定理，AP最短，因此只要求两全等三角形PAM、PBM面积即为四边形的面积最小值.利用点到直线的距离求得MP的长，进而求得AP长，就可求出四边形PAMB面积.可判断A正确.
对于B，当MPl于P时，最短，此时于N，利用MA2=MNMP求出MN长，进而求得AB长.可判断B错误.
对于C，当最短时，ABl ，设出直线方程，利用点到直线距离，即可求出直线方程，可判断C正确.
对于D，利用数量积为0，类比得AB方程，代入 等式成立，可判断D正确.
12．（2023高二上·常熟期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；斐波那契数列
【解析】【解答】解： 斐波那契数列 为 1，1，2，3，5，8，13，21…则 将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0……，即数列是以6为周期的周期数列.
对于A，，故A错误.
对于B， ，故B正确.
对于C，，
以上各式相加得 ，故C正确.
对于D，
，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】根据 斐波那契数列 ，得到数列是以6为周期的周期数列.根据周期性求和，可判断A错误.
周期性定义，判断B正确，采用累加法可判断C正确， 利用斐波那契数列 定义，可推导得D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二上·常熟期中）过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆的标准方程为，则解得，
所以所求圆方程为
故答案为：.
【分析】根据点在圆上，圆心在y=x上列方程组，解得圆心、半径即可得圆方程.
14．（2023高二上·常熟期中）点关于直线的对称点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点A（1，2）关于直线l的对称点为（x，y），由得直线L斜率为.
则解得 ，
所以 点关于直线的对称点的坐标为 .
故答案为：.
【分析】根据点A与它连线，中点在对称轴上，且与对称轴垂直，列出方程组，即可求解.
15．（2023高二上·常熟期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由 直线得A（-2，0）， 直线得B（2，3），
又，所以直线与直线垂直.
所以PAPB，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆.
所以 ，所以 ，
当且仅当时取最大值.
故答案为：.
【分析】根据两直线得A、B两点坐标，并判断两直线垂直，从而得P的轨迹，进而得PAPB，求得，然后根据基本不等式求得最大值.
16．（2023高二上·常熟期中）设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为所以，所以，由 得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列.即
所以，所以 ，
即 设= ，则，
因为 ，
所以是单调递增数列，所以cn的最小值为，m的最大值为.
故答案为：.
【分析】先通过将转化为，即，构成新数列，根据等差数列通项公式，求得通项公式，进而求得通项公式，代入不等式，设，证明此数列为单调递增数列，c1为最小值，即得m最大值.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·常熟期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
由与联立，解得，，
因为边上的中线经过点，所以点的坐标为．
（2）解：依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的点斜式方程；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）根据点A既在AC上，又在BC中线上，联立方程即可解得A坐标.
（2）设出截距式，即得 轴的正半轴、轴的正半轴 上截距，利用基本不等式即可求得最小值.
18．（2023高二上·常熟期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）解：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，所以，即．
（2）解：因为，所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差中项求得a5、代入已知可得a2，由等差数列性质、通项公式即可求得通项.
（2）利用分组求和方法，运用等差数列、等比数列求和公式计算即可.
19．（2023高二上·常熟期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）解：因为，，，所以，，所以，
又，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，所以，半径为2，
所以的方程为．
（2）解：因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为．
①当直线与轴垂直时，方程为x=1，与圆心的距离为1，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设，即，
因为圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为．
综上可知，直线的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）根据已知点坐标得、，此三角形为等腰直角三角形，故所求圆为以AB为直径的圆，易得圆心、半径，即可求得圆方程.
（2）由弦长和半径求得点到直线距离d，讨论斜率不存在时，与圆心的距离为1，满足条件；斜率存在时，设直线方程，由d=1，列出等式，求出斜率，即可得出直线方程.
20．（2023高二上·常熟期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）解：依题意得解得，
，即．
（2）解：①，，，
，
．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，由，得
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式、等比中项，组成方程组，解得首项和公差，即可得所求通项.
(2)①先由条件求得的通项公式，再用错位相减法求和.
②将代入转化为对一切恒成立，构造函数，求其最小值即可.
21．（2023高二上·常熟期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．
（1）若，，求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
因为，，所以．
（2）解：由，得，
两式相减，得，即，
所以．
两式相减，得，所以数列为等差数列．
（3）解：依题意：，由得：，
即，所以．
因为，且，所以，
又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，
所以，．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）令代入即可求得.
(2)将、作差变形，得，根据等差中项法，即可证明此数列为等差数列.
（3）化简得，然后根据范围等因素，分析得m、k的值.
22．（2023高二上·常熟期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）解：设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）解：①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式；恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，将M点坐标用A点坐标表示，代入M点满足的轨迹方程即可.
(2) ① 设直线l方程和E、F坐标，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，将
代入化简得m=k，进而得直线方程，与k无关，直线过定点（-1，0）.
②假设存在，为定值，且为直角三角形，为斜边，可得点是的中点时，为定值．利用中点坐标公式即可求得Q的坐标，说明假设成立，从而得证.
1 / 1江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高二上·常熟期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
2．（2023高二上·常熟期中）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2023高二上·常熟期中）数列中，，，则（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
4．（2023高二上·常熟期中）直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．或3
5．（2023高二上·常熟期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二上·常熟期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·常熟期中）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·常熟期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高二上·常熟期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线与直线之间的距离是
D．直线，，，则
10．（2023高二上·常熟期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B．数列的通项为，若为单调递增数列，则
C．等比数列中，，是方程的两根，则
D．等差数列，的前项和分别为，，若，则
11．（2023高二上·常熟期中）已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
12．（2023高二上·常熟期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023高二上·常熟期中）过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为 ．
14．（2023高二上·常熟期中）点关于直线的对称点的坐标为 ．
15．（2023高二上·常熟期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
16．（2023高二上·常熟期中）设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高二上·常熟期中）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
18．（2023高二上·常熟期中）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（2023高二上·常熟期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
20．（2023高二上·常熟期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
21．（2023高二上·常熟期中）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．
（1）若，，求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023高二上·常熟期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解： 在等差数列中，
.
故答案为：C.
【分析】根据等差中项、等差数列求和公式代入即可.
2．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由得 ，则圆心为（1，0），所以圆心到直线的距离
.
故答案为：D.
【分析】将圆的一般方程配方转化为标准方程，找到圆心，代入点到直线距离公式即可.
3．【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解： 在数列中，因为，
所以 ，
所以所以n=80 .
故答案为：D.
【分析】通过分母有理化分析通项公式，用裂项求和法代入等式，解方程即可.
4．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：显然， ，a=3
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的条件即可求解.
5．【答案】A
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线l：kx-y-1=0恒过（0，-1）曲线即，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆位于x=1的右侧部分.
设直线l在圆下方相切时斜率为k1，直线l过点（1，0）、（0，-1）与圆有两个交点时斜率为k2.
因此 直线与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足
，又直线l在圆下方相切时， ， ，.
故答案为：A.
【分析】直线x=0时与k无关，可得直线恒过（0，-1），将曲线整理可得，是以（1，1）为圆心，1为半径的圆位于x=1的右侧部分，作出图形观察，直线与曲线两个交点时，直线斜率变化区域，结合计算即可得到斜率取值范围.
6．【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为 的顶点为，，，所以重心G为，
即G，设三角形外心为D ，则，.解得y=，所以D点坐标为，则该三角形的欧拉线方程为，
即x+2y-5=0.
故答案为：A.
【分析】根据 的顶点为，，，可得重心G的坐标，设的外心为D，根据外心性质得，求得D坐标，代入点斜式即可求得该三角形的欧拉线方程.
7．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由 （，）可得，，
因为 ，，所以，
则是以3为首项，2为公比的等比数列，所以 ，即，
所以
故答案为：B.
【分析】根据递推关系构造得是以3为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列通项公式得，逐项列出可找到规律，利用等比数列的前n项和公式即可求出.
8．【答案】D
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，直线CB、CD所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，则C（0，0），B（2，0）D（0，2），取点E，设，则当时，
，即，所以点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.
因为点在以为圆心，1为半径的圆上 ，所以，所以所以 的最小值为.
故答案为：D.
【分析】以C为坐标原点，直线CB、CD所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，取点E，探究
时点的轨迹，即M轨迹，将 转化为，
求最小值即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线垂直的判定；直线的截距式方程；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对于A，可化为 ，斜率 ，
所以倾斜角，故A正确.
对于B， 在，轴上截距互为相反数 ，可以都为0，也就是过O（0，0），P（2，1）的直线也满足条件，应求出两个直线方程，故B错误.
对于C，将x+2y-4=0转化为2x+4y-8=0 ，则两直线距离为，故C正确.
对于D，因为，则a(a-1)-2a(a+1)=0，解得a=0或-3，由因为，所以a=-3.故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】把直线方程一般式化成斜截式，即可求出斜率，根据斜率定义即可求出倾斜角，故A正确.
符合截距 在，轴上截距互为相反数 的直线方程应为两个，可判断B错误.先统一A、B，根据两平行线间距离公式求出距离，即可判断C正确.根据两直线垂直的条件求出参数a，即可判断D正确.
10．【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：对于A，是公比为2的等比数列，则有，而，当=0，数列不是等比数列，所以是是公比为2的等比数列的必要不充分条件，故A正确；
对于B，为单调递增数列，则，，即，而数列单调递减，即-4n-2-6，因此，故B错误；
对于C，在等比数列中公比为q，则，所以>0，因此，C错误；
对于D，因为等差数列的前n项和分别为，
所以，D正确
故答案为：A、D.
【分析】利用反例等比数列每一项不为0，及充分必要条件的意义，可判断A正确；利用递增数列列出不等式求解，可判断B错误；利用等比中项意义求出，可判断C错误；根据等差数列性质，结合前n项和公式计算，可判断D正确.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；两条直线平行的判定；恒过定点的直线；圆的切线方程
【解析】【解答】解：对于A，当MPl于P时， 四边形的面积取得最小值，又圆，
所以圆心M（-1，0），半径 ，M到直线x-y-3=0的距离 ，
所以 ，所以四边形的面积取得最小值
为2 ，故A正确.
对于B，当MPl于P时，最短，此时于N，则MA2=MNMP ，即， 所以，所以，故B错误.
对于C，当MPl于P时，最短，此时，所以ABl ，设AB的方程为x-y+c=0，
所以， 所以c=0或2，所以AB的方程为x-y=0或x-y+2=0，当x-y+2=0时与x轴交点为（-2，0），在M左侧，故舍去，所以 最短时，弦直线方程为 .故C正确.
对于D，设A（xA，yA）B(xB，yB)，P(xP，yP)，则，
所以
同理所以AB方程为
因为P在直线x-y-3=0上，所以，所以
将代入得成立，故直线过定点 ，故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】对于A，当MPl于P时， 根据切线长定理，AP最短，因此只要求两全等三角形PAM、PBM面积即为四边形的面积最小值.利用点到直线的距离求得MP的长，进而求得AP长，就可求出四边形PAMB面积.可判断A正确.
对于B，当MPl于P时，最短，此时于N，利用MA2=MNMP求出MN长，进而求得AB长.可判断B错误.
对于C，当最短时，ABl ，设出直线方程，利用点到直线距离，即可求出直线方程，可判断C正确.
对于D，利用数量积为0，类比得AB方程，代入 等式成立，可判断D正确.
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；斐波那契数列
【解析】【解答】解： 斐波那契数列 为 1，1，2，3，5，8，13，21…则 将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0……，即数列是以6为周期的周期数列.
对于A，，故A错误.
对于B， ，故B正确.
对于C，，
以上各式相加得 ，故C正确.
对于D，
，故D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】根据 斐波那契数列 ，得到数列是以6为周期的周期数列.根据周期性求和，可判断A错误.
周期性定义，判断B正确，采用累加法可判断C正确， 利用斐波那契数列 定义，可推导得D正确.
13．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：设圆的标准方程为，则解得，
所以所求圆方程为
故答案为：.
【分析】根据点在圆上，圆心在y=x上列方程组，解得圆心、半径即可得圆方程.
14．【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点A（1，2）关于直线l的对称点为（x，y），由得直线L斜率为.
则解得 ，
所以 点关于直线的对称点的坐标为 .
故答案为：.
【分析】根据点A与它连线，中点在对称轴上，且与对称轴垂直，列出方程组，即可求解.
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的一般式方程与直线的垂直关系；恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由 直线得A（-2，0）， 直线得B（2，3），
又，所以直线与直线垂直.
所以PAPB，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆.
所以 ，所以 ，
当且仅当时取最大值.
故答案为：.
【分析】根据两直线得A、B两点坐标，并判断两直线垂直，从而得P的轨迹，进而得PAPB，求得，然后根据基本不等式求得最大值.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为所以，所以，由 得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列.即
所以，所以 ，
即 设= ，则，
因为 ，
所以是单调递增数列，所以cn的最小值为，m的最大值为.
故答案为：.
【分析】先通过将转化为，即，构成新数列，根据等差数列通项公式，求得通项公式，进而求得通项公式，代入不等式，设，证明此数列为单调递增数列，c1为最小值，即得m最大值.
17．【答案】（1）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
由与联立，解得，，
因为边上的中线经过点，所以点的坐标为．
（2）解：依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的点斜式方程；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）根据点A既在AC上，又在BC中线上，联立方程即可解得A坐标.
（2）设出截距式，即得 轴的正半轴、轴的正半轴 上截距，利用基本不等式即可求得最小值.
18．【答案】（1）解：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，所以，即．
（2）解：因为，所以，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差中项求得a5、代入已知可得a2，由等差数列性质、通项公式即可求得通项.
（2）利用分组求和方法，运用等差数列、等比数列求和公式计算即可.
19．【答案】（1）解：因为，，，所以，，所以，
又，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，所以，半径为2，
所以的方程为．
（2）解：因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为．
①当直线与轴垂直时，方程为x=1，与圆心的距离为1，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设，即，
因为圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为．
综上可知，直线的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）根据已知点坐标得、，此三角形为等腰直角三角形，故所求圆为以AB为直径的圆，易得圆心、半径，即可求得圆方程.
（2）由弦长和半径求得点到直线距离d，讨论斜率不存在时，与圆心的距离为1，满足条件；斜率存在时，设直线方程，由d=1，列出等式，求出斜率，即可得出直线方程.
20．【答案】（1）解：依题意得解得，
，即．
（2）解：①，，，
，
．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，由，得
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式、等比中项，组成方程组，解得首项和公差，即可得所求通项.
(2)①先由条件求得的通项公式，再用错位相减法求和.
②将代入转化为对一切恒成立，构造函数，求其最小值即可.
21．【答案】（1）解：当时，，
因为，，所以．
（2）解：由，得，
两式相减，得，即，
所以．
两式相减，得，所以数列为等差数列．
（3）解：依题意：，由得：，
即，所以．
因为，且，所以，
又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，
所以，．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）令代入即可求得.
(2)将、作差变形，得，根据等差中项法，即可证明此数列为等差数列.
（3）化简得，然后根据范围等因素，分析得m、k的值.
22．【答案】（1）解：设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）解：①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．
【知识点】直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式；恒过定点的直线；与直线有关的动点轨迹方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，将M点坐标用A点坐标表示，代入M点满足的轨迹方程即可.
(2) ① 设直线l方程和E、F坐标，联立方程，转化为一元二次方程，利用韦达定理，将
代入化简得m=k，进而得直线方程，与k无关，直线过定点（-1，0）.
②假设存在，为定值，且为直角三角形，为斜边，可得点是的中点时，为定值．利用中点坐标公式即可求得Q的坐标，说明假设成立，从而得证.
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